资源简介

宝安区2024-2025学年第一学期期末调研测试卷
高二 数学 2025.1
注意事项：
1．答题前，请将姓名、班级和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指
定的位置上，并正确粘贴条形码。
2．作答选择题时，选出每题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号
的信息点框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。作答非选
择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案写在答题卡指定区域内，写在本
试卷或草稿纸上，其答案一律无效。
3．本试卷共 4页，19小题，满分为 150分。考试时间 120分钟。
4．考试结束后，请将答题卡交回。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．直线 x 1的倾斜角为（ ）
3
A．0 B． C． D．
4 2 4
2．等比数列 an 中， a2 9, a5 243，则数列 an 的前4项和为（ ）
A．81 B．120 C．168 D．192
3．如图，平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， E为 BC的中点，

AB a, AD b, AA1 c，则D1E （ ）

A． a 1 b 1 c B． a b c
2 2
3
C． a 1 1 b c D． a b c
2 2 2
4． 若直线 l :mx y 1 0与圆 (x 2)2 y2 4相切，则m （ ）
A 3 B 1 C 3． ． ． D 5．
4 4 4
5．过抛物线C : y2 2px, (p 0)的焦点的直线与抛物线C相交于 A,B两点，若线
段 AB中点的坐标为 (4, 2 2)，则 p （ ）
A．1 B． 2 C．3 D． 4
高二 数学试卷 第 1页 共 4页
{#{QQABQYYAogiIAABAABhCQwUACEOQkhCAAYgGgEAMMAAAyAFABCA=}#}
6．如图，二面角 l 的棱 l上有两点 A,B，线段 BD与
AC分别在这个二面角的两个半平面 、 内，并且
AC l, BD l，若 AB 2, AC 3,BD 4,CD 41
则二面角 l 的大小为（ ）
2 5
A． B． C． D．
6 3 3 6
7．已知 A 2, 2 ,B( 2,6),C (4, 2)三点，直线 l1 : kx y 2k 0与直线
l2 : x ky 2 0
2 2 2
相交于点 P，则 PA PB PC 的最大值为（ ）
A．72 B．80 C．88 D．100
x2 y2 x2 y2
8．已知椭圆C1 : 2 2 1 aa b 1 b1 0 与双曲线C2 : a2 2 1 a2 0,b2 0 1 1 2 b2
具有相同的左、右焦点 F1,F2 ，点 P为它们在第一象限的交点，动点Q在曲线C1
上，若记曲线C1，C2的离心率分别为 e1，e y2，满足 e1 e2 1，且直线 PF1与 轴
0, 3a 的交点的坐标为 2 ，则 FQF 的最大值为（ ）
2
1 2

π π 2π 5π
A． B． C． D．
3 2 3 6
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共计 18分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求．全部选对得 6分，部分选对得部分分，有选错的得 0分．
9．下列给出的命题正确的是（ ）

A．若直线 l的方向向量为 e 1,0,3 2 ，平面 的法向量为 n 2,0, ，则
3
l / /


B．两个不重合的平面 , 的法向量分别是u (2, 2, 1)，v ( 3,4,2)，则
a ,b,c a b,b c C．若 是空间的一组基底，则 ,c a 也是空间的一组基底

