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第18章 矩形、菱形与正方形质量评估
［时间：120分钟 分值：120分］
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．若一个菱形的边长为3，则菱形的周长是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．32
2．如图，四边形是矩形，对角线和相交于点，若，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．2
3．菱形的对角线与相交于点，，，则菱形的周长为（ ）
A．52 B．48 C．40 D．20
4．如图，在矩形中，点在边上，当是等边三角形时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．下列命题中，是真命题的为（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
6．如图，在中， ，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点，连结，若，则（ ）
A．3 B．2 C．10 D．
7．如图，四边形是平行四边形，下列结论正确的是（ ）
A．当是矩形时，
B．当是菱形时，
C．当是正方形时，
D．当是菱形时，
8．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小明家有一个菱形中国结装饰如图，测得,，直线交两对边于点、，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图：点、、、分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
10．如图，在边长为4的正方形中，是边上一点，是的延长线上一点，连结、，平分交于点.若，则的长度为（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．一个矩形相邻两边的长分别为2，，则这个矩形的面积是_ _ _ _ _ _ .
12．如图，在菱形中，连结、，若 ，则的度数为_ _ _ _ _ _ .
13．如图，为正方形的两条对角线、的交点.若正方形的周长为，则阴影部分的面积为_ _ _ _ .
14．如图，在矩形中，点、分别在、上，.只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （写出一个即可）.
15．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连结、相交于点，连结，则的度数为_ _ _ _ _ _ .
16．如图，在中， ，、、分别为、、的中点，若，则_ _ _ _ .
17．“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创建的，我国古代数学家运用“出入相补原理”在勾股定理证明、开平方等诸多方面取得了巨大成就.如图，是刘徽用“出入相补法”证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形、、均为正方形.若，，则正方形的周长为_ _ _ _ .
18．如图，菱形的边长为4， ，点，点是对角线上的两动点，，连结、，则的最小值为_ _ _ _ _ _ .
三、解答题（本大题共8个小题，共66分）
19．（6分）如图，四边形是矩形，点和点在边上，且.求证：.
20．（6分）如图，在菱形中，对角线、相交于点，，.求证：四边形是矩形.
21．（8分）【问题背景】
如图，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点在对角线上.
【数学理解】
（1） 该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程；
（2） 若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数.
22．（8分）如图，在四边形中，，点，在对角线上，，且，.
（1） 求证：；
（2） 连结、，若 ，请判断四边形的形状，并说明理由.
23．（9分）如图，将矩形纸片沿折叠，使得点与点重合.
（1） 连结，试问四边形是否是特殊的四边形？请说明理由.
（2） 若，，求四边形的周长与面积.
24．（9分）如图，的对角线与相交于点，，，.
（1） 求证：是菱形.
（2） 若点是对角线上的一动点（不与点、重合），于点，于点，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
25．（10分）如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连结.
（1） 求证：.
（2） 当满足什么条件时四边形是矩形 证明你的结论.
（3） 若为直角三角形，且 时，判断四边形的形状，并说明理由.
26．（10分）如图①，正方形的边长为、分别为边、上的动点，的周长为4，是的延长线上的一点，且.
（1） 求证：.
（2） 试问的大小是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由.
（3） 如图②，若为边的中点，过点作，垂足为.求线段的最小值.
第18章质量评估
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．B 2．A 3．A 4．C 5．D 6．B 7．C 8．A 9．B 10．D
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．
12．
13．1
14．（答案不唯一）
15．
16．3
17．52
18．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分）
19．证明： 四边形是矩形，
， .
，
，即，
，.
20．证明：，，即,，
四边形是平行四边形.
四边形是菱形，
， ，
四边形是矩形.
21．（1） 证明： 四边形是正方形，
，，又，
.
（2） 解： 四边形是正方形， ， .， ，
.
22．（1） 证明：，.
，,
.
，
，即.
在和中，
.
（2） 解：四边形是菱形.理由如下：
如答图所示.
第22题答图
，，
.
， ，
是斜边上的中线，
.
在中， ，
，，同理：.
，.
又 ， 四边形是菱形.
23．（1） 解：四边形是菱形.理由如下：
四边形是矩形，，.由折叠的性质,得，，
，，
，
四边形是平行四边形.
， 四边形是菱形.
（2） 四边形是矩形，
， .
由折叠的性质,得，
设，则.
由勾股定理,得，
，
解得，，
由（1）知四边形是菱形，
四边形的周长为，
四边形的面积为.
24．（1） 证明： 四边形是平行四边形，，，， ，，是菱形.
（2） 解：是定值.如答图，连结，过点作于点 四边形是菱形，
第24题答图
，，，，.
25．（1） 证明：，
.
是的中点，.
在和中，
，.
，.
（2） 解：当时，四边形是矩形，证明如下：
，， 四边形是平行四边形，
，，， ，
四边形是矩形.
（3） 解：四边形是菱形.理由如下：
，，.
四边形是平行四边形，
四边形是菱形.
26．（1） 证明： 四边形是正方形，， ， ， .
在和中，，
，， ，.
（2） 解：的大小是定值.的周长为4， 正方形的边长为2，，，，，.由（1）得， ，
.在和中，，
， ，的大小是定值，定值为 .
（3） 解：如答图，连结.
第26题答图
正方形的边长为2，， ，是的高.，是的高，由（2）得，，，，为边的中点，，.，，解得，
的最小值为.

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