资源简介

2025-2026九上
数学【特殊平行四边形】
期末专项训练
题型一 矩形、正方形性质理解（共3小题）
1．（23-24九年级上·四川成都·期末）下列命题中，正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．一组邻边相等的四边形是菱形
C．平行四边形的对角线互相平分且相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等
2．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（22-23九年级上·天津和平·期末）如图，在正方形所在的平面内求一点，使，，，都是等腰三角形，具有这性质的点有 个．
题型二 利用菱形的性质求值（共7小题）
4．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在菱形中，，点在对角线上，且，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，四边形是菱形，，，于点E，则的长是（　　）
A． B．6 C． D．12
6．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，在菱形中，若对角线，，则菱形的面积为（ ）
A．10 B．24 C．40 D．48
7．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）若菱形的两条对角线的长分别为6，，则菱形的面积为 ．
8．（23-24九年级上·福建三明·期末）如图，是菱形的对角线，若，则的度数为 ．
9．（24-25九年级上·广东茂名·期末）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．圆圆家有一个菱形中国结装饰，将该中国结简化成菱形，测得，则该菱形的边长为 ．
10．（24-25九年级上·江西鹰潭·期末）如图，在菱形中，，对角线，交于点，为的中点，连接，求的度数．
题型三 利用菱形的性质证明（共2小题）
11．（23-24九年级上·四川成都·期末）已知四边形是菱形，相交于点O，下列结论正确的是（ ）
A． B．菱形的面积等于
C．平分 D．若，则四边形是正方形
12．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在菱形中，E、F分别是和的中点，连接、．求证：．
题型四 菱形的证明（共5小题）
13．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）如图，添加下列条件不能判定平行四边形是菱形的是（ ）
A． B．平分
C．， D．
14．（22-23九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，与关于公共顶点O成中心对称，连接，，添加一个条件 ，使四边形为菱形．
15．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）如图，四边形的对角线与相交于点，有下列条件：，②．
(1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是菱形；
(2)在（1）的条件下，若，求四边形的周长．
16．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在四边形中，，，对角线平分．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的周长．
17．（22-23九年级上·湖南长沙·期末）如图，将菱形ABCD的对角线AC向两个方向延长，分别至点E和点F，且使AE＝CF．
（1）求证：四边形EBFD是菱形；
（2）若菱形EBFD的对角线BD＝10，EF＝24，求菱形EBFD的面积．
题型五 根据菱形的性质与判定求值（共4小题）
18．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为（ ）
A．6cm B． C． D．
19．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则 °．
20．（24-25九年级上·云南昆明·期末）如图，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，，求四边形的面积．
21．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）周末，小颖和妈妈买回来一盏简单而精致的吊灯，其截面如图所示，四边形是一个菱形内框架，四边形是其外部框架，且点、、、在同一直线上，．
(1)求证：四边形外框是菱形；
(2)若外框的周长为，，，求的长．
题型六 利用矩形的性质求值（共6小题）
22．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，四边形是矩形，对角线相交于点，过点作的垂线交于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
23．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）如图，已知矩形面积为，，，，，则阴影部分的面积（　　）
A． B． C． D．
24．（23-24九年级上·四川成都·期末）在矩形中，若，对角线，则矩形的面积是 ．
25．（22-23九年级上·四川成都·期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O作，交于点E，若，则的大小为 ．
26．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形，旋转过程中，菱形周长的最小值是 ，菱形周长的最大值是 ．
27．（24-25九年级上·江西吉安·期末）如图所示，在矩形中，，动点M从点A开始沿边以的速度运动，动点N从点C开始沿边以的速度运动，点M和点N同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动点的运动时间为，则当为何值时，四边形是矩形？
题型七 利用矩形的性质证明（共4小题）
28．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，是矩形的对角线上一点，，，于点，于点，连接，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
29．（24-25九年级上·广东清远·期末）矩形各边中点构成的四边形是 ．
