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数列“新定义”问题 高频考点梳理
专题练 2026届高考数学复习备考
一、单选题
1．已知数列的通项公式，在其相邻两项之间插入个，得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
2．定义数列的“匀称值”为，若的匀称值，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知两个各项均不为零的无穷数列和，若对于数列中的任意一项，总在数列中存在一项，使得，则称数列是数列的“数列”.对于以下两个命题，说法正确的是（ ）.
①对于任意等比数列，总存在等比数列是其“数列”；
②存在公差不为零的等差数列，使其“数列”是等差数列.
A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假
4．一般地，对于数列，如果存在一个正整数，使得当取每一个正整数时，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的一个周期．给出下列四个判断：
①对于数列，若，则为周期数列；②若满足：，，则为周期数列；③若为周期数列，则存在正整数，使得恒成立；④已知数列的各项均为非零整数，为其前项和，若存在正整数，使得恒成立，则为周期数列．其中所有正确判断的序号是（ ）
A．②③④ B．②④ C．②③ D．①②③④
5．定义：对于数列若存在，使得对一切正整数，恒有成立，则称为有界数列.设数列的前项和为，则下列选项中，满足为有界数列的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如果数列对任意的，，则称为“速增数列”，若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数的最大值为（ ）
A．62 B．63 C．64 D．65
7．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，已知数列为“斐波那契数列”，则（ ）
A．2023 B．2024 C．1 D．2
二、多选题
8．若无穷数列对于任意正整数均有，则称是形数列，则（ ）
A．数列是形数列
B．“数列是形数列”的充要条件是“”
C．若正项单调数列是形数列，则是形数列
D．若两个正项递增数列均是形数列，则对于任意正整数m，n，均有
9．定义：已知数列的前n项和，若，，使得，则称数列为分解数列．基于上述事实，则（ ）
A．若数列为非零常数列，则数列不可能为分解数列
B．若，则数列为分解数列
C．若首项为1的非常数列为分解数列，则
D．若首项为2的非常数列为分解数列，则数列的前n项和小于1
10．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），记数列的前项和为．则（ ）
A．当时，的值为16 B．当时，
C．当时，是10步“雹程” D．当时，
11．帕多瓦数列是与斐波那契数列相似的又一著名数列，在数学上，帕多瓦数列被以下递推的方法定义：数列的前n项和为，且满足：，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．是偶数 D．
三、填空题
12．已知是各项均为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，且成等比数列.则数列的通项公式为 ；若定义在数列中，使为整数的叫做“调和数”，则在区间内所有“调和数”之和为 .
13．若数列的相邻两项或几项之间的关系由函数确定，则称为的递归函数；为取整函数，它表示不超过x的最大整数，例如，；设的递归函数为，，且，的前n项和记为，若，则为 ．
14．若一个等比数列有无穷多项，并且它的公比满足，则称为无穷递缩等比数列.研究发现：当时，无穷递缩等比数列的前项和（其中为首项，为公比）.下图为一个容器的轴截面，该容器由，，三个球形容器构成，其中球，各有3个出口，球有4个出口，且球的3个出口中1个与相连，球的4个出口中1个与相连、1个与相连，球的3个出口中1个与相连，一个小球在容器内做无规律随机运动，当小球运动到容器外时，运动停止.已知该小球的起始位置在球内，则当运动停止时，小球位于出口外的概率约为 .
四、解答题
15．若数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，.则称数列为和积交替数列.
(1)若数列1，a，b，6为和积交替数列，分别求实数a，b的值；
(2)若数列为和积交替数列，且，.
（i）若3是数列中的项，求实数的值；
（ii）若，证明：.
16．已知数列，若为等比数列，则称具有性质.
(1)若数列具有性质，且，求的值；
(2)若，判断并证明数列是否具有性质；
(3)设，数列具有性质，其中，试求数列的通项公式.
17．若数列中的每一项均为整数，且中每一项的相反数均不为中的项，则称为“无相反数列”.
(1)若等差数列的前项和为，且，，试问是否为“无相反数列”？说明你的理由.
(2)若数列满足，，求的通项公式，并判断是否为“无相反数列”（需要说明理由）.
(3)已知数列共有项，任取正整数、，若是中的项，则记为可加数对，设中的可加数对总数量为；若是中的项，则记为可减数对，设中的可减数对总数量为.已知可加数对与可减数对均为有序数对.
