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第2章 相交线与平行线单元测试(B卷提升篇）（北师版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号
一
二
三
总分
得分
第Ⅰ卷（选择题）
评卷人
得 分


一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2019春?集美区校级期中）同一平面内，∠A与∠B的两边互相垂直，∠B比∠A的2倍少30°，则∠A是（　　）
A．30° B．70° C．20°或110° D．30°或70°
2．（2019春?临沂期中）如图，已知a∥b，∠1＝50°，∠2＝120°，则∠3等于（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
3．（2019春?沂水县期中）如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠2＝∠3，③∠5+∠6＝180°，④∠1+∠4＝180°，⑤∠7＝∠2+∠3中能判断直线a∥b的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2019春?彭泽县期中）如图所示，直线AB、CD交于点O，OE、OF为过点O的射线，则对顶角有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
5．（2019春?泰兴市校级期中）如图，直线AE∥DF，若∠ABC＝120°，∠DCB＝95°，则∠1+∠2的度数为（　　）
A．45° B．55° C．35° D．不能确定
6．（2019秋?溧水区期中）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连接AC、BC．若∠ABC＝54°，则∠1的度数为（　　）
A．36° B．54° C．60° D．72°
7．（2019春?九龙坡区校级期中）如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝100°，则∠BEG的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
8．（2019春?城关区校级期中）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2，当∠BAD＝15°时，BC∥DE，则∠BAD（0°＜∠BAD＜180°）其它所有可能符合条件的度数为（　　）
A．60°和135° B．45°、60°、105°和135°
C．30°和45° D．以上都有可能
9．（2019秋?东西湖区期中）如图1，∠DEF＝20°，将长方形纸片ABCD沿直线EF折叠成图2，再沿折痕为BF折叠成图3，则∠CFE的度数为（　　）
A．100° B．120° C．140° D．160°
10．（2019春?嘉兴期中）如图，已知DC∥FP，∠1＝∠2，∠FED＝32°，∠AGF＝76°，FH平分∠EFG，则∠PFH的度数是（　　）
A．54° B．44° C．32° D．22°
第Ⅱ卷（非选择题）
评卷人
得 分


二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（2019春?江城区期中）如图，与∠C是内错角的是　 　．
12．（2019春?成都期中）如图，在同一平面内，直线l1∥l2，将含有60°角的三角尺ABC的直角顶点C放在直线l1上，另一个顶点A恰好落在直线l2上，若∠2＝40°，则∠1的度数是　 　．
13．（2019秋?香坊区校级期中）已知AB∥CD，AE、CE分别平分∠FAB、∠FCD，∠E＝15°，则∠F＝　 　°．
14．（2019春?思明区校级期中）如图，已知AB∥CD，∠EAF＝∠EAB，∠ECF＝∠ECD，∠AFC＝62°，则∠AEC度数是　 　．
15．（2019春?九龙坡区校级期中）如图，已知AB∥CD，且∠ABE＝36°，∠BEF＝60°，∠FCD＝30°，则∠EFC＝　 　度．
16．（2019春?高新区校级期中）如图1为北斗七星的位置图，如图2将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，将A，B，C，D，E，F顺次首尾连结，若AF恰好经过点G，且AF∥DE，∠B＝∠C+10°，∠D＝105°，∠B﹣∠CGF＝　 　．
17．（2019秋?滨海县期中）如图所示的长方形纸条ABCD，将纸片沿MN折叠，MB与DN交于点K，若∠1＝70°，则∠MKN＝　 　°．
18．（2018春?嘉祥县期中）如图，当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向发生了变化，这种现象叫做光的折射，在图中，AB与直线CD相交于水平面点交于水平点F，一束光线沿CD射入水面，在点F处发生折射，沿FE射入水内．如果∠1＝42°，∠2＝29°，则光的传播方向改变了　 　度．
评卷人
得 分


三．解答题（共5小题，满分46分）
19．（8分）（2019秋?宽城区期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，点G是CA延长线上一点，GE∥AD交AB于F，交BC于E．判断△AFG的形状并加以证明．
20．（9分）（2019秋?香坊区校级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝67.5°，OE把∠BOD分成两个角，且∠DOE：∠BOE＝1：2．
（1）求∠DOE的度数；
（2）若OF平分∠AOE，求证：OA平分∠COF．