D．对空间任意一点 O与不共线的三点 A,B,C，若OP xOA yOB zOC（其中
x, y, z R），则 P, A,B,C四点共面
10．若直线 y kx k R 与圆C : x 1 2 y 1 2 1交于不同的两点 A、B，O为坐
标原点，则（ ）
4
A．当 k 2时， AB 5 B．CA CB的取值范围为 1,1 5
C． OA OB 1 D．线段 AB中点的轨迹长度小于 2
高二 数学试卷 第 2页 共 4页
{#{QQABQYYAogiIAABAABhCQwUACEOQkhCAAYgGgEAMMAAAyAFABCA=}#}
1 1 *
11．若数列 an 满足 d (n N ,d aan 1 a
为常数），则称数列 n 为“调和数
n
列”．已知数列 bn 为“调和数列”，下列说法正确的是（ ）
20 1
A．若 20,则b b b b
i 1 b 10 11 10 11i
b 2n 1 1B．若 n ，且 c1 3,c2 15,c 则bn n 2n 1
C．若 b b中各项均为正数，则b n bn 2n n 1 2
D．若 S 1n为数列 bn 的前 n项和，且满足b1 1,b2 ，则 Sn 2 n2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共计 15分．
12．设 Sn是等差数列 an 的前n项和，若 a2 2,a4 a8 12，则 S7
13 2
1
．已知数列 an 的前 n项和为 Sn ,且 Sn n ，令数列 的前n项和为Tn ，
anan 1
则T2025
14 2．过抛物线 y 2px(0 p 2)的焦点 F 的直线 l交抛物线于 A,B两点，点
M (1, 0) ,沿 x轴将坐标系翻折成直二面角，当三棱锥 A FMB的体积最大时，
p
a b c 3
（参考公式：设 a,b,c R ，则 abc ( ) ，当且仅当 a b c时等号成立）
3
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题 13分）已知数列 an 1 2an 是以3为首项，2为公比的等比数列，且 a1 1．
a
（1）证明： nn 是等差数列； （2）求数列 an 的前n项和 Sn． 2
16．（本题 15 分）已知 ABC三个顶点分别 A( 1,2),B(1,0),C(3,2)，记 ABC的
外接圆为圆 E.
（1）求圆 E的标准方程；
（2）若动圆 F : (x 4)2 y2 r 2 (r 0)与圆 E相交与 P,Q两点，当 PQ 最长
时，求 r的值．
高二 数学试卷 第 3页 共 4页
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17．（本题 15分）已知O为坐标原点， A(1,0)，B( 1,0)，直线 AM ,BM 的斜率之
积为4，记动点M 的轨迹为 E．
（1）求 E的方程；
（2）直线 l经过点 (0, 3)，与 E交于 P,Q两点，线段 PQ中点D在第一象限，
3
且纵坐标为 ，求 OPQ的面积．
2
18．（本题 17分）如图，在三棱台 ABC A1B1C1 中，上下底面分别为边长是2和4的
等边三角形， AA1 平面 ABC， AA1 2，M 为 AB的中点，N为线段 BB1上
一点．
（1）若 N为 BB1的中点，证明： BB1 平面MCN；
10
（2）是否存在点 N，使得直线 AB1与平面MCN所成角的正弦值为 ？若存10
在，确定 N的位置；若不存在，说明理由．
2 2
19 x y．（本题 17分）若椭圆
2 2 1(a b 0)上的两个点M (xM , yM ) , N(xN , yN )a b
x
满足 M
xN y M yN2 2 0，则称M ,N 为该椭圆的一个“共轭点对”，点M ,N 互为a b
共轭点，显然，对于椭圆上任意一点M ，总有两个共轭点 N1,N2 ,已知椭圆
x2 2C : y 1,点 A(x0 , y0 )是椭圆C上一动点，点 A的两个共轭点分别记为8 4
B1(x1, y1),B2 (x2 , y2 )
（1）当点 A坐标为 ( 2, 3)时,求 B1B2 ；
（2）当直线 AB1, AB2 斜率存在时，记其斜率分别为 k1, k2,其中 k1k2 0，求
k1 k2 的最小值；
（3）证明： AB1B2的面积为定值.
高二 数学试卷 第 4页 共 4页
{#{QQABQYYAogiIAABAABhCQwUACEOQkhCAAYgGgEAMMAAAyAFABCA=}#}
深圳市宝安区 2024-2025学年第一学期调研测试卷高二数学参
考答案
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B A D C C A
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．每小题全部选对得 6分，部分
选对得部分分，有选错的得 0分．
题号 9 10 11
答案 BC ACD BCD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
2025 4
12、 28； 13、 ； 14、 ；
4051 3
四、解答题：本大题共 5小题，共 77分．
15．（13分）已知数列 an 1 2an 是以3为首项，2为公比的等比数列，且 a1 1．
a
（1 n）证明： n 是等差数列； （2）求数列 an 的前n项和 S2 n．
解析：(1)因为 an 1 2an 是以 3为首项，2为公比的等比数列，所以
a n 1n 1 2an 3 2 ， …………………………………1分
a 2a 3
所以 n 1n 1
n
n 1 ， …………………………………3分2 2 4
an 1 an 3 a 1即 1n 1 n ，又 1 ， …………………………………5分2 2 4 2 2
an 1 3
所以 n 是首项为 ，公差为 的等差数列．…………………………………6分 2 2 4
a 1 3 3n 1 3n 1
(2)由(1)知 nn (n 1) ，所以 an 2
n
，…………8 分
2 2 4 4 4
则 S 1n 2 2
1 5 22 8 23 (3n 1) 2n
4
,
所以 2S 1n 2 2
2 5 23 8 24 (3n 1) 2n 1 …………9分4
1
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S 1 2 21 3 22 3 23 3 2n所以 n (3n 1) 2
n 1
…………10分4
1 6 1 2
n
2 (3n 1) 2n 1

