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28.2 解直角三角形及其应用同步习题
一．选择题（共10小题）
1．如图，已知在平面直角坐标系xOy内有一点A（2，3），那么OA与x轴正半轴y的夹角α的余切值是（　　）

A． B． C． D．
2．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA的值为（　　）

A． B． C． D．
3．如图，一根电线杆PO垂直于地面，并用两根拉线PA，PB固定，量得∠PAO＝α，∠PBO＝β，则拉线PA，PB的长度之比＝（　　）

A． B． C． D．
4．某车库出口安装的栏杆如图所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝1.18米，AE＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（　　）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

A． B． C． D．
5．某人沿着坡度为1：2.4的斜坡向上前进了130m，那么他的高度上升了（　　）
A．50m B．100m C．120m D．130m
6．如图是一斜坡的横截面，某人沿斜坡从M出发，走了13米到达N处，此时在铅垂方向上上升了5米，那么该斜坡的坡度是（　　）

A．1：5 B．12：13 C．5：13 D．5：12
7．直角梯形ABCD如图放置，AB、CD为水平线，BC⊥AB，如果∠BCA＝67°，从低处A处看高处C处，那么点C在点A的（　　）

A．俯角67°方向 B．俯角23°方向
C．仰角67°方向 D．仰角23°方向
8．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为（　　）

A．asinα+asinβ B．acosα+acosβ
C．atanα+atanβ D．+
9．如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60米到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，则这段河的宽度为（　　）

A．60（）米 B．30（）米 C．（90﹣30）米 D．30（﹣1）米
10．如图，某轮船由东向西航行，在A处测得灯塔M在它的北偏西75°方向上，继续航行8海里到达B处，此时测得灯塔M在它的北偏西60°方向上，则BM＝（　　）

A．8海里 B．4海里 C．4海里 D．4海里
二．填空题（共4小题）
11．如图，在正方形网格中，点A，B，C是小正方形的顶点，那么tan∠BAC的值为　 　．

12．2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，滑雪轨道由AB，BC两部分组成，AB，BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若AB与水平面的夹角α为20°，BC与水平面的夹角β为45°，则他下降的高度为　 　米．

13．小明沿着坡度i＝1：2.5的斜坡前行了29米，那么他上升的高度是　 　米．
14．如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45°，然后沿着坡度为1：的坡面AD走了200米达到D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60°，则山高BC＝　 　米（结果保留根号）．

三．解答题（共9小题）
15．在△ABC中，AB＝6，BC＝4，∠B为锐角且．
（1）求∠B的度数；
（2）求△ABC的面积；
（3）求tanC．

16．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝6，解这个直角三角形．

17．如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架3米长的梯子斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为45°，此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重合．因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达D处，此时测得梯子AD与地面的夹角为60°，问：胡同左侧的通道拓宽了多少米（保留根号）？

18．图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线O﹣A﹣B﹣C表示支架，支架的一部分O﹣A﹣B是固定的，另一部分BC是可旋转的，线段CD表示投影探头，OM表示水平桌面，AO⊥OM，垂足为点O，且AO＝7cm，∠BAO＝160°，BC∥OM，CD＝8cm．

将图2中的BC绕点B向下旋转45°，使得BCD落在BC′D′的位置（如图3所示），此时C′D′⊥OM，AD′∥OM，AD′＝16cm，求点B到水平桌面OM的距离，（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，cot70°≈0.36，结果精确到1cm）
19．水务部门为加强防汛工作，决定对马边河上某电站大坝进行加固．原大坝的横断面是梯形ABCD，如图所示，已知迎水面AB的长为20米，∠B＝60°，背水面DC的长度为20米，加固后大坝的横断面为梯形ABED．若CE的长为5米．
（1）已知需加固的大坝长为100米，求需要填方多少立方米；
（2）求新大坝背水面DE的坡度．（计算结果保留根号）．

20．某仓储中心有一个坡度为i＝1：2的斜坡AB，顶部A处的高AC为4米，B、C在同一水平地面上，其横截面如图．
（1）求该斜坡的坡面AB的长度；
（2）现有一个侧面图为矩形DEFG的长方体货柜，其中长DE＝2.5米，高EF＝2米，该货柜沿斜坡向下时，点D离BC所在水平面的高度不断变化，求当BF＝3.5米时，点D离BC所在水平面的高度DH．

21．如图①，在我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图②中的线段BC就是悬挂在墙壁AM上的某块匾额的截面示意图．已知BC＝1米，∠MBC＝37°．从水平地面点D处看点C，仰角∠ADC＝45°，从点E处看点B，仰角∠AEB＝53°，且DE＝2.4米，求匾额悬挂的高度AB的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）．

