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等差、等比数列的综合 高频考点梳理
专题练 2026届高考数学复习备考
一、单选题
1．记等差数列的前n项和为，若成等差数列，成等比数列，则（ ）
A．900 B．600 C．450 D．300
2．等差数列的首项为，公差不为0，若成等比数列，则的前6项和为（ ）
A．24 B．24 C．3 D．3
3．已知等比数列的前n项和为，公比为q，且，，，成等差数列，则公比（ ）
A．或1 B．2或 C．1 D．
4．已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ）
A． B． C．16 D．18
5．记等差数列的前n项和为，公差，，数列为等比数列，且，，，则（ ）
A．2 B． C． D．3
6．公差不为的等差数列的前项和为，若，成等比数列，则满足的的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则的前6项和为（ ）
A．51 B．66 C． D．6
二、多选题
8．已知等比数列的前项和为，且为等差数列，且，记集合中元素的个数为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．数列满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则为等比数列
B．若，则为等差数列
C．
D．
10．已知三个互不相等的实数构成等差数列，将这三个数重新排列（不改变数的大小）后可以构成一个等比数列，则该等比数列的公比可能为（ ）
A． B． C． D．2
11．已知公差为1的等差数列满足成等比数列，则（ ）
A．
B．的前项和为
C．的前8项和为
D．的前50项和为
三、填空题
12．已知是公比为2的等比数列，是公差为4的等差数列，若，则的通项公式为 ．
13．等比数列的公比为2，若，成等差数列，设为的前项和，则 ．
14．已知数列是公差不为的等差数列，，且、、成等比数列，设，则的前项和为 .
15．已知，数列为，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以3为首项，2为公差的等差数列，则数列的前30项和为 ．
四、解答题
16．记为等比数列的前项和，已知，，数列是公差为1的等差数列，且=，数列满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的最小值及取得最小值时的值．
17．设等比数列{an}满足，．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记为数列{log3an}的前n项和．若，求m．
18．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，，.
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求.
19．已知等差数列的前n项和为，等比数列的首项为2，且，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项的和．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D C C D A ACD ABD AB
题号 11
答案 ABD
1．A
【分析】由题意可得，，求得首项与公差，可求.
【详解】等差数列的公差为，因为成等差数列，
所以，所以，
所以，所以，，
又因为成等比数列，所以，
所以，解得，解得，
所以.
故选：A.
2．A
【分析】设出等差数列的公差，利用等比中项得到关于公差的方程，再利用等差数列的前项和公式进行求解.
【详解】设的公差为，
由成等比数列，得，
即，解得或（舍去），
所以.
故选：A.
3．D
【分析】根据等差数列的性质得到关于等比数列项的等式，再结合等比数列的通项公式求出公比.
【详解】已知成等差数列，有.
那么.
因为，所以；又因为，所以得到.
由，移项可得.
因为数列是等比数列，根据等比数列的定义，公比.
由，可得.
故该等比数列的公比为.
故选：D.
4．C
【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，
因为成等比数列，且，
所以，即，解得或（舍去），
所以.
故选：C.
5．C
【分析】由题意得，即，解得，进而得和，即可求解.
【详解】由题意得，即得，
解得（舍去）或，,
所以，，
则，
因为，
所以.
故选：C.
6．D
【分析】设等差数列的公差为，根据成等比数列，利用等比中项求得和公差，再由等差数列前n项和公式结合条件求解即可.
【详解】设数列的公差为，
因为，成等比数列，
所以， 解得，
所以，
故.
由，得，解得.
∵，∴的最大值为.
故选：D.
7．A
【分析】根据给定条件，列式求出公差，进而求出前6项和.
【详解】设等差数列的公差为，由成等比数列，得，
又，解得，所以的前6项和.
故选：A
8．ACD
【分析】根据题意，求出数列和的通项公式，进而分析选项是否正确，综合可得答案．
【详解】设等比数列的公比为，由，得，
两式相减得，即，所以，
又，解得，则，故A正确；
，故B不正确；
设等差数列的公差为，由，得，解得，
所以，故C正确；
由，得，则集合中元素的个数为，即，故D正确．
故选：ACD．
9．ABD
【分析】将两边同除，变形转化可求出是
等差数列，进而求出.进而分别结合等比数列、等差数列定义研究A、B项，利用求和公式研究D项.