( 3n 4) 2n 1 2,4 1 2
所以 Sn (3n 4) 2
n 1 2． …………13分
16．（15分）已知 ABC三个顶点分别 A( 1,2),B(1,0),C(3,2)，记 ABC的外接圆为圆 E.
（1）求圆 E的标准方程；
（2）若动圆 F : (x 4)2 y2 r 2 (r 0)与圆 E相交与 P,Q两点，当 PQ 最长时，求 r的
值．
(1)设圆 E的方程是： x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2 4F)……….①， ……2分
由于圆 E是 ABC的外接圆，故 A,B,C三个点都在圆上，所以它们的坐标都满足①的解，把它
们的坐标依次代入①的方程，
5 D 2E F 0,
D,E,F 得到关于 的一个三元一次方程组， 1 D F 0, ……3 分

13 3D 2E F 0,
D 2,

解这个方程组，得 E 4, ……5 分

F 1.
所求的圆 E的方程是: x2 y2 2x 4y 1 0 ,标准方程是 (x 1)2 (y 2)2 4 . ……6分
(x 1)2 (y 2)2 4,
（2）由于两圆相交，联立两圆方程 ……7分
(x 4)
2 y2 r 2.
相减得 PQ : 6x 4y 15 r 2 0， ……9 分
要使得 PQ 最长，则此时 PQ过点 E ,即PQ为圆 E的直径， ……12分
将点 E(1,2)代入得，6 8 15 r2 0， ……13分
结合 r 0，得 r 17. ……15分
2
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17.（15分）已知O为坐标原点，A(1,0)，B( 1,0)，直线 AM ,BM 的斜率之积为4，记动点M
的轨迹为 E．
（1）求 E的方程；
（2）直线 l经过点 (0, 3)，与 E交于 P,Q两点，线段 PQ中点D在第一象限，且纵坐标
3
为 ，求 OPQ的面积．
2
解析：(1)设点M 的坐标为 (x, y) ， k
y y
AM ， k ， ……2 分x 1 BM x 1
2
k yAM kBM 2 4， ……3分x 1
y2
化简得： x2 1， ……4分
4
2
E y的方程为：x2 1 (x 1) ……6分（没有除去两点扣除 1分，得 5 分）
4
(2)当直线 PQ的斜率不存在时，显然不符合题意； ……7分
设 P(x1, y1)，Q(x2 , y2 )，直线 PQ方程为 y kx 3，
2
y kx 3与 x2 y 1联立得： (4 k 2 )x2 6kx 13 0 ， ……8分
4
36k 2 52(4 k 2 ) 0，且 4 k 2 0 ，解得： k 2 13且 k 2 4 ，
x x 6k x x 131 2 2 ， 1 2 ， ……9 分k 4 k 2 4
3线段 PQ中点D在第一象限，且纵坐标为 ，
2
x 6k1 x2 2 0， y1 y2 k (x1 x ) 6
24
2 2 3 ，k 4 k 4
解得 k 2 3或 k 2 3 (舍去)， 直线 PQ为 y 2 3x 3． ……10分
x x 3 3 x x
13
1 2 ， ， ……11分2 1 2 8
13| PQ | 1 k 2 | x x | 13 (x x 21 2 1 2 ) 4x1x2 ． ……12分2
d 3 3O点到直线 PQ的距离 ． ……13分
1 12 13
3
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S 1 13 3 3 ． ……15分
2 2 13 4
18．（17分）如图，在三棱台 ABC A1B1C1 中，上下底面分别为边长是 2和 4的等边三角形，
AA1 平面 ABC， AA1 2，M为 AB的中点，N为线段 BB1上一点．
（1）若 N为 BB1的中点，证明： BB1 平面MCN；
（2）是否存在点 N，使得直线 AB1与平面MCN
10
所成角的正弦值为 ？若存在，确定 N
10
的位置；若不存在，说明理由．
解析：（1）证明：连结 B1M ，可得 AB1 B1B 2 2 ， AB 4，所以，即 AB1 B1B ，
因为M，N 分别为 AB， BB1的中点，所以MN∥AB1，所以MN B1B，
因为 AA1 平面 ABC，CM 平面 ABC，所以CM AA1，易知CM AB，
AA1 AB A，所以CM 平面 ABB1A1，又 BB1 平面 ABB1A1，所以CM BB1，
又MN CM M ，所以 BB1 平面MCN． ……6 分
（2）以M 为坐标原点，MB，MC，MB1所在直线分别为 x, y, z轴建立如图空间直角坐标系
M xyz，则 B 2,0,0 ， B1 0,0,2 ， A 2,0,0 ，C 0,2 3,0 ． ……8分