30．（23-24九年级下·陕西汉中·期末）如图，是菱形对角线的交点，过点作，过点作与相交于点．求证：四边形是矩形．
31．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，四边形是矩形，点分别在边上，连接，且．求证：．
题型八 矩形的证明（共4小题）
32．（24-25九年级上·全国·期末）如图，要使成为矩形，则可添加的一个条件是（ ）

A． B．
C． D．
33．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，已知四边形为平行四边形，对角线与交于点，试添加一个条件 ，使为矩形．
34．（23-24九年级上·湖南邵阳·期末）如图，在四边形中，，，连接，相交于点．请增加一个条件，使得四边形是矩形，增加的条件为 ．（填一个即可）
35．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在中，点是边的中点，过点作直线，的平分线和外角的平分线分别交于点，．
(1)求证：四边形是矩形：
(2)若，，求四边形的面积．
题型九 根据矩形的性质与判定求值 （共4小题）
36．（23-24九年级上·山西晋中·期末）如图，在中，，，，P为边上一动点，于点E，于点F，点M为中点，则最小值为（　　）
A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5
37．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，，连接与交于点O，若，，则四边形的面积为（ ）
A．24 B．36 C．48 D．60
38．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在直角三角形中，，，，点M是边上一点(不与点A，B重合)，作于点E，于点F，若点P是的中点，则 长度的最小值是 ．
39．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，对角线，相交于点O，过点D作且，连接，，．
(1)求证：是菱形；
(2)若，，求的长．
题型十 根据正方形的性质求值（共5小题）
40．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，将正方形的边绕点逆时针旋转一定角度得到，连接，再将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
41．（24-25九年级上·广东·期末）在正方形中，边长，为中点，为上一点，且垂直平分交于点，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
42．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图，四边形是边长为1的正方形，以对角线为边作第二个正方形，连接，得到；再以对角线为边作第三个正方形，连接，得到；再以对角线为边作第四个正方形，连接，得到设的面积分别为，如此下去，则的值为（ ）
A． B． C． D．1012
43．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，正方形的边在正六边形的边上，则 度．

44．（24-25九年级上·全国·期末）如图，正方形的边长为，点在的延长线上，，作 交延长线于点，则的长为 ．
题型十一 根据正方形的性质与判定证明（共2小题）
45．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在正方形中，点在边上，连接，于点，于点，若，，则的长为（ ）
A．5 B．8 C．12 D．2
46．（24-25九年级上·重庆南岸·期末）如图，正方形的对角线，相交于点O，点M是边上一点，连接，过点O作，交于点N，若正方形的边长为2，则四边形的面积是 ．
题型十二 正方形的证明（共6小题）
47．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）四边形中，、相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（　　）
A．，， B．，
C．， D．，，
48．（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，在中，、是对角线上的动点，且，、分别是边，上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形；②存在无数个矩形；③存在无数个菱形；④存在无数个正方形．正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
49．（23-24九年级上·全国·期末）在四边形中，对角线，交于点，，添加一个条件使四边形是正方形，那么所添加的条件可以是 （写出一个即可）
50．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于点，交于点，交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，求的长．（用含的代数式表示）
51．（22-23九年级上·河南郑州·期末）数学活动课上，何老师布置了一道题目：如图，你能用一张锐角三角形纸片折出一个以为内角的菱形吗？石雨的折法如下：
第一步，折出的平分线，交于点D，
第二步，折出的垂直平分线，分别交、于点E、F，把纸片展平，
第三步，折出、，得到四边形，
(1)请根据石雨的折法在图中画出对应的图形，并证明四边形是菱形；
(2)满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由．
52．（22-23九年级上·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点O．
(1)若，求证：矩形是正方形；
(2)请添加一个异于（1）的条件，使矩形成为正方形，不用说明理由．
题型十三 根据正方形的性质与判定求值 （共3小题）
53．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，矩形纸片中，，．现将其沿对折，使得点在边上的点处，折痕与边交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
54．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，，于点，若，则四边形的面积是 ．
