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数列的求和 高频考点梳理
专题练 2026届高考数学复习备考
一、单选题
1．已知函数满足，且，设数列满足，则数列的前n项和的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知数列满足，则数列的前8项和为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，记数列的前n项和为，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
4．已知等差数列的前和为，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．在数列中，，且，则数列的前2025项和为（ ）
A． B． C． D．
6．已知数列的各项均为正数，，若表示不超过的最大整数，记数列的前项和为，当100时，的值为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
二、多选题
7．在等差数列中，，，记数列的前项和为，下列选项正确的是（ ）
A． B．取最小值时，
C．数列是递增数列 D．数列的前10项和为50
8．记为数列的前项和，，则（ ）
A． B．
C．数列为等比数列 D．数列的前项和为，则
9．对于，满足，，且对于任意，恒有，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
10．已知数列的前n项和为，，，则 （用数字作答）.
11．若，则 ．
12．设数列满足，且，则数列的前10项和为 ．
13．已知数列满足，且，该数列的前项和为，则 .
四、解答题
14．记为正项数列的前项和，已知
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列，求数列的前项和.
15．已知数列满足，且对任意的，都有.
(1)设，求数列的通项公式；
(2)数列表示不超过的最大整数，求的前350项和.
16．已知数列中，，，令
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
17．已知等差数列满足，，数列满足，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)求数列的前项和.
18．已知数列的首项，.
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的前项和；
(3)令，求数列的最大项.
19．设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)设的前n项和为，求证：；
(3)求．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 C A D A B C ACD ACD ACD
1．C
【分析】利用累加法计算数列通项再求和即可.
【详解】由题意可知，则，
累加可得，
且，即，满足上式，
所以，
所以的前n项和的表达式为.
故选：C
2．A
【分析】对已知等式进行变形，可得数列的特征，由此求出的表达式，再利用裂项相消法求出前8项和.
【详解】依题意，，由两边同时除以，得到，
则数列是以为首项，2为公差的等差数列，，即，
因此，
所以数列的前8项和.
故选：A
3．D
【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求得，据此可得，再由裂项求和法即得答案.
【详解】由题意，则在点处的切线斜率为.
直线斜率为，则，解得，
函数，数列通项，
因此，所以.
故选：D
4．A
【分析】先根据已知，，结合等差数列公式计算可得，
进而得出，再应用裂项相消计算即可.
【详解】由等差数列，可得前项和为，
又因为，所以，所以，
即得，所以，
则.
故选：A.
5．B
【分析】先把变形成，利用累加法求数列的通项公式，再用裂项求和法求数列的前项和，把代入即可.
【详解】由，可得，
所以，
，
…
.
以上各式相加得：，
所以，
而也符合该式，故.
则.
设的前项和为，则，
从而.
故选：B
6．C
【分析】由已知条件可得，数列是首项为1，公差为1的等差数列，即可得，根据取值分析可得的值.
【详解】因，可得是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，因为数列的各项均为正数，
所以，因为，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，
则.
说明当100时，的值为30.
故选：C.
7．ACD
【分析】利用等差数列的通项公式求出判断AD，利用等差数列的前项和公式判断BC.
【详解】对于A，设等差数列的公差为，则由题意知，解得，故A正确；
对于B，，，
则当时，取最小值，故B错误；
对于C，，所以数列是递增数列，故C正确；
对于D，数列的前10项和为，故D正确，
故选：ACD
8．ACD
【分析】利用给定的递推公式求出判断A；求出数列的通项公式，并结合错位相减法，再逐一判断选项BCD.
【详解】对于A，数列中，，则，解得，A正确；
当时，，则，即，
数列是首项为，公比为2的等比数列，，
对于B，，B错误；
对于C，，则，因此数列为等比数列，C正确；
对于D，，，，
两式相减得，
因此，D正确.
故选：ACD
9．ACD
【分析】抽象函数，对于ACD选项采用赋值法求解，B选项倒序相加即可；
【详解】A选项：因为，所以取得，，A选项正确；
B选项：令，则，
两式相加得，
解得，B选项错误；
C选项：因为，所以取得，，由，
取得，，解得，
因为，所以，，，，，C选项正确；
D选项：因为，，且，
所以，即，D选项正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：本题考查抽象函数，赋值法是基本，针对选项进行赋值即可.
10．
【分析】写出前11项的和，由等比数列的求和公式求解即可.
【详解】因为，，，，
所以.
故答案为：
11．100
【分析】利用错位相减求和法求解.
【详解】设，
则.
所以.
所以，.
所以.
故答案为：100
12．
【分析】利用“累加求和”可得的通项公式，再利用“裂项求和”即可得出.
【详解】因为数列满足，且，
所以当时，，
当时，上式也成立，
所以，所以，
则的前项和，
所以数列的前10项和为．
故答案为：.
13．4049
【分析】由题意写出求和的式子，利用分组求和与等差数列的求和公式，可得答案.
【详解】
.
故答案为：4049.
14．(1)
(2)
【分析】（1）应用计算得出数列为等差数列，再结合等差数列通项公式求解；
（2）应用分组求和结合裂项相消及等差数列求和公式计算求解.
【详解】（1），当时，,
当时，
两式相减得，得，
因为，所以，
，
为等差数列，；
（2）
15．(1)
(2)681
【分析】（1）利用已知递推公式变形，再结合等差数列的性质可得；
（2）先分析的整数部分， 再分区间求和可得.
【详解】（1）由可得，
又，所以，即是以3为公差的等差数列，
又，得，，
所以，解得，故，
所以.
（2）由（1）可得，
又
所以，
所以.
16．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，根据等差数列通项公式求法计算即可；
（2）由（1）可得，根据错位相减法计算即可求解.
【详解】（1）由，得，
令，得，
因为，所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，即.
（2）由（1）可得，
，
，
两式相减可得，
化简可得，
所以.
17．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）利用等差数列的性质可求得首项与公差，可求得，由已知可得是等比数列.，计算可求得；
（2）利用裂项相消法可求得数列的前项和；
（3）利用错位相减法可求得数列的前项和.
【详解】（1）由，得.
因为，所以，
则公差为，所以，
所以.
因为，所以，则是等比数列.
设其公比为，因为，，所以，，则.
（2）因为，
所以.
（3）因为，所以，
所以，
两式相减得，
所以.
18．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）依题意可得，结合等比数列的定义即可证明；
（2）由（1）可得，利用分组求和得解；
（3）由（2）可得，利用作差法判断数列的单调性，即可求出最大项.
【详解】（1）因为，所以，
又，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）可得，所以，
所以
.
（3）由（2）可得，
则，
令，得，
所以当时，，
令，得，所以当时，，
即，
所以数列的最大项为.
19．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；
（2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证；
（3）先求得，进而由并项求和可得，再结合错位相减法可得解.
【详解】（1）设公差为d，公比为，则，
由可得（舍去），
所以；
（2）证明：因为所以要证，
即证，即证，
即证，
而显然成立，所以；
（3）因为
，
所以
，
设
所以，
则，
作差得
，
所以，
所以.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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