（i）若为“无相反数列”，证明：.
（ii）证明：.
18．设，，，若各项均为正数的数列满足，则称数列具有性质“”．
(1)已知数列的前n项和为，且，试判断数列是否具有性质“”，并说明理由；
(2)若数列满足，且．
（i）证明：数列具有性质“”；
（ii）记数列的前n项和为，证明：．
19．如果数列，，，…，（）是首项为1，各项均为整数的递增数列，且任意连续三项的和都能被3整除，那么称数列，，，…，是数列.
(1)写出所有满足的数列；
(2)证明：存在数列是等比数列，且有无穷个；
(3)对任意给定的，都存在，，，使得数列，，，，是数列，求整数t的最小值.
20．已知数列，定义：.从中选取第项 第项 第项，则称数列为的长度为的子列.若为的一个排列，则称数列具有性质.
(1)已知，若数列是数列的长度为5的子列，写出的最大值和最小值；
(2)已知数列具有性质，且存在唯一的长度为3的子列，使得，求的最小值；
(3)已知数列具有性质，且为偶数，求的最大值，并直接写出当取得最大值时数列的个数.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B C D B C AD ACD BD
题号 11
答案 BD
1．B
【分析】根据题意分析得的项的情况，求出当时和当时的，找出的最小值.
【详解】由题意得数列的前项依次为：
，个，，个，，个，，个，，，
当时，
，
当时，
，
所以使成立的的最小值为.
故选：B.
2．D
【分析】根据数列的“匀称值”得，两式相减即可求解.
【详解】，
，
两式相减得，所以.
故选：D.
3．B
【分析】结合等比数列和等差数列的定义及通项公式，利用数列的定义求解.
【详解】设等比数列的通项公式为，
则是等比数列，故①是真命题；
设等差数列的通项公式为，
则不是等差数列，故②是假命题.
故选：B
4．C
【分析】对于①，举例判断；对于②，由数列的偶数项都相等，奇数项都相等判断；对于③，由为周期数列，则一个周期能必存在最大值判断；对于④，举例判断.
【详解】对于①，若为:，，满足题意，但是数列不是周期数列，故①错误;
对于②，由可知，，...，
即数列的偶数项都相等，奇数项都相等，
所以当时，能使得当取每一个正整数时，都有，
故数列为周期数列，故②正确;
对于③，若为周期数列，则一个周期内必存在最大值，它是有界的，
故存在正整数，使得恒成立，故③正确;
对于④，首项为1，公比为2的等比数列:，，
可任取一个符合题意的数，不妨取，满足题意，
但很明显数列：不是周期数列，故④错误.
故选：C.
5．D
【分析】对于A：根据题意结合等差数列求和公式分析判断；对于B：根据题意结合裂项相消法判断；对于C：根据题意结合并项求和法分析判断；对于D：根据题意结合等比数列求和公式分析判断.
【详解】对于选项A：因为为等差数列，则，
可知对任意，当时，，
不满足有界数列的定义，故A错误；
对于选项B：因为，
则，
可知对任意，当时，，
不满足有界数列的定义，故B错误；
对于选项C：当为偶数时，，
可知对任意，当时，，
不满足有界数列的定义，故C错误；
对于选项D：可知数列是以首项、公比均为的等比数列，
则，
可知当时，，符合有界数列的定义，故D正确；
故选：D.
6．B
【分析】根据“速增数列”的定义，结合累加法建立不等式并求解即得.
【详解】当时，，
因为数列为“速增数列”，
所以，且，
所以，即，，
当时，，当时，，
故正整数的最大值为63.
故选：B.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用累加法将与“速增数列”定义结合得到不等式，由该不等式即可求解.
7．C
【分析】根据“斐波那契数列”得出递推公式，变形得到，然后利用递推公式的变形对化简，即可求解.
【详解】“斐波那契数列”从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，,
.
由题意得：， 即，
，
，
，

，
即
即.
故选：C.
8．AD
【分析】原题条件等价于时，是形数列，对于A，由形数列的定义即可判断；对于B，分充分性、必要性两方面讨论即可；对于C，D，根据所给数列的性质结合形数列的定义即可判断.