21．（9分）（2019春?马尾区期中）科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等，如图1，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时有∠ABP＝∠CBE，∠DEB＝∠FEQ．如图2，一束光线m射到平面镜AP上，被平面镜AP反射到平面镜AQ上，又被AQ镜反射，若平面镜AQ反射出的光线n平行于光线m．
（1）当∠1＝50°，求∠2的度数；
（2）求∠3的度数．
22．（10分）（2019秋?道里区校级期中）已知：AF平分∠BAE，CF平分∠DCE．
（1）如图①，已知AB∥CD，求证：∠AEC＝∠C﹣∠A；
（2）如图②，在（1）的条件下，直接写出∠E与∠F的关系．∠E＝　 　（用含有∠F的式子表示）；
（3）如图③，BD⊥AB，垂足为B，∠BDC＝110°，∠AEC＝40°，求∠AFC的度数．
23．（10分）（2019春?南昌期中）如图，已知AB∥CD，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F．
（1）在图1中，求证：
①∠ABE+∠CDE+∠E＝360°；
②∠ABF+∠CDF＝∠BFD；
（2）如图2，当∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF时，请你写田∠M与∠E之间的关系，并加以证明；
（3）当∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，且∠E＝m°时，请你直接写出∠M的度数（用含m，n的式子表示）
第2章 相交线与平行线单元测试(B卷提升篇）（北师版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2019春?集美区校级期中）同一平面内，∠A与∠B的两边互相垂直，∠B比∠A的2倍少30°，则∠A是（　　）
A．30° B．70° C．20°或110° D．30°或70°
【答案】解：设∠A是x度，根据题意，得
①两个角相等时，如图1：
∠B＝∠A＝x°，
x＝2x﹣30
解得，x＝30，
故∠A＝30°，
②两个角互补时，如图2：
x+2x﹣30＝180，
所以x＝70，
故∠A＝70°．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了考查了垂线，本题需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．关键是得到∠A与∠B互补．
2．（2019春?临沂期中）如图，已知a∥b，∠1＝50°，∠2＝120°，则∠3等于（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】解：如图，∵a∥b，
∴∠2+∠4＝180°，
∵∠2＝120°，
∴∠4＝60°，
∵∠3＝∠1+∠4，∠1＝50°，
∴∠3＝50°+60°＝110°，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．（2019春?沂水县期中）如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠2＝∠3，③∠5+∠6＝180°，④∠1+∠4＝180°，⑤∠7＝∠2+∠3中能判断直线a∥b的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】解：①由∠1＝∠2，可得a∥b；
②由∠2＝∠3，不能得到a∥b；
③由∠5+∠6＝180°，∠3+∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到a∥b；
④由∠1+∠4＝180°，不能得到a∥b；
⑤由∠7＝∠2+∠3，∠7＝∠1+∠3可得∠1＝∠2，即可得到a∥b；
故能判断直线a∥b的有3个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解决问题的关键．
4．（2019春?彭泽县期中）如图所示，直线AB、CD交于点O，OE、OF为过点O的射线，则对顶角有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】解：图中的对顶角有：∠AOC与∠BOD，∠AOD与∠BOC共2对．
故选：B．
【点睛】本题考查了对顶角的定义，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键．
5．（2019春?泰兴市校级期中）如图，直线AE∥DF，若∠ABC＝120°，∠DCB＝95°，则∠1+∠2的度数为（　　）
A．45° B．55° C．35° D．不能确定
【答案】解：∵AE∥DF，
∴∠3+∠4＝180°，
∵∠ABC＝∠1+∠3＝120°，∠DCB＝∠2+∠4＝95°，
∴∠1+∠3+∠2+∠4＝120°+95°，
∴∠1+∠2＝215°﹣180°＝35°，
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的外角等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
6．（2019秋?溧水区期中）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连接AC、BC．若∠ABC＝54°，则∠1的度数为（　　）
A．36° B．54° C．60° D．72°
【答案】解：∵直线l1∥l2，
∴∠1+∠ACB+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝54°，AC＝AB，