【详解】由，，两边同除，
得：，即，且，
所以是公差为2，首项为1的等差数列，
所以，所以，则可知C错误；
因为，，所以，且，
所以是等比数列，则可知A正确；
对于B：，，
故数列为等差数列，则可知B正确；
对于D：
，则可知D正确.
故选：ABD．
10．AB
【分析】令构成等差数列，且，，讨论、、依次求公比即可.
【详解】令构成等差数列，且，，重新排列如下：
1、、为等比数列，则，，
故，可得或（舍），此时，
所以数列的公比为，数列的公比为，A、B符合；
2、、为等比数列，则，，
故，可得或（舍），此时，
所以数列的公比为，数列的公比为，A、B符合；
3、为等比数列，则，，
故，可得（舍）.
故选：AB
11．ABD
【分析】根据等差数列通项公式及等比中项列方程求解判断A，由等差数列求和公式判断B，利用裂项相消法求和判断C，根据通项公式并项求和可判断D.
【详解】对于A，因为成等比数列，所以，即，解得，故A正确；
对于B，的前项和为，故B正确；
对于C，因为，
所以的前8项和为，故C错误；
对于D，因为，
所以的前50项和为，故D正确.
故选：ABD
12．
【分析】根据等比数列通项公式求出，再利用等差数列通项公式即可.
【详解】由题意可得，则，即，
则的通项公式为.
故答案为：
13．62
【分析】根据等差中项的性质以及等比数列的通项，建立方程，结合等比数列求和公式，可得答案.
【详解】因为，成等差数列，
所以，则，解得，
则.
故答案为：62.
14．
【分析】设等差数列的公差为，则，根据求出的值，可得出数列的通项公式，然后对任意的，计算出，即可得解.
【详解】设等差数列的公差为，则，
因为、、成等比数列，则，即，
即，因为，解得，
所以，，
所以，，
对任意的，，
，，
，
所以，，
因为，故数列的前项和为.
故答案为：.
15．829
【分析】因为所有插入的项构成以3为首项，2为公差的等差数列，根据题意，得到数列的前30项中含有的前7项，含有的前23项，结合等差、等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】因为，所以为等比数列，所有插入的项构成以3为首项，2为公差的等差数列，
由于，，，，
因此数列的前30项中含有的前7项，含有的前23项，
所以所求和为．
故答案为：829.
16．(1)，
(2)，和.
【分析】（1）解方程组求出等比数列公比，即可求得；继而可求出等差数列的首项，即可求得的通项公式；
（2）结合（1）可得数列的通项公式，利用作差法可判断数列单调性，即可求得答案.
【详解】（1）设等比数列的公比为q， ，，
可知,故，解得，故，
又数列是公差为1的等差数列，且，
故，即，解得，
故；
（2）由于，则，
则，
当时，，当时，，即，
故数列的最小值为，此时和.
17．（1）；（2）.
【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式；
（2）由（1）求出的通项公式，利用等差数列求和公式求得，根据已知列出关于的等量关系式，求得结果.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
根据题意，有，解得，
所以；
（2）令，
所以，
根据，可得，
整理得，因为，所以，
【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查计算求解能力，属于基础题目.
18．（1）；（2）5或.
【分析】（1）设等差数列公差为，等比数列公比为，由已知条件求出，再写出通项公式；（2）由，求出的值，再求出的值，求出.
【详解】设等差数列公差为，等比数列公比为有，即.
（1）∵，结合得，
∴.
（2）∵，解得或3，
当时，，此时；
当时，，此时.
【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系.
19．(1),
(2)
【分析】(1)根据等差数列通项公式和前n项和的公式,求出公差,在求出等比数列公比,求出两个数列的通项公式.
(2)采用分组求和的方式,分为两个部分,分别求和.
【详解】（1）设等差数列公差为,根据题意得,解得
所以,
可知,
设等比数列的公比为,带入得,解得,
可知.
（2）有第一问可知,,则.
分组得
计算,
计算
则.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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