【详解】若，由，得，若，由，
得，故原题意可转化为当时，是形数列．
对于A，易知，而，故，
即，故是形数列，故A正确；
对于B，当是形数列时，，即，得，必要性成立，
下面考虑充分性，当时，，此时没有意义，充分性不成立，故B错误；
对于C，若是递减数列，则．故，于是，
而，故当时，．，
故不是形数列，故C错误；
对于D，显然，则，故，
于是，
同理．
故
，即，故D正确．
故选：AD．
9．ACD
【分析】根据数列新定义，结合及等比数列通项公式，应用裂项相消法计算判断各个选项即可.
【详解】若数列为非零常数列，则，，两式不相等，所以数列不可能为分解数列，A选项正确；
若，当，所以当，所以，
所以，
当，左边为，右边为不相等，B选项错误；
因为首项为1的非常数列为分解数列，则，所以，，C选项正确；
因为首项为2的非常数列为分解数列，则，所以，，
所以数列的前n项和，D选项正确；
故选：ACD.
10．BD
【分析】根据给定的运算法则，逆推求出各选项相关值，再结合数列周期性判断即可.
【详解】对于A选项进行逆推：或或2，故A错误；
对于BC选项，当时，即，
共需经过9个步骤变成1，故B正确，C错误；
对于D选项，当时，，，，以后进入循环，
因此，故D正确．
故选：BD
11．BD
【分析】根据题设递推关系写出前8项并求判断A、B；列举出相关项判断的奇偶性及数列的周期性，并得到相关递推关系判断C、D.
【详解】由题设，，
，，故A错误；
由上分析，，故B正确；
由知：*表示奇数，@表示偶数，如下表，
1 1 1 2 2 3 4
5 7 9 12 16 21 28
* * * @ @ * @
* * * @ @ * @
……
显然，该数列奇偶数出现以7为周期，一个周期内下标从小到大对应项依次出现3个奇数，2个偶数，
1个奇数，1个偶数，而，故是奇数，故C错误；
由，，，…，，且，,
所以，又，
故，故D正确．
故选：BD.
12． 1086
【分析】空1，利用题意建立等式求解即可；空2，根据题意求出可能的的值，然后求和即可.
【详解】因为成等比数列，所以，
因为是各项均为正数，公差不为0的等差数列，设其公差为，
所以，所以，所以.
设，所以，令，且b为整数，
又由，，
所以b可以取1，2，3，4，5，6，此时分别为，
所以区间内所有“调和数”之和
故答案为：；1086
13．10120
【分析】已知，，，得出为以为首项，6为公比的等比数列，从而得出，，证明当时，，利用该不等式可得，从而得出，结合，得出，所以，，从而解出.
【详解】已知，，，
则，
因为，所以，，即为以为首项，6为公比的等比数列.
则.
所以，即.
当时，.
因为当时，由,可得，
所以当时，.
故当时，
又，则，
故对于任意，，
所以.
所以.
故答案为：.
14．
【分析】先分析小球运动规律，记次运动后，小球位于,,三个球形容器的概率分别为．根据运动规律建立递推关系，由递推关系得出数列通项公式，再根据无穷递缩等比数列的相关说明求得"运动停止前，小球位于球的概率"，进而得到"当运动停止时，小球位于出口外的概率".
【详解】记小球从一个球形容器运动到其相邻的球形容器为一次运动．记次运动后，小球位于,,三个球形容器的概率分别为．
根据马尔可夫链，可知：当时，,
化简，整理得：当时，.
特别地，可分析知，小球到达球需奇数次运动，偶数次运动后不能到达球,
所以认为当为偶数时，.
当为奇数时，因为小球的起始位置在球内，所以，所以.
因为小球到达球需偶数次运动，奇数次运动后不能到达球,
所以认为当为奇数时，.
当为偶数时，为奇数，所以
记数列的前项和为,则,其中为偶数.
由题意知，为无穷递缩等比数列,当时，.
即当运动停止前，小球位于球的概率约为.
所以当运动停止时，小球位于出口外的概率约为.
故答案为：
15．(1)或
(2)（i）或；（ii）证明见解析
【分析】（1）根据和积交替数列的定义，列出参数的方程组，求出参数的值.
（2）（i）根据和积交替数列的定义，由递推出后面的项，由范围，求出后面项的大小范围，判断3可能出现的位置，求出参数的值.
（ii）根据和积交替数列的定义，由递推出后面的项满足的条件，根据数列的递推公式，结合累乘法，通过对数运算，证明命题.
【详解】（1）由题知，，
解得，或；
（2）（i）由题知，则，，
由，则；，
由，则；，但，，
所以；而，…
以此类推，当，时，.