∴∠ABC＝∠ACB＝54°，
∴∠1＝72°，
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质和数形结合的思想解答．
7．（2019春?九龙坡区校级期中）如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝100°，则∠BEG的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】解：设FBE＝∠FEB＝α，则∠AFE＝2α，
∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH＝∠GEF＝β，
∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，
而∠D＝∠ABC，∴∠D+∠BAD＝180°，∴AB∥CD，
∠DEH＝100°，则∠CEG＝∠FAE＝80°，
∠AEF＝180°﹣∠AED﹣∠BEG＝180°﹣2β，
在△AEF中，
100°+2α+180°﹣2β＝180°，
故β﹣α＝40°，
而∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝β﹣α＝40°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，涉及到角平行线、外角定理，本题关键是落脚于△AEF内角和为180°，即100°+2α+180°﹣2β＝180°，题目难度较大．
8．（2019春?城关区校级期中）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2，当∠BAD＝15°时，BC∥DE，则∠BAD（0°＜∠BAD＜180°）其它所有可能符合条件的度数为（　　）
A．60°和135° B．45°、60°、105°和135°
C．30°和45° D．以上都有可能
【答案】解：如图，
当AC∥DE时，∠BAD＝∠DAE＝45°；
当BC∥AD时，∠DAB＝∠B＝60°；
当BC∥AE时，∵∠EAB＝∠B＝60°，
∴∠BAD＝∠DAE+∠EAB＝45°+60°＝105°；
当AB∥DE时，∵∠E＝∠EAB＝90°，
∴∠BAD＝∠DAE+∠EAB＝45°+90°＝135°．
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键．
9．（2019秋?东西湖区期中）如图1，∠DEF＝20°，将长方形纸片ABCD沿直线EF折叠成图2，再沿折痕为BF折叠成图3，则∠CFE的度数为（　　）
A．100° B．120° C．140° D．160°
【答案】解：∵矩形对边AD∥BC，
∴CF∥DE，
∴图1中，∠CFE＝180°﹣∠DEF＝180°﹣20°＝160°，
∵矩形对边AD∥BC，
∴∠BFE＝∠DEF＝20°，
∴图2中，∠BFC＝160°﹣20°＝140°，
由翻折的性质得，图3中∠CFE+∠BFE＝∠BFC，
∴图3中，∠CFE+20°＝140°，
∴图3中，∠CFE＝120°，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图，理清翻折前后重叠的角是解题的关键．
10．（2019春?嘉兴期中）如图，已知DC∥FP，∠1＝∠2，∠FED＝32°，∠AGF＝76°，FH平分∠EFG，则∠PFH的度数是（　　）
A．54° B．44° C．32° D．22°
【答案】解：∵DC∥FP，
∴∠3＝∠2，
又∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠1，
∴DC∥AB；
∵DC∥FP，DC∥AB，∠FED＝32°，
∴∠EFP＝∠FED＝32°，AB∥FP，
又∵∠AGF＝76°，
∴∠GFP＝∠AGF＝76°，
∴∠GFE＝∠GFP+∠EFP＝76°+32°＝108°，
又∵FH平分∠GFE，
∴∠GFH＝∠GFE＝54°，
∴∠PFH＝∠GFP﹣∠GFH＝76°﹣54°＝22°．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质与判定，首先利用同位角相等两直线平行证明直线平行，然后利用平行线的性质得到角的关系解决问题．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（2019春?江城区期中）如图，与∠C是内错角的是　∠2，∠3　．
【答案】解：如图所示，与∠C是内错角的是∠2，∠3．
故答案是：∠2，∠3．
【点睛】本题考查同位角，内错角，同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
12．（2019春?成都期中）如图，在同一平面内，直线l1∥l2，将含有60°角的三角尺ABC的直角顶点C放在直线l1上，另一个顶点A恰好落在直线l2上，若∠2＝40°，则∠1的度数是　10°　．
【答案】解：∵l1∥l2，
∴∠CAB+∠1＝∠2．
∵∠CAB＝30°，∠2＝40°，
∴∠1＝∠2﹣∠CAB＝40°﹣30°＝10°．
故答案为：10°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
13．（2019秋?香坊区校级期中）已知AB∥CD，AE、CE分别平分∠FAB、∠FCD，∠E＝15°，则∠F＝　30　°．
【答案】解：延长EA交CD于G，如图所示：
∵AB∥CD，
∴∠AGD＝∠EAB，
∵AE、CE分别平分∠FAB、∠FCD，
∴∠EAF＝∠EAB＝∠AGD，∠ECF＝∠ECD，
∵∠AGD＝∠ECD+∠E，
∴∠EAF＝∠ECF+∠E，
∵∠CHF＝∠AHE，
∴∠F+∠ECF＝∠EAF+∠E，