55．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于点E，交于点F，交的延长线于点G，连接．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，求的长．
题型十四 中点四边形（共3小题）
56．（23-24九年级上·全国·期末）一个四边形的中点四边形是矩形，则这个四边形可能是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．等腰梯形
57．（23-24九年级上·全国·期末）如图，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC，BD的平行线，分别相交于E，F，G，H四点，则四边形EFGH为 ．
58．（22-23九年级上·山西太原·期末）如图，在中，点M和N分别在边和上，，连接，点D，E，F，G分别是的中点．求证：四边形是菱形．
题型十五 作图题（共4小题）
59．（24-25九年级上·江西吉安·期末）已知四边形是矩形，点是边上的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
(1)如图①中，过点E作线段，使得，交于点F；
(2)如图②中，在线段上找一点，使得，连接．
60．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点．线段的两个端点均在格点上，按要求完成下列作图．
(1)在图①中，在线段上找到一点，使；
(2)在图②中，画出一个四边形，使其既是中心对称图形，又是轴对称图形，且为格点．
61．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，在四边形中，，是对角线．
(1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交于点O，E，F．连接．（只保留作图痕迹）
(2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．
62．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，在正方形中，点M，N分别是边，上的点，且，线段，相交于点E．
(1)请用无刻度的直尺和圆规过点B作的垂线，交于点P，交于点Q（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）中所作图形，判断四边形的形状，并说明理由．
题型十六 折叠问题（共6小题）
63．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，矩形纸片中，，，同学们按以下所给图步骤折叠这张矩形纸片，则线段AF长为（ ）
A．2 B．1 C． D．
64．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，点折叠后的对应点分别为，则下列结论：
若，则；
若点与点重合，则；
若，则；
若，则；
其中，正确的有（ ）
A． B． C． D．
65．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，正方形的边长为，点G是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，当最小时，的长是 ．
66．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，将矩形纸片沿折叠，得到，与交于点，若，则 ．
67．（23-24九年级上·河南南阳·期末）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．
【操作】如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．
【猜想】的数量关系；
【证明】请你证明上面的猜想；
【应用】如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为．
（1）猜想与的数量关系，并证明；
（2）若，，求的长．
68．（23-24九年级上·吉林长春·期末）数学活动课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展活动．
【操作】：
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点(点不与重合)，沿折叠，使点落在正方形内部处，把纸片展平，连结，延长交于点，连结．
【探究】：
（1）如图①，当点在上时，______．
（2）改变点在上位置，如图②，判断线段之间有怎样的数量关系，并说明理由．
【应用】：
若正方形纸片的边长为，当时，的长为______．
题型十七 旋转问题（共9小题）
69．（23-24九年级上·广东·期末）如图①，矩形的边，，将矩形绕点逆时针旋转角得到矩形，与交于点．
数学思考：（1）填空：图①中__________；（用含的代数式表示）
深入探究：（2）如图②，当点在对角线的垂直平分线上时，连接，求证：．
70．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在正方形中，E、F是对角线上的两点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
71．（24-25九年级上·天津静海·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形的顶点A的坐标为，点B在第一象限，点C在y轴正半轴上．
(1)如图①，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ；
(2)将正方形绕点O逆时针旋转，得到正方形，A，B，C的对应点分别为，，．旋转角为．的延长线交x轴于点D，与y轴交于点E．
①如图②，当时，点的坐标为 ，点E的坐标为 ；
②如图③，在旋转过程中，连接，设，的面积为S，求S关于m的函数表达式，并直接写出m的取值范围．
72．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】（1）如图1，为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小.李明同学的思路是：将绕点逆时针旋转60°，点的对应点为，画出旋转后的图形，再连接.将求分成求和的和即可.请你按照李明同学给出的旋转的思路，求的大小；
【问题解决】（2）如图2，在正方形中，，分别为，边上的点，满足，若，，求的面积；
【问题拓展】（3）如图3，在四边形，，，，求的长.
