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等差数列 高频考点梳理 专题练
2026届高考数学复习备考
一、单选题
1．已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，组成一个新的等差数列，则（ ）
A． B．
C． D．
3．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若小寒、雨水、清明日影长之和为36尺，前八个节气日影长之和为92尺，则谷雨日影长为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
4．已知数列满足，则数列中的最小项为（ ）
A． B． C． D．
5．记为等差数列的前n项和，且，则满足的n的最大值为（ ）
A．40 B．41 C．42 D．43
6．记为等差数列的前n项和．已知，则
A． B． C． D．
7．图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
8．已知等差数列、的前项和分别为、，若，对，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设等差数列的前项和为，公差为，已知，.则（ ）
A． B．
C．时，的最小值为 D．最小时，
10．已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B．
C． D．的最小值是4
三、填空题
11．数列都是等差数列，且，则数列的前100项的和是 .
12．已知数列中，，，则数列的前n项和的最大值等于
13．已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为 ．
14．记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则 .
15．记为等差数列的前n项和．若，则公差 ．
四、解答题
16．等差数列的前项和为，已知，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
17．已知数列是公差为2的等差数列，满足．
(1)求的通项公式；
(2)设的前项和为，若，求的最大值．
18．记为数列的前项和，已知，．
(1)求，并证明是等差数列；
(2)求．
19．已知是等差数列的前项和.
(1)证明：是等差数列；
(2)设为数列的前项和，若，求.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B B B A D C BC ACD
1．D
【分析】根据题意可得，即数列为等差数列，确定首项及公差，即可得到通项，再计算即可.
【详解】因为，
所以，
即数列为等差数列，又，所以数列首项为1，公差为3，
，则，
故选：D.
2．B
【分析】根据等差数列的定义求解即可.
【详解】设的公差为，则，，
故.
故选：B.
3．B
【分析】令所给等差数列为，由给定的两个和建立方程，结合等差数列性质求解.
【详解】令所给等差数列为，其前项和为，
则，即，因此，
解得，
则数列的公差，所以谷雨日影长.
故选：B
4．B
【分析】根据等差数列的通项可得，计算，结合即可求解.
【详解】由可知为等差数列，且公差为2，首项为，
因此，
由于且，
故中的最小项为，
故选：B
5．B
【分析】由等差数列求和公式得，根据题意列出不等式即可求解.
【详解】由已知可得，
的公差为，故，
故，
令，又，所以，故n的最大值为41，
验证，，
所以n的最大值为41.
故选：B.
6．A
【分析】等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，，，排除B，对C，，排除C．对D，，排除D，故选A．
【详解】由题知，，解得，∴，故选A．
【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．
7．D
【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.
【详解】设，则，
依题意，有，且，
所以，故，
故选：D
8．C
【分析】计算得出，即可得出实数的取值范围.
【详解】等差数列、的前项和分别为、，且，
则，
且当时，，
因为，，，则，即的最小值为.
故选：C.
9．BC
【分析】由等差数列求和公式与等差数列项的性质，易判断，即可判断A，B两项，计算化简，结合，知使时，的最小值为11；分析可得，当时，，当时，，故得最小时，有，排除D.
【详解】对于A，由，则，
又，则，故A错误；
对于B，由A已得，则，故B正确；
对于C，由上分析，当时，，当时，，
又，又，
所以时，的最小值为，故C正确；
对于D，当最小时，，故D错误.
故选：BC.
10．ACD
【分析】利用基本量法求出公差后可求通项，再利用等差数列的性质判断A，利用通项公式求出判断B，利用前项和公式判断C，利用单调性求出的最小值后判断D.
【详解】设等差数列的公差为，则，，
又，，，，
.
A选项，，正确；
B选项，，错误；
C选项，，，正确；
D选项，，
易知在上为单调递增，
所以当时有最小值为4，正确.
故选：ACD.
11．5150
【分析】根据给定条件，确定数列的特征，再利用等差数列前和公式求解.
【详解】由数列和都是等差数列，得与均为常数，
则为常数，数列是等差数列，
由，得，又，得的公差，
所以数列的前100项和为.
故答案为：5150.
12．
【分析】由题意可知数列是首项为10，公差为的等差数列，求出前n项和，转化为求函数的最大值问题即可.
【详解】当时，，且，
所以，数列是首项为10，公差为的等差数列，
则数列的前n项和为，
因，故当时，取得最大值18．
故答案为：．
13．
【分析】直接根据等差数列求和公式求解.
【详解】根据等差数列的求和公式，.
故答案为：
14．4.
【分析】根据已知求出和的关系，再结合等差数列前n项和公式求得结果.
【详解】因，所以，即，
所以．
【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．
15．2
【分析】转化条件为，即可得解.
【详解】由可得，化简得，
即，解得.
故答案为：2.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据条件转化为首项和公差的方程，即可求解；
（2）根据数列正项和负项的分界，讨论与的关系，求解.
【详解】（1）设数列的公差为，
∵，∴，∵，∴ ，∴公差为，∴，
∴ ；
（2）由已知，
时，；
时，；
综上.
17．(1)
(2)最大值为5．
【分析】（1）根据等差数列通项公式写出表达式，再结合这个条件，代入与表达式，通过等式计算求出首项，进而得到通项公式.也可令，利用和公差求出.
（2）先由第一问得到的通项公式，根据等差数列前项和公式求出.再结合列出不等式，将其转化为一元二次不等式，求解不等式得到的取值范围，最后根据取值范围确定的最大值.
【详解】（1）因为数列是公差为2的等差数列，所以，
由可得，解得，
所以的通项公式为．
（2）由（1）得，
由得，即，解得，
由于，所以，所以的最大值为5．
18．(1)，证明见解析
(2)
【分析】（1）先求出和的值得到，再通过与的关系推导出的表达式并证明其为等差数列.
（2）利用第一问的结论将进行拆分求解.
【详解】（1）当时，，
解这个方程：，即，解得.
当时，，
把代入得，
移项可得，即，解得.
所以.
由，可得.
当时，.
展开得.
整理得，移项得，即.
那么.
令，则，.
所以（常数）.
所以是等差数列.
（2）由可得：.
因为，所以（）.
则.
所以.
展开得.
19．(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，然后由等差数列的定义证明即可；
（2）由（1）可知数列是等差数列，由求出其首项和第四项，然后求出公差，利用等差数列的前项和公式求解即可.
【详解】（1）证明：设等差数列的公差为，
，．
．
是等差数列．
（2），
数列的首项为2，第四项为．
数列的公差．
．
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