所以若3是数列中的项，
则或或，解得或.
（ii）易知数列中的项均为正整数，由题知，且，
所以，同取以2为底的对数，得，
即.又，所以，
则，
累乘整理，得，
所以时，.
当时，符合上述不等式，
所以，结论得证.
16．(1)
(2)具有，证明见解析
(3)
【分析】（1）利用前三项可算等比数列的公比，从而可求后面的项，即可求出；
（2）利用等比数列的定义进行证明，即可得到数列是不是具有性质；
（3）利用前三项可算等比数列的公比，从而可得等比通项，再用累加法来求通项，这里需要进行讨论分析.
【详解】（1）由题意数列具有性质为等比数列，设公比为，
由，得，
，又
（2）数列具有性质；证明如下：
因为，所以，
则，即为等比数列，所以数列具有性质
（3）因为，则
当，
故，适合该式，故，
所以由，得
，
因为数列具有性质，故为等比数列，设其公比为，则，
故
当为偶数时，，
当为奇数时，
，
故
17．(1)是，理由见解析
(2)，不是
(3)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）根据题中数据求出等差数列的通项公式，设中存在两项与互为相反数，根据求出的值，即可得出结论；
（2）由题干中的等式变形得出，可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，利用可得出结论；
（3）（i）分析可知构成的有序数对有个，结合反证法可知必不为可减数对，从而可得出可减数对的数量的最大值，即可证得结论成立；
（ii）先证明可加数对的数量不多于可减数对的数量，再证明可减数对的数量不多于可加数对的数量，由此可得出且，即可证得结论成立.
【详解】（1）是“无相反数列”.
理由如下：依题意可得，则，
则的公差，所以.
设中存在两项与互为相反数，则，
得，所以中不存在互为相反数的两项，故是“无相反数列”.
（2）因为，所以，
则.
因为，所以数列是第三项为，公比为的等比数列，
所以，则.
因为，，
所以与互为相反数，所以不是“无相反数列”.
（3）（i）由题意知，对于总项数为的数列，其构成的有序数对有个.
若为“无相反数列”，则不可能为中的项，则不是可减数对，这样组成的数对有个.
又中每一项的相反数均不为中的项，所以当为可减数对时，是中的项，
且不是中的项，即必不为可减数对，
从而可减数对的数量最多为，即；
（ii）先证明可加数对的数量不多于可减数对的数量.
若为可加数对，则也为中的项，则也为可加数对，
，，故、也为可减数对.
若与为不同的可加数对，则与中至少有一个不成立，
从而与中至少有一个不成立，
则数对和均为不同的可减数对，
故可加数对的数量不多于可减数对的数量.
再证明可减数对的数量不多于可加数对的数量.
若为可减数对，则也为中的项，，故也为可加数对.
若与为不同的可减数对，则与中至少有一个不成立，
从而与中至少有一个不成立.则和均为不同的可加数对，
故可减数对的数量不多于可加数对的数量.
综上，且，故.
18．(1)具有，理由见解析；
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用数列前n项和与第n项的关系求出通项公式，再利用否具有性质“”的定义推理判断.
（2）（i）根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性再证明不等式；
（ii）由（i）的结论，利用放缩法，结合等比数列前n项和公式推理得证.
【详解】（1）数列中，，当时，，则，
而，解得，因此数列是首项和公比都为的等比数列，
则，，，
正项数列满足，所以数列具有性质“”.
（2）（i）函数，令函数，求导得，
函数在上单调递减，则，即，，
任意，，而，，则，，
于是，
令，求导得，
函数在上单调递增，，
当时，，，而，
则，因此；
依题意，，
令，
令函数，求导得，
令函数，求导得，函数在上单调递增，
当时，，，函数在上单调递增，
当时，，即当时，，，
因此当时，，又，则，
于是，，则，
所以数列具有性质“”.
（ii）由（i）知，，则，
当，时，，
当时，，
当时，，
所以.
19．(1)1，2，3，7；1，2，6，7；1，3，5，7；，1，5，6，7.
(2)证明见解析；
(3)13.
【分析】（1）由所给信息，找到满足题意的数列即可；
（2）即证明存在无穷多个整数，使能被3整除；
（3）将正整数集合按被3除余数分为3类，分类讨论所属集合，确定，，所属集合，
并写出相应的数列，后由可确定最小值，即可得答案.