73．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）综合与探究：如图①，点为正方形内一点，，将绕点逆时针方向旋转得到，延长交于点，连接．
【证明结论】
（）求证：四边形是正方形；
【解决问题】
（）如图①，若，求的面积；
【问题探究】
（）如图②，若，求证：点是的中点．
74．（24-25九年级上·天津静海·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形的顶点A的坐标为，点B在第一象限，点C在y轴正半轴上．
(1)如图①，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ；
(2)将正方形绕点O逆时针旋转，得到正方形，A，B，C的对应点分别为，，．旋转角为．的延长线交x轴于点D，与y轴交于点E．
①如图②，当时，点的坐标为 ，点E的坐标为 ；
②如图③，在旋转过程中，连接，设，的面积为S，求S关于m的函数表达式，并直接写出m的取值范围．
75．（22-23九年级上·辽宁辽阳·期末）已知线段是正方形的一条对角线，点E在射线上运动，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接．
（1）如图1，若点E在线段上，请直接写出线段与线段的数量关系与位置关系；
【模型应用】
（2）如图2，若点E在线段的延长线上运动，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由；
【模型迁移】
（3）如图3，已知线段是矩形的一条对角线，，，点E在射线上运动，连接，将绕点C顺时针旋转，得到，在上截取线段，连接，若，直接写出线段的长．
76．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，正方形的边长为4，点是边的中点，点为边上一动点，将点绕点顺时针旋转得到点，连接、、．
(1)线段的长为 ；
(2)当点运动到边中点时，求线段的长；
(3)当时，求线段的长；
(4)连接，当 度时，线段的长取得最小值，此时 ， ．
77．（24-25九年级上·广东东莞·期末）【探究与证明】活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题进行探究．
【问题情境】如图①，在矩形中，，．将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线于点．
【猜想证明】从特殊到一般
(1)当时，四边形的形状为_______；（直接写出答案）
(2)如图②，当时，连接，求此时的面积；
(3)如图③，连接，请找出其中的全等三角形并证明；
(4)当点F，E，D三点共线时，请求出此时的长度．
题型十八 动点问题（共5小题）
78．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，已知的顶点为坐标原点，顶点在轴的负半轴上且，点，连接并延长交轴于点．
(1)求直线的解析式；
(2)若点从出发以2个单位秒的速度沿轴向右运动，同时点从出发，以1个单位秒的速度沿轴向左运动，过点，分别作轴的垂线交射线和射线于点，，试猜想四边形的形状（点，重合除外），并证明你的猜想；
(3)在（2）的条件下，四边形能为正方形吗？如果能，请求出所有满足条件的点P运动的时间；如果不能，请说明理由．
79．（23-24九年级上·重庆北碚·期末）如图，在矩形中，，，动点，均以每秒个单位长度的速度分别从点，点同时出发，其中点沿折线方向运动，点沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．运动时间为秒，的面积为．
(1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出的面积大于时的取值范围．
80．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在平行四边形中，，，为边上的一动点，动点从点出发，沿着的方向，以每秒个单位的速度向点运动，设运动时间为秒，作点关于直线的对称点．
(1)当点在中点处，且在线段上时，若与四边形重叠部分为直角三角形，求的值；
(2)若点与点同时从点出发，点在线段上，以每秒个单位的速度向点运动，记线段与线段的交点为，设的面积为，求与的函数表达式．
81．（24-25九年级上·吉林长春·期末）在中，，，．动点从点出发，沿线段以每秒个单位的速度向终点运动，同时点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动，当点停止运动时，点也随之停止运动．作点关于的对称点，连接、，以、为邻边构造．设点运动时间为秒．
(1)用含的代数式表示线段的长；
(2)当为矩形时，求的长；
(3)当点在边上运动且的面积被分成：两部分时，求的值；
(4)连接，当与的一边平行或垂直时，直接写出的值．
82．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，在矩形中，，，点、、分别从点、、三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点、的速度均为，点的速度为，当点追上点（即点与点重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为
(1)当秒时，的值是多少？
(2)写出和之间的函数解析式，并指出自变量的取值范围；
(3)若点在矩形的边上移动，当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似？请说明理由．
参考答案：
题型一 矩形、正方形性质理解
D
C
9
题型二 利用菱形的性质求值
4. C
5. A
6. B
7.
8. /70度
9. 13
10.123°
题型三 利用菱形的性质证明
11. C
12. 证明：四边形是菱形，
，
、分别是和的中点，
，，
，
又，
，
．
题型四 菱形的证明
13. C
14. AD=ABAD=AB（答案不唯一）
15. （1）（1）选①作为条件
证明：如图，在四边形中
∵，
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是菱形
选②作为条件
证明：如图，在四边形中
∵，分
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是菱形
（2）解：由（1）知：四边形是菱形
∴且与互相平分
∴，
在中，，由勾股定理得：
∴四边形的周长为：
16. （1）证明：对角线平分，
，
，
，
，
，
又，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（2）周长为 20
17. （1）证明：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD．
∵AE=CF，
∴OA+AE=OC+CF，即OE=OF．
∴四边形AECF是平行四边形．
∵AC⊥EF，
∴四边形EBFD是菱形．
（2）面积为 120
题型五 根据菱形的性质与判定求值
18. C
19. 25
20. （1）解：，
，，
平分，平分，
，，
，，
，，
，
∵，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）面积为 24
21. （1）证明：四边形是菱形，
，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
同理可证：，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）30
题型六 利用矩形的性质求值
22. C
23. B
24.