即∠F+∠ECF＝∠ECF+∠E+∠E，
∴∠F＝2∠E＝30°；
故答案为：30．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、角平分线定义等知识；熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键．
14．（2019春?思明区校级期中）如图，已知AB∥CD，∠EAF＝∠EAB，∠ECF＝∠ECD，∠AFC＝62°，则∠AEC度数是　93°　．
【答案】解：连接AC，设∠EAF＝x°，∠ECF＝y°，∠EAB＝3x°，∠ECD＝3y°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴∠CAE+4x°+∠ACE+4y°＝180°，
∴∠CAE+∠ACE＝180°﹣（3x°+3y°），∠FAC+∠FCA＝180°﹣（2x°+2y°）
∴∠AEC＝180°﹣（∠CAE+∠ACE）
＝180°﹣
＝3x°+3y°
＝3（x°+y°），
∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）
＝180°﹣
＝2x°+2y°
＝2（x°+y°），
∴∠AEC＝∠AFC＝93°．
故答案为：93°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出三角形，利用三角形内角和定理求解是解答此题的关键．
15．（2019春?九龙坡区校级期中）如图，已知AB∥CD，且∠ABE＝36°，∠BEF＝60°，∠FCD＝30°，则∠EFC＝　54　度．
【答案】解：作EM∥AB，作FN∥CD，
则∠ABE＝∠BEM，∠FCD＝∠NFC，
∵∠ABE＝36°，∠BEF＝60°，∠FCD＝30°，
∴∠BEM＝36°，∠CFN＝30°，
∴∠MEF＝∠BEF﹣∠BEM＝60°﹣36°＝24°，
又∵AB∥CD，
∴EM∥FN，
∴∠MEF＝∠EFN，
∴∠EFC＝∠EFN+∠CFN＝24°+30°＝54°，
故答案为：54．
【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质和数形结合的思想解答．
16．（2019春?高新区校级期中）如图1为北斗七星的位置图，如图2将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，将A，B，C，D，E，F顺次首尾连结，若AF恰好经过点G，且AF∥DE，∠B＝∠C+10°，∠D＝105°，∠B﹣∠CGF＝　115°　．
【答案】解：延长DC交AF于K，
∵AF∥DE，
∴∠B﹣∠CGF＝∠BCD+10°﹣∠CGF＝∠GKC+10°＝∠D+10°＝115°．
故答案为：115°．
【点睛】此题考查平行线的判定和性质，关键是根据平行线的判定和性质解答．
17．（2019秋?滨海县期中）如图所示的长方形纸条ABCD，将纸片沿MN折叠，MB与DN交于点K，若∠1＝70°，则∠MKN＝　40　°．
【答案】解：由折叠的性质可得：∠1＝∠KMN＝70°，
∴∠KMA＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵DN∥AM，
∴∠MKN＝∠KMA＝40°，
故答案为：40
【点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据折叠的性质得出∠1＝∠KMN＝70°．
18．（2018春?嘉祥县期中）如图，当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向发生了变化，这种现象叫做光的折射，在图中，AB与直线CD相交于水平面点交于水平点F，一束光线沿CD射入水面，在点F处发生折射，沿FE射入水内．如果∠1＝42°，∠2＝29°，则光的传播方向改变了　13　度．
【答案】解：∵∠1＝42°，
∴∠DFB＝∠1＝42°，
∵∠2＝29°，
∴∠DFE＝42°﹣29°＝13°，
故答案为：13．
【点睛】本题主要考查了对顶角问题，关键是根据对顶角相等得出∠DFB＝∠1．
三．解答题（共5小题，满分46分）
19．（8分）（2019秋?宽城区期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，点G是CA延长线上一点，GE∥AD交AB于F，交BC于E．判断△AFG的形状并加以证明．
【答案】解：△AFG是等腰三角形，
理由：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵GE∥AD，
∴∠BAD＝∠AFG，∠CAD＝∠G，
∴∠AFG＝∠G，
∴△AFG是等腰三角形．
【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．（9分）（2019秋?香坊区校级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝67.5°，OE把∠BOD分成两个角，且∠DOE：∠BOE＝1：2．
（1）求∠DOE的度数；
（2）若OF平分∠AOE，求证：OA平分∠COF．
【答案】解：（1）设∠DOE＝x，则∠BOE＝2x，
∵∠BOD＝∠AOC＝67.5°，
∴x+2x＝67.5°，
解得，x＝22.5°，
∴∠DOE＝22.5°；
（2）∵∠BOE＝2x＝45°，
∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝135°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝67.5°，
∴∠AOF＝∠AOC，
∴OA平分∠COF．