22．水城门位于淀浦河和漕港河三叉口，是环城水系公园淀浦河梦蝶岛区域重要的标志性景观．在课外实践活动中，某校九年级数学兴趣小组决定测量该水城门的高．他们的操作方法如下：
如图，先在D处测得点A的仰角为20°，再往水城门的方向前进13米至C处，测得点A的仰角为31°（点D、C、B在一直线上），求该水城门AB的高．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）

23．如图，C城市在A城市正东方向，现计划在A、C两城市间修建一条高速铁路（即线段AC），经测量，森林保护区的中心P在城市A的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市150km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，120km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速铁路是否穿越保护区，为什么？（参考数据：≈1.732）




参考答案
一．选择题（共10小题）
1．如图，已知在平面直角坐标系xOy内有一点A（2，3），那么OA与x轴正半轴y的夹角α的余切值是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：过点A作AB⊥x轴，垂足为B，则OB＝2，AB＝3，
在Rt△OAB中，cot∠AOB＝cotα＝＝，
故选：B．

2．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA的值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：如图所示：
由勾股定理得：AC＝＝5，
∴tanA＝＝；
故选：D．

3．如图，一根电线杆PO垂直于地面，并用两根拉线PA，PB固定，量得∠PAO＝α，∠PBO＝β，则拉线PA，PB的长度之比＝（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：如图，在直角△PAO中，∠POA＝90°，∠PAO＝α，则PA＝．
如图，在直角△PBO中，∠POB＝90°，∠PBO＝β，则PA＝．
所以＝＝．
故选：D．

4．某车库出口安装的栏杆如图所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝1.18米，AE＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（　　）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

A． B． C． D．
【解答】解：如图，延长BA、FE，交于点D，

∵AB⊥BC，EF∥BC，
∴BD⊥DF，即∠ADE＝90°，
∵∠AEF＝143°，
∴∠AED＝37°，
在Rt△ADE中，
∵sin∠AED＝，AE＝1.2米，
∴AD＝AEsin∠AED＝1.2×sin37°≈0.72（米），
则BD＝AB+AD＝1.18+0.72＝1.9（米），
故选：A．
5．某人沿着坡度为1：2.4的斜坡向上前进了130m，那么他的高度上升了（　　）
A．50m B．100m C．120m D．130m
【解答】解：如图，

根据题意知AB＝130米，tanB＝＝1：2.4，
设AC＝x，则BC＝2.4x，
则x2+（2.4x）2＝1302，
解得x＝50或x＝﹣50（负值舍去），
即他的高度上升了50m，
故选：A．
6．如图是一斜坡的横截面，某人沿斜坡从M出发，走了13米到达N处，此时在铅垂方向上上升了5米，那么该斜坡的坡度是（　　）

A．1：5 B．12：13 C．5：13 D．5：12
【解答】解：过点N作HG⊥地面AB于G再作MH⊥NG于H，
由题意得，MN＝13，NH＝5，
由勾股定理得，MH＝＝＝12，
∴该斜坡的坡度为5：12，
故选：D．

7．直角梯形ABCD如图放置，AB、CD为水平线，BC⊥AB，如果∠BCA＝67°，从低处A处看高处C处，那么点C在点A的（　　）

A．俯角67°方向 B．俯角23°方向
C．仰角67°方向 D．仰角23°方向
【解答】解：∵BC⊥AB，∠BCA＝67°，
∴∠BAC＝90°﹣∠BCA＝23°，
从低处A处看高处C处，那么点C在点A的仰角23°方向；
故选：D．
8．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为（　　）

A．asinα+asinβ B．acosα+acosβ
C．atanα+atanβ D．+
【解答】解：∵在Rt△ABC中，
BC＝AB?tanα＝atanα，
在Rt△ABD中，
BD＝AB?tanβ＝atanβ，
∴CD＝BC+BD＝atanα+atanβ．
故选：C．
9．如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60米到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，则这段河的宽度为（　　）

A．60（）米 B．30（）米 C．（90﹣30）米 D．30（﹣1）米
【解答】解：作BD⊥CA交CA的延长线于D，
设BD＝xm，
∵∠BCA＝30°，
∴CD＝＝x，
∵∠BAD＝45°，
∴AD＝BD＝x，
则x﹣x＝60，
解得x＝＝30（），
答：这段河的宽约为30（）米．
故选：B．

10．如图，某轮船由东向西航行，在A处测得灯塔M在它的北偏西75°方向上，继续航行8海里到达B处，此时测得灯塔M在它的北偏西60°方向上，则BM＝（　　）

A．8海里 B．4海里 C．4海里 D．4海里
【解答】解：由题意得，∠BAM＝90°﹣75°＝15°，
∴∠M＝180°﹣90°﹣60°﹣15°＝15°，
∴∠BAM＝∠M，
∴BM＝AB＝8（海里），
故选：A．
二．填空题（共4小题）
11．如图，在正方形网格中，点A，B，C是小正方形的顶点，那么tan∠BAC的值为　2　．