【详解】（1）由题可得，
令，为使任意连续三项的和都能被3整除，则或；
令，则；令，则不存在满足题意；，则.
综上，满足的数列为：1，2，3，7；1，2，6，7；1，3，5，7；，1，5，6，7；
（2）证明：设这样的数列对应的公比为，
则相应的四项，从小到大排列为.
要使任意连续三项的和都能被3整除，
则能被3整除，即被3整除即可.
考虑集合，当时，
一定能被3整除，
因中的元素有无穷多个，
则存在数列是等比数列，且有无穷个；
（3）设.
因都能被3整除，，则.
若，因都能被3整除，则；
则要使能被3整除，有.
令，为使最小，应让间的差值最小，
则，
又，则，即当时，最小值为5；
若，因都能被3整除，则；
结合，则要使能被3整除，有.
令，为使最小，应让间的差值最小，
则，
又，则，即当时，最小值为13；
若，因都能被3整除，则；
结合，则要使能被3整除，有.
令，为使最小，应让间的差值最小，
则，
又，则，即当时，最小值为9.
综上，当存在，，，使得数列，，，，是数列，整数t的最小值是13.
【点睛】关键点睛：本题关键为读懂题意，以及由题目中提及的“被3整除”想到将整数按照被3除的余数分为3类.
20．(1)最大值9，最小值5
(2)最小值6
(3)最大值，这样的数列有个
【分析】（1）定义数列的极端项为：中间的指不小于左右，或不大于左右的项，第一项，最后一项都是，分析可得任意数列的子列的值不超过该数列本身的值.对于具有性质的数列，因此其长度为的子列的值不小于.然后计算数列的值，进一步构造子列使其值最大和最小；
（2）根据已知条件分析可得该数列只有三个极端项，除去两端的极端项，中间只有一个极端项，这个极端项必为最大项6或最小项1，然后分别研究其最小值，最后比较得出总体的最小值；
（3）分析可知对于数列,其值时必为交替数列，由此化简的表达式，并得出其最大值及取得最大值的条件，进而利用排列数和乘法计数原理得出当取得最大值时数列的个数.
【详解】（1）根据绝对值的性质可得当为单调递增或单调递减数列时，.
定义数列的极端项为：中间的指不小于左右，或不大于左右的项，第一项，最后一项都是极端项.
设数列A：中的极端项依次为，记，
则，其任意的子列,的每个极端项都必然在数列A的某两个相邻极端项之间，故其子列的相邻极端项的差的绝对值的和不超过数列的相邻极端项的绝对值的和，即.
对于具有性质的数列，是1，2，…的一个排列，任意相邻两项的差的绝对值都大于等于1，
因此其长度为的子列的值不小于.
数列，.
子序列，，是的最大值，
子序列，，也是的最大值，
子序列，是的最小值.
∴的最大值和最小值分别是和；
（2）∵已知数列A：具有性质，则是1,2,3,4,5,6的一个排列，
又∵存在唯一的长度为3的子列，使得，
则子列的极端项恰好是数列的极端项，且子列的极端项只有3个，
∴数列只有3个极端项，除去两端的极端项，中间只有一个极端项，
这个极端项必为最大项6或最小项1，
当中间的极端项1时，两端的极端项有一端为6，另一端记为，可能为5，4，3，2，都有可能，，其最小值为时取到，最小值为6，
这样的数列的一个例子为.
中间的极端项为6时，两端的极端项有一端为1，另一端记为，可能为5，4，3，2，都有可能，，其最小值为时取到，最小值为6，
这样的数列的一个例子为.
∴的最小值为6；
（3）根据对称性不妨先设.首先证明：对于具有性质 的数
，当 最大时，数不存在连续3项单调递增或递减 ，
假设具有性质的数列存在连续3项单调递增或递减，
即存在使得或，
则将调换到之前，得到，
，与最大矛盾，
∴假设不成立.
因此设，对于具有性质的数列，当最大时，必有，
∵为偶数，数列中的数分成2组：
，中的每个数都小于中的每个数，
∴
,
为了使得取得最大值，要尽可能的大，要尽可能的小，
在此之下，和再取剩余数中的最大和最小值，
∴，
当且仅当时取到“等号”，∴的最大值为，
∵有种不同的排列方式，也有种不同的排列方式，
∴这样的数列有个，
根据对称性，时也有同样的结果，对应的数列也有，
∴使得最大的数列总共有.
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