设 B1N B1B， 0 1 ，所以MN MB1 B1B 2 ,0,2 2 ，又MC 0,2 3,0 ，
……10分

设平面MCN的法向量为 a x, y, z ，

a MC 2 3y 0
所以 ，令 x 1，则 a 1,0, ， ……13分
a MN 2 x 2 2 z 0

因为 AB1 2,0,2 ，设直线 AB1与平面MCN所成角为 ，
4
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a AB1 2 2 2
则 sin cos a AB1
10
， ……15分
a AB 2 2 101 2 2 1
2 1 2整理得9 9 2 0，即 或 ， ……16分3 3
所以，当点 N 为线段 BB1的三等分点时，
直线 AB1与平面MCN
10
所成角的正弦值为 ． ……17分
10
2 2
19 x y．（ 17 分）若椭圆 1(a b 0) 上的两个点 M (xM , yM ) , N (xN , yN ) 满足a2 b2
xM xN y M yN 0，则称M ,N2 2 为该椭圆的一个“共轭点对”，点M ,N 互为共轭点，显然，a b
x2 y2
对于椭圆上任意一点M ，总有两个共轭点N1,N2 ,已知椭圆C : 1,点 A(x0 , y0 )是椭
8 4
圆C上一动点，点 A的两个共轭点分别记为 B1(x1, y1),B2 (x2 , y2 )
（1）当点 A坐标为 ( 2, 3)时,求 B1B2 ；
（2）当直线 AB1, AB2 斜率存在时，记其斜率分别为 k1,k2 ,其中 k1k2 0，求 k1 k2 的最
小值；
（3）证明： AB1B2的面积为定值.
解析： 点 A( 2, 3)的共轭点分别记为 B1(x1, y1),B2 (x2 , y2 )
2x1 3y1 0 2x ， 2 3y 2 0
8 4 8 4
5
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B B 2x 3y直线 1 2的方程为 0，…………………………….2分
8 4
x2 y2
1 8 4 1 2
联立 ，得 x 1，
2x 3y 6
0 8 4
x 6 ，故 B1( 6, 1) ,B2 ( 6,1) ,则 B1B2 2 7 ；…………………4分
2 2
（2）点 A(x0 , y
x y
0 )是椭圆C上一动点, 0 0 1, x 20 2y
2
0 8,8 4
x x y
由（1）知，直线B B 的方程为 0 0
y 0 x0x1 2 即 y0 y 0，8 4 2
x 2 2 20 x y 2 16y0 2
当 y0 0时，直线 B1B2 的方程为 y x2y ，代入 1，得
x 2 2 2y ，
0 8 4 x0 2y
0
0
2
即 x1x2 2y0 , x1 x2 0，
2 2
y y x 0 x x x0 x01 2 2 1 2 , y1 y2 (x1 x2 ) 0…………………8分4y0 2 2y0
x 20 2
y y y 2 y0k k 1 0 2 y0 y1y2 y0 (y1 y2 ) y0 2 1 …………………10分1 2 x1 x0 x2 x0 x1x2 x0 (x x
2
1 2 ) x0 2y
2
0 x
2
0 2
当 y0 0时，易知 A( 2 2,0)，对应的共轭点为 B1(0, 2) , B2 (0, 2) ,
k 2 2此时 k
1
k
1 ， k2 ，故 1 2 也成立2 2 2
…………………11分（未进行特殊情况书写扣除 1分，得 10分）
k k 2 k k 2 21 2 1 2 ，当且仅当 k1 k2 时等号成立；…………………12分2
（3）由（2）知，对任意点 A(x0 , y0 )，都有 x1 x2 2 x1 ， y1 y2 2 y1 ，
B1B2 (x1 x )
2
2 (y
2
1 y2 ) 4x
2
1 4y
2
1 2x
2 2
0 8y0 ，…………………14分
6
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x20 y2
x 0 x2 2y2 8
点 A(x , y )到直线B B ： 0
x
0 0 1 2 y0 y 0的距离为 d
2 0 0
2 x2 x2 4y2 x2 4y2
，
0 y2 0 0 0 0
4 0
1 1 2 2 8
AB B 的面积 S B1B2 d 2x0 8y0 4 21 2 2 2 2 ，x0 4y
2
0
故 AB1B2的面积为定值 4 2 . …………………17分
7
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