【点睛】本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质、角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和等于180°是解题的关键．
21．（9分）（2019春?马尾区期中）科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等，如图1，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时有∠ABP＝∠CBE，∠DEB＝∠FEQ．如图2，一束光线m射到平面镜AP上，被平面镜AP反射到平面镜AQ上，又被AQ镜反射，若平面镜AQ反射出的光线n平行于光线m．
（1）当∠1＝50°，求∠2的度数；
（2）求∠3的度数．
【答案】解：（1）当∠1＝50°，则∠4＝∠1＝50°，
∴∠6＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵m∥n，
∴∠2+∠6＝180°，
∴∠2＝100°；
（2）如图，过点A作AB∥m，则AB∥n，
∵m∥n，
∴∠2+∠6＝180°，
依题意，得：∠4＝∠1，∠5＝∠7，
∴∠1+∠4+∠5+∠7＝360°﹣180°＝180°，
∴∠1+∠7＝90°，
∵AB∥m，AB∥n，
∴∠1＝∠PAB，∠7＝∠BAQ，
∴∠3＝∠PAQ＝∠PAB+∠QAB＝90°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平角的定义的应用，注意：入射角等于反射角．
22．（10分）（2019秋?道里区校级期中）已知：AF平分∠BAE，CF平分∠DCE．
（1）如图①，已知AB∥CD，求证：∠AEC＝∠C﹣∠A；
（2）如图②，在（1）的条件下，直接写出∠E与∠F的关系．∠E＝　2∠F　（用含有∠F的式子表示）；
（3）如图③，BD⊥AB，垂足为B，∠BDC＝110°，∠AEC＝40°，求∠AFC的度数．
【答案】解：（1）
∵AB∥CD，
∴∠EMB＝∠C，
∵∠E+∠A＝∠EMB，
∴∠AEC＝∠C﹣∠A；
（2）
∵AF平分∠EAB，CF平分∠ECD，
∴∠ECD＝2∠FCD，∠EAB＝2∠FAM，
∵AB∥CD，
∴∠FBM＝∠FCD，∠EGM＝∠ECD，
∵∠FBM是△ABF的外角，
∴∠F＝∠FBM﹣∠FAB＝∠FCD﹣∠FAB
＝∠ECD﹣∠EAB＝∠EGM﹣∠EAB＝（∠EGM﹣∠EAB）＝∠E，
∴∠E＝2∠F，
（3）∵BD⊥AB，垂足为B，∠BDC＝110°，∠AEC＝40°，
∴∠AFC＝30°．
故答案为：2∠F．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角性质以及角平分线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
23．（10分）（2019春?南昌期中）如图，已知AB∥CD，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F．
（1）在图1中，求证：
①∠ABE+∠CDE+∠E＝360°；
②∠ABF+∠CDF＝∠BFD；
（2）如图2，当∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF时，请你写田∠M与∠E之间的关系，并加以证明；
（3）当∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，且∠E＝m°时，请你直接写出∠M的度数（用含m，n的式子表示）
【答案】解：（1）①如图1，过点E作EN∥AB，
∵EN∥AB，
∴∠ABE+∠BEN＝180°，
∵AB∥CD，AB∥NE，
∴NE∥CD，
∴∠CDE+∠NED＝180°，
∴∠ABE+∠E+∠CDE＝360°；
②如图1，过点F作FG∥AB，
∵FG∥AB，
∴∠ABF＝∠BFG，
∵AB∥CD，FG∥AB，
∴FG∥CD，
∴∠CDF＝∠GFD，
∴∠ABF+∠CDF＝∠BFG+∠GFD＝∠BFD；
（2）结论：∠E+∠M＝360°，理由是：
∵设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝2x，∠EBF＝3x，∠FDM＝2y，∠EDF＝3y，
由（1）得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∴6x+6y+∠E＝360°，
∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，
∴6x+6y+∠E＝∠M+5x+5y+∠E，
∴∠M＝x+y，
∴∠E+6∠M＝360°；
（3）设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝（n﹣1）x，∠EBF＝nx，∠FDM＝（n﹣1）y，∠EDF＝ny，
由（1）可得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∴2nx+2ny+∠E＝360°，
∴x+y＝，
∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，
∴2nx+2ny+∠E＝∠M+（2n﹣1）x+（2n﹣1）y+∠E，
∴∠M＝．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线、n等分线及四边形的内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意类比思想的运用

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