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18.1.2 平行四边形判定
第十八章 平行四边形
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
八年级数学下（RJ）
教学课件
第1课时 平行四边形的判定（1）
1.经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会
类比思想及探究图形判定的一般思路；（重点）
2.掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件
灵活选取适当的判定定理进行推理论证.（难点）
两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.
问题1 平行四边形的定义是什么？有什么作用？
可以用平行四边形的定义来判定平行四边形，如：
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复习引入
问题2 除了两组对边分别平行，平行四边形还有哪些性质？
平行四边形的对边相等.
平行四边形的对角相等.
平行四边形的对角线互相平分.
思考 我们得到的这些逆命题是否都成立？这节课我们一起探讨一下吧.
问题3 平行四边形上面的三条性质的逆命题各是什么？
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
猜想 观看视频，将两长两短的四根细木条用小钉固定在一起,任意拉动，所得的四边形是平行四边形吗?
讲授新课
你能根据平行四边形的定义证明它们吗？
已知： 四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.
求证： 四边形ABCD是平行四边形.
连接AC，
在△ABC和△CDA中,
AB=CD (已知)，
BC=DA(已知)，
AC=CA (公共边)，
∴△ABC≌△CDA(SSS)
∴ ∠1=∠4 , ∠ 2=∠3，
∴AB∥ CD , AD∥ BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
证明：
证一证
平行四边形的判定定理：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
归纳总结
几何语言描述：
在四边形ABCD中，∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.

例1 如图，在Rt△MON中，∠MON＝90°.求证：
四边形PONM是平行四边形．
证明：Rt△MON中，
由勾股定理得(x－5)2＋42＝(x－3)2，
解得x＝8.
∴PM＝11－x＝3，ON＝x－5＝3，MN＝x－3＝5.
∴PM＝ON，OP＝MN，
∴四边形PONM是平行四边形．
典例精析
例2 如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形．
解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°，
∴∠DBF＝∠ABC.
又∵BD＝BA，BF＝BC，
∴△ABC≌△DBF(SAS)，
∴AC＝DF＝AE.
同理可证△ABC≌△EFC，
∴AB＝EF＝AD，
∴四边形DAEF是平行四边形．
如图, AD⊥AC,BC⊥AC,且AB=CD,求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：在Rt△ABC和Rt△ACD中，
∵AC=CA,AB=CD,
∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL),
∴BC=DA.
又∵AB=CD,
∴四边形PONM是平行四边形．
练一练
观看下面视频，对于两组对角分别相等的四边形的形状你的猜想是什么?
平行四边形
已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
又∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∵∠A+∠C+∠B+∠D=360°，
∴2∠A+2∠B=360°，
即∠A+∠B=180°，
∴ AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
同理得 AB∥ CD，
证明：
证一证
平行四边形的判定定理：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
归纳总结
几何语言描述：
在四边形ABCD中，∵∠A=∠C，∠B=∠D,
∴四边形ABCD是平行四边形.

例3 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.
(1)求∠D的度数；
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．
(1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，
∴∠D＝180°－∠2－∠1＝55°；
(2)证明：∵AB∥DC，
∴∠2＝∠CAB，
∴∠DAB＝∠1＋∠2＝125°.
∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°，
∴∠DCB＝∠DAB＝125°.
又∵∠D＝∠B＝55°，
∴四边形ABCD是平行四边形．
1.判断下列四边形是否为平行四边形：
是
不是
练一练
2.能判定四边形ABCD是平行四边形的条件：
∠A:∠B:∠C:∠D的值为 （　　）
A. 1:2:3:4
B. 1:4:2:3
C. 1:2:2:1
D. 3:2:3:2
D
如图,将两根细木条AC、BD的中点重叠，用小钉固定在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形ABCD.转动两根木条，四边形ABCD一直是一个平行四边形吗？
B
D
O
A
C
猜想：四边形ABCD一直是一个平行四边形.
你能根据平行四边形的定义证明它们吗？
已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD.
求证：四边 形ABCD是平行四边形.
证明：
在△AOB和△COD中,
OA=OC (已知)，
OB=OD (已知)，
∠AOB=∠COD (对顶角相等)，
∴△AOB≌△COD(SAS)，
∴ ∠BAO=∠OCD , ∠ ABO=∠CDO,
∴AB∥ CD , AD∥ BC
∴四边形ABCD是平行四边形.
证一证
平行四边形的判定定理：
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
归纳总结
几何语言描述：
在四边形ABCD中，∵AO=CO,DO=BO,
∴四边形ABCD是平行四边形.

