资源简介

(共10张PPT)
存在性问题（2）
加强巩固
授课：李卫老师
中考复习
[慕联教育专题课程]
课程编号：ZS1805010202ZKFX040402LWJ
慕课联盟课程开发中心：www.moocun.com
这类问题一般是对结论作出肯定的假设，然后由假设出发，结合已知条件建立方程，解出方程的解的情况和结合题目的已知条件确定“存在与否”.解题的方法主要是建立方程模型，由方程有无符合的条件的解来肯定“存在与否”的问题.
1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋(k－1)x－k与直线y＝kx＋1交于A，B两点，点A在点B的左侧．
(1)如图①，当k＝1时，写出A，B两点的坐标；
(2)在(1)的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图②，抛物线y＝x2＋(k－1)x－k(k>0)与x轴交于点C，D两点(点C在点D的左侧)，在直线y＝kx＋1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋(k－1)x－k与直线y＝kx＋1交于A，B两点，点A在点B的左侧．
(1)如图①，当k＝1时，写出A，B两点的坐标；
解：(1)当k＝1时，抛物线的解析式为y＝x2－1，
直线的解析式为y＝x＋1.联立两个解析式，
得x2－1＝x＋1，解得x＝－1或x＝2，
当x＝－1时，y＝x＋1＝0；
当x＝2时，y＝x＋1＝3，
∴A(－1，0)，B(2，3)；
1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋(k－1)x－k与直线y＝kx＋1交于A，B两点，点A在点B的左侧．
(2)在(1)的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
解：(2)设P(x，x2－1)．如图①所示，
过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F(x，x＋1)．
∴PF＝(x＋1)－(x2－1)＝－x2＋x＋2.
S△ABP＝S△PFA＋S△PFB＝
PF(xF－xA)＋
PF(xB－xF)
＝
PF(xB－xA)＝
PF，
∴S△ABP＝
(－x2＋x＋2)＝
，
当x＝
时，
.
∴△ABP面积最大值为
，
此时点P坐标为
；
1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋(k－1)x－k与直线y＝kx＋1交于A，B两点，点A在点B的左侧．
(3)如图②，抛物线y＝x2＋(k－1)x－k(k>0)与x轴交于点C，D两点(点C在点D的左侧)，在直线y＝kx＋1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
(3)存在，理由如下：设直线AB：y＝kx＋1与x轴，y轴分别交于点E，F，
则E
，F(0，1)，OE＝
，OF＝1.
在Rt△EOF中，由勾股定理得：
EF＝
.
令y＝x2＋(k－1)x－k＝0，即(x＋k)(x－1)＝0，
解得x＝－k或x＝1，
∴C(－k，0)，OC＝k.
设以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时∠OQC＝90°.
设点N为OC中点，连接NQ，如图②所示，则NQ⊥EF，NQ＝CN＝ON＝
，
∴EN＝OE－ON＝
.
∵∠NEQ＝∠FEO，∠EQN＝∠EOF＝90°，
∴△EQN
∽△EOF，
∴
，
即
.
∵k>0，
∴当
时，存在唯一一点Q，
使得∠OQC＝90°.
基本步骤：
①画图分析．研究确定图形，先画图解决其中一种情形．
②分类讨论.先验证①的结果是否合理，再找其他分类，类比第一种情形求解.
③验证取舍.结合点的运动范围，画图或推理，对结果取舍．
【规律总结】这类问题一般是对结论作出肯定的假设，然后由假设出发，结合已知条件建立方程，解出方程的解的情况和结合题目的已知条件确定“存在与否”.解题的方法主要是建立方程模型，由方程有无符合的条件的解来肯定“存在与否”的问题.
亲爱的同学，课后请做一下相关的题目进行巩固。这节课就到这里了，我们下节课再见！
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