【解答】解：连接BC，则AB⊥BC，在Rt△ABC中，
AB＝＝，BC＝＝2，
∴tan∠BAC＝＝＝2，
故答案为：2．

12．2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，滑雪轨道由AB，BC两部分组成，AB，BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若AB与水平面的夹角α为20°，BC与水平面的夹角β为45°，则他下降的高度为　210　米．

【解答】解：过点A作AE⊥BD于点E，过点B作BG⊥CF于点G，
在Rt△ABE中，
∴sinα＝，
∴AE＝AB×sin20°≈68，
在Rt△BCG中，
∴sinβ＝，
∴BG＝BC×sin45°≈142，
∴他下降的高度为：AE+BG＝210，
故答案为：210

13．小明沿着坡度i＝1：2.5的斜坡前行了29米，那么他上升的高度是　2　米．
【解答】解：设小明上升的高度为x米，
∵坡度i＝1：2.5，
∴小明前行的水平宽度为2.5x米，
由勾股定理得，x2+（2.5x）2＝292，
解得，x＝2，
故答案为：2．
14．如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45°，然后沿着坡度为1：的坡面AD走了200米达到D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60°，则山高BC＝　（100+100）　米（结果保留根号）．

【解答】解：作DF⊥AC于F．
∵DF：AF＝1：，AD＝200米，
∴tan∠DAF＝，
∴∠DAF＝30°，
∴DF＝AD＝×200＝100（米），
∵∠DEC＝∠BCA＝∠DFC＝90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴EC＝DF＝100（米），
∵∠BAC＝45°，BC⊥AC，
∴∠ABC＝45°，
∵∠BDE＝60°，DE⊥BC，
∴∠DBE＝90°﹣∠BDE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBE＝45°﹣30°＝15°，∠BAD＝∠BAC﹣∠1＝45°﹣30°＝15°，
∴∠ABD＝∠BAD，
∴AD＝BD＝200（米），
在Rt△BDE中，sin∠BDE＝，
∴BE＝BD?sin∠BDE＝200×＝100（米），
∴BC＝BE+EC＝100+100（米）；
故答案为：（100+100）．

三．解答题（共9小题）
15．在△ABC中，AB＝6，BC＝4，∠B为锐角且．
（1）求∠B的度数；
（2）求△ABC的面积；
（3）求tanC．

【解答】解：（1）∵∠B为锐角且，
∴∠B＝60°；
（2）作AD⊥BC于D，如图所示：
∵∠B＝60°，
∴∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
∴BD＝AB＝3，
∴AD＝BD＝3，
∴△ABC的面积＝BC×AD＝×4×3＝6；
（3）∵BC＝4，BD＝3，
∴CD＝BC﹣BD＝1，
∴tanC＝＝＝3．

16．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝6，解这个直角三角形．

【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝6，
由勾股定理得，AB＝＝4，
∵tanB＝＝＝，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝90°﹣30°＝60°，
17．如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架3米长的梯子斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为45°，此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重合．因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达D处，此时测得梯子AD与地面的夹角为60°，问：胡同左侧的通道拓宽了多少米（保留根号）？

【解答】解：在Rt△BCE中，∵BC＝3，∠BEC＝90°，∠BCE＝45°，
∴BE＝CE＝BC?cos45°＝3×＝3，
在Rt△BDE中，DE＝BE?tan30°＝，
∴CD＝CE﹣DE＝3﹣，
答：胡同左侧的通道拓宽了（3﹣）米．
18．图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线O﹣A﹣B﹣C表示支架，支架的一部分O﹣A﹣B是固定的，另一部分BC是可旋转的，线段CD表示投影探头，OM表示水平桌面，AO⊥OM，垂足为点O，且AO＝7cm，∠BAO＝160°，BC∥OM，CD＝8cm．

将图2中的BC绕点B向下旋转45°，使得BCD落在BC′D′的位置（如图3所示），此时C′D′⊥OM，AD′∥OM，AD′＝16cm，求点B到水平桌面OM的距离，（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，cot70°≈0.36，结果精确到1cm）
【解答】解：过B作BG⊥OM于G，
过C′作C′H⊥BG于H，延长D′A交BG于E，
则C′H＝D′E，HE＝C′D′＝8，
设AE＝x，
∴C′H＝D′E＝16+x，
∵∠BC′H＝45°，
∴BH＝C′H＝16+x，
∴BE＝16+x+8＝24+x，
∵∠BAO＝160°，
∴∠BAE＝70°，
∴tan70°＝＝＝，
解得：x＝13.5，
∴BE＝37.5，
∴BG＝BE+EG＝BE+AO＝37.5+7＝44.5≈45cm，
答：B到水平桌面OM的距离为45cm．