例4 如图， □ABCD 的对角线AC,BD相交于点O,E,F是AC上的两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=CO,BO=DO.
∵AE=CF ，
∴ AO-AE=CO-CF,即EO=OF.
又∵BO=DO，
∴四边形BFDE是平行四边形.
典例精析
【变式题】如图，AC是平行四边形ABCD的一条对角线，BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，四边形BMDN是平行四边形吗？说说你的理由．
解：四边形BMDN是平行四边形．
理由如下：连接BD交AC于O．
∵BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，
∴∠AND=∠CMB=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AO=CO，AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAN=∠BCM,
∴△ADN≌△CBM，∴AN=CM，
∴OA-AN=OC-CM，即ON=OM,
∴四边形BMDN是平行四边形．
O
拓展探究 昨天李明同学在生物实验室做实验时，不小心碰碎了实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片,只剩下如图所示部分,他想回家去割一块赔给学校，带上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来?然后带上图纸去就行了，可原来的平行四边形怎么给它画出来呢(A,B,C为三顶点,即找出第四个顶点D)？
D
方法依据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
方法一：
D
方法依据：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
方法二：
D
O
方法依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
方法三：
1.根据下列条件,不能判定四边形为平行四边形的是
( )
A.两组对边分别相等 B.两条对角线互相平分
C.两条对角线相等 D.两组对边分别平行
2.如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O.
如果AC=8cm,BD=10cm,那么当AO=_____cm,
BO=_____cm时，四边形ABCD是平行四边形.
C
4
5
练一练
当堂练习
1.判断对错:
(1)有一组对边平行的四边形是平行四边形. ( )
(2)有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边
形一定是平行四边形. ( )
(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形. ( )
(4)一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四
边形. ( )
(5)有一组对角相等且一组对边平行的四边形是平行
四边形. ( )
√
×
×
×
√
2.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　）
A．OA=OC，OB=OD
B．AB=CD，AO=CO
C．AB=CD，AD=BC
D．∠BAD=∠BCD，AB∥CD
B
3.如图，在四边形ABCD中，
(1)如果AB∥CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是
___________.
(2)如果∠A：∠B：∠ C：∠D=a：b：a：b(a,b为正
数),那么四边形ABCD是__________.
(3)如果AD=6cm,AB=4cm,那么当BC=_______cm,
CD=_____cm时,四边形ABCD为平行四边形.
平行四边形
平行四边形
6
4
4.如图，五边形ABCDE是正五边形，连接BD、CE，交于点P． 求证：四边形ABPE是平行四边形．
证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴正五边形的每个内角的度数是
AB=BC=CD=DE=AE，
∴∠DEC=∠DCE= ×(180°-108°)=36°，
同理∠CBD=∠CDB=36°，
∴∠ABP=∠AEP=108°-36°=72°，
∴∠BPE=360°-108°-72°-72°=108°=∠A，
∴四边形ABPE是平行四边形．
5.如图，已知E，F，G，H分别是?ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=CG，BF=DH．求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：在平行四边形ABCD中，
∠A=∠C，AD=BC,
又∵BF=DH，
∴AH=CF.
又∵AE=CG，
∴△AEH≌△CGF（SAS），
∴EH=GF.
同理得△BEF≌△DGH（SAS），
∴GH=EF，
∴四边形EFGH是平行四边形．
6.如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD的中点．求证：
(1)△AOC≌△BOD；
(2)四边形AFBE是平行四边形．
证明：(1)∵AC∥BD，
∴∠C＝∠D.
又∵∠COA=∠DOB，AO＝BO ，
∴△AOC≌△BOD(AAS)；
(2)∵△AOC≌△BOD，
∴CO＝DO.
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EO＝FO.
又∵AO＝BO，
∴四边形AFBE是平行四边形．
7.学校买了四棵树，准备栽在花园里，已经栽了三棵（如图），现在学校希望这四棵树能组成一个平行四边形，你觉得第四棵树应该栽在哪里？
A1
A3
A2
课堂小结
平行四边形的判定（1）
定义法:两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.

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