25. 50°
26. 12；20
27. t=4
题型七 利用矩形的性质证明
28. C
29. 菱形
30. 解：∵ ，，
∴ 四边形是平行四边形，
∵ 四边形是菱形，
∴ ，即，
∴ 平行四边形是矩形．
31. 证明：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
在和中，
，
．
题型八 矩形的证明
32. D
33. 或（或或或）（答案不唯一）
34. 或（答案不唯一）
35. （1）证明：，
，，
又平分，平分，
，，
，，
，，
，
点是的中点，
，
∴四边形是平行四边形
∵
∴
四边形是矩形；
（2）面积为
题型九 根据矩形的性质与判定求值
36. A
37. C
38. 1.2
39. （1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形．
，
∴平行四边形是矩形，
，
∴，
∴是菱形；
（2）
题型十 根据正方形的性质求值
40. A
41. B
42. B
43. 30°
44. 10
题型十一 根据正方形的性质与判定证明
45. A
46. 1
题型十二 正方形的证明
47. C
48. C
49. AB=AD
50. （1）证明：∵的垂直平分线交于，交于，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
（2）a
51. （1）解：图形如图所示：
理由：∵ 是 的平分线，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴．
同理，
∴四边形 是平行四边形，
又，
∴四边形 是菱形．
（2）当 △ABC 为直角三角形且 ∠BAC=90 时，四边形 AEDF 是正方形
52. （1）证明：∵四边形是矩形，∴，
∵，∴，
∴，
∴矩形是正方形；
（2）条件：AB=AD（答案不唯一）
题型十三 根据正方形的性质与判定求值
53. C
54. 36
55. （1）证明：∵的垂直平分线交于，交于，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形；
（2）2
题型十四 中点四边形
56. B
57. 菱形
58. 证明：∵点，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，，
同理可得：，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形为菱形．
题型十五 作图题
59. （1）
（2）
60. （1）
（2）
61. （1）
（2）证明：∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形（对角线垂直的平行四边形为菱形）
62. （1）
（2）四边形为平行四边形，理由如下：
四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形．
题型十六 折叠问题
63. D
64. D
65. /
66. 22°/22度
67. 【猜想】解：【猜想】：；
【证明】矩形纸片沿所在的直线折叠，
，
四边形是矩形，
，
，
，
．
【应用】（1）；理由如下：
由四边形折叠得到四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
即；
（2）5
68. 【探究】（1）15；（2）；应用
题型十七 旋转问题
69. （1）；
（2）证明：∵点在对角线的垂直平分线上，边经过点，
，
∵四边形是矩形，
，，
由旋转得：，
，，
在与中，
∵，
，
．
70. （1）证明：∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∴；
(2)
71. (1)，
(2)①，；②
72. 【答案】（1）；（2）；（3）
73. （1）证明：∵是由逆时针旋转而得到，
∴，，，
∵是的延长线，
∴
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形；
（2）面积为 32 ；（3）（）如图②，过点作于点，
由（）可知：，
∴，
由（）可知：，四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴点为的中点．
74. 同71题答案
75. （1），，理由见解析；（2），见解析；（3）线段的长为或
76. (1)2
(2)
(3)
(4)60；3；
77. (1)正方形
(2)
(3)，证明见解析
(4)或8
题型十八 动点问题
78. (1)直线的解析式为；
(2)四边形是矩形；
(3)点P运动秒或秒时，四边形是正方形．
79. (1)
(2)见解析，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小
(3)
80. (1)或或；
(2)当时，；当时，．
81. (1)当时，；当时，；
(2)2；
(3)或；
(4)或或．
82. (1)24
(2)
(3)为或，理由：如图：
，
以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似，只需或，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
综上所述，当为或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似.

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