19．水务部门为加强防汛工作，决定对马边河上某电站大坝进行加固．原大坝的横断面是梯形ABCD，如图所示，已知迎水面AB的长为20米，∠B＝60°，背水面DC的长度为20米，加固后大坝的横断面为梯形ABED．若CE的长为5米．
（1）已知需加固的大坝长为100米，求需要填方多少立方米；
（2）求新大坝背水面DE的坡度．（计算结果保留根号）．

【解答】解：（1）分别过A、D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为F、G，如图所示．
在Rt△ABF中，AB＝20米，∠B＝60°，
sin∠B＝，
∴AF＝20×＝10，
DG＝10．
∴S△DCE＝×CE?DG＝5×10＝25，
需要填方：100×25＝2500（立方米）；

（2）在直角三角形DGC中，DC＝20，
∴GC＝＝＝30，
∴GE＝GC+CE＝35，
坡度i＝＝＝．
答：（1）需要土石方2500立方米．
（2）背水坡坡度为．

20．某仓储中心有一个坡度为i＝1：2的斜坡AB，顶部A处的高AC为4米，B、C在同一水平地面上，其横截面如图．
（1）求该斜坡的坡面AB的长度；
（2）现有一个侧面图为矩形DEFG的长方体货柜，其中长DE＝2.5米，高EF＝2米，该货柜沿斜坡向下时，点D离BC所在水平面的高度不断变化，求当BF＝3.5米时，点D离BC所在水平面的高度DH．

【解答】解：（1）∵坡度为i＝1：2，AC＝4m，
∴BC＝4×2＝8m．
∴AB＝＝＝（米）；

（2）∵∠DGM＝∠BHM，∠DMG＝∠BMH，
∴∠GDM＝∠HBM，
∴，
∵DG＝EF＝2m，
∴GM＝1m，
∴DM＝，BM＝BF+FM＝3.5+（2.5﹣1）＝5m，
设MH＝xm，则BH＝2xm，
∴x2+（2x）2＝52，
∴x＝m，
∴DH＝＝m．
21．如图①，在我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图②中的线段BC就是悬挂在墙壁AM上的某块匾额的截面示意图．已知BC＝1米，∠MBC＝37°．从水平地面点D处看点C，仰角∠ADC＝45°，从点E处看点B，仰角∠AEB＝53°，且DE＝2.4米，求匾额悬挂的高度AB的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）．

【解答】解：过C作CF⊥AM于F，过C作CH⊥AD于H，则四边形AHCF是矩形，所以AF＝CH，CF＝AH．

在Rt△BCF中，BC＝1，∠CBF＝37°．
BF＝BCcos37°＝0.8，CF＝BCsin37°＝0.6，
在Rt△BAE中，∠BEA＝53°，所以AE＝AB，
在Rt△CDH中，∠CDH＝45°，
∴CH＝DH＝FA＝0.8+AB，
∴AD＝AH+DH＝0.6+0.8+AB＝1.4+AB，
∵AD＝AE+DE＝AB+2.4，
∴1.4+AB＝AB+2.4，
AB＝4，
答：匾额悬挂的高度是4米．
22．水城门位于淀浦河和漕港河三叉口，是环城水系公园淀浦河梦蝶岛区域重要的标志性景观．在课外实践活动中，某校九年级数学兴趣小组决定测量该水城门的高．他们的操作方法如下：
如图，先在D处测得点A的仰角为20°，再往水城门的方向前进13米至C处，测得点A的仰角为31°（点D、C、B在一直线上），求该水城门AB的高．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）

【解答】解：由题意得，∠ABD＝90°，∠D＝20°，∠ACB＝31°，CD＝13，
在Rt△ABD中，∵tan∠D＝，
∴BD＝＝，
在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，
∴BC＝＝，
∵CD＝BD﹣BC，
∴13＝，
解得AB≈11.7米．
答：水城门AB的高为11.7米．
23．如图，C城市在A城市正东方向，现计划在A、C两城市间修建一条高速铁路（即线段AC），经测量，森林保护区的中心P在城市A的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市150km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，120km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速铁路是否穿越保护区，为什么？（参考数据：≈1.732）

【解答】解：计划修建的这条高速铁路穿越保护区，
理由如下：作PH⊥AC于H，
由题意得，∠PBH＝60°，∠PAH＝30°，
∴∠APB＝30°，
∴∠BAP＝∠BPA，
∴PB＝AB＝150，
在Rt△PBH中，sin∠PBH＝，
∴PH＝PB?sin∠PBH＝75≈129.9，
129.9＞120，
∴计划修建的这条高速铁路不会穿越保护区．

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