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第四章　万有引力定律及航天
第1节　天地力的综合：万有引力定律
本节课选自鲁科版高中物理必修二第四章第一节，这节内容对学生来说是抽象的、陌生的，甚至无法去感知.对天体的运动充满好奇又觉得非常神秘而不易理解.按人类发现万有引力定律的历史过程介绍了“行星运动的规律 ”“万有引力定律 ”及“引力常量的测定 ”。教材先介绍了开普勒太阳系行星运动三大定律，在此基础上提出问题：这些行星为什么会如此运转？然后引出万有引力定律。最后介绍了卡文迪许扭秤实验测定引力常量，引力常量的测出使得万有引力定律有了真正的实用价值，为下一节的内容进行准备。
物理观念：能了解万有引力定律的内涵，具有与万有引力定律相关的运动与相互作用的观念。
科学思维：能将一些熟悉天体的运动抽象成匀速圆周运动模型；能分析一些简单的天体运动问题，通过推理获得结论。
科学探究：能了解卡文迪许实验的重要性，并能提出问题；能体会卡文迪许扭秤实验方案设计的巧妙之处，能感受到科学定律的预测作用。
科学态度与责任：能认识发现万有引力定律的过程及重要意义，认识科学定律对人类探索未知世界的作用；知道科学包含大胆的想象和创新。
1、教学重点：理解万有引力定律的内容，会用万有引力定律公式解决有关问题。
2、教学难点：对万有引力定律公式的推导以及月—地检验相关内容。
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【新课导入】展示天体系统的图。
人类借助宇宙飞船，飞向万籁俱寂的茫茫太空，不仅登上了月球，还孜孜不倦地探索更遥远的星空。为什么宇宙飞船能升空？为何能绕地球旋转？为何还能挣脱地球束缚飞向月球？ 自远古时期，人类就开始孜孜不息地探索天体的运动规律，创作了很多关于星空的神话、史诗。“仰观吐曜，俯察含章”，浩瀚宇宙中，日月星辰周而复始地运行，它们有着怎样的运动规律？本节将学习开普勒定律和万有引力定律。
【新课内容】
一.行星运动的规律
德国的物理学家开普勒继承和总结了他的导师第谷的全部观测资料及观测数据，也是以行星绕太阳做匀速圆周运动的模型来思考和计算的，因为不管是“地心说”还是“日心说”，都把天体运动看得很神圣，认为天体运动必然是最完美、最和谐的匀速圆周运动。但结果总是与第谷的观测数据有8′的角度误差.当时公认的第谷的观测误差不超过2′,开普勒想，天体运动很可能不是匀速圆周运动.在这个大胆思路下，开普勒又经过四年多的刻苦计算，先后否定了19种设想，最后终于计算出行星是绕太阳运动的，并且运动轨迹为椭圆，证明了哥白尼的“日心说”是正确的.并总结为行星运动三定律。
１.开普勒第一定律（轨道定律）
①内容：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，因此开普勒第一定律又叫轨道定律。
②规律：如图所示，金星、木星、水星、火星、土星、地球、天王星等行星绕太阳运动的轨道均是椭圆，太阳位于椭圆的其中一个焦点上。
若太阳在左焦点上，行星在轨道上运行，则A为近日点，B为远日点，OB的长度a为椭圆的半长轴，OD的长度b为椭圆的半短轴。
２.开普勒第二定律（面积定律）
①内容：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积，因此开普勒第二定律又叫面积定律。
②规律：由开普勒第二定律知道同一行星在任意相等时间内行星与太阳连线扫过的面积相等，可见行星离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率越大，故近日点速率最大，远日点速率最小；
行星靠近太阳运动时速率增大，远离太阳运动时速率减小。
３.开普勒第三定律（周期定律）
①内容： 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，因此又叫做周期定律。
②公式：＝k，k是一个与行星无关的常量
③规律：在开普勒第三定律中，所有行星绕太阳转动的k值均相同，但对不同中心天体k值不相同，k值的大小由中心天体决定。
开普勒定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动。
由开普勒定律可知，行星的运行轨道为椭圆，并且其绕太阳运行的速率不断变化。由表中的数据可知，太阳系八大行星的运行轨道偏心率都小于 0.3，都可近似认为是圆形。为了便于研究问题，人们通常认为行星绕太阳做匀速圆周运动。
八大行星轨道数据表
例1. 关于行星的运动,下列说法正确的有是 ( BD )
A . 行星轨道的半长轴越长,自转的周期就越大
B . 行星轨道的半长轴越长,公转的周期就越大
C . 行星轨道的半长轴越短,公转的周期就越大
D .“冥王星”离太阳最远,绕太阳运动的公转 周期最长
例2.1980年10月14日，中国科学院紫金山天文台发现了一颗绕太阳运行的小行星，2001年12月21日，经国际小行星中心和国际小行星命名委员会批准，将这颗小行星命名为“钱学森星”，以表彰这位“两弹一星”的功臣对我国科技事业做出的卓越贡献.若将地球和“钱学森星”绕太阳的运动看作匀速圆周运动，它们的运行轨道如图所示.已知“钱学森星”绕太阳运行一周的时间约为3.4年，设地球绕太阳运行的轨道半径为R，则“钱学森星”绕太阳运行的轨道半径约为(　 C ）　
例3.如图所示，某行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为a，近日点离太阳的距离为b，过远日点时行星的速率为va，则过近日点时行星的速率为(　　)
思考：为什么月球不能飞离地球呢？
万有引力定律的发现： 苹果落地、高处物体落地、月亮绕地旋转……这些现象引起了牛顿的沉思。
牛顿的思考：
（１）“天上的力”和“人间的力”是同一种力吗？
（２）地球表面的重力是否能延伸到月球轨道？
牛顿的猜想：
苹果与月球受到的引力可能是同一种力!
二.万有引力定律
1内容：自然界中任何两个物体之间都存在相互作用的引力，引力的大小跟这两个物体的质量和 的乘积成正比，跟两物体之间的距离的平方成反比。
2公式表示：
注：G是比例系数，叫做引力常量，适用于任何两个物体；
G在数值上等于两个质量都是1kg的物体相距1m时的相互作用力．
3.理解：
（1）.普遍性：万有引力存在于任何两个物体之间；
（2）.相互性：作用力和反作用力；
（3）.特殊性：两个物体间的万有引力与物体所在空间和其他物体无关；
（4）.适用性（适用范围）：只适用于两个质点间的引力。
a）.两个质点间的相互作用;
b）.可以看作质点的两个物体间的相互作用;
c）.若是两个均匀的球体,应是两球心间的距离.
对万有引力定律公式的推导：
假设地球以太阳为圆心做匀速圆周运动，那么太阳对地球的引力就为做匀速圆周运动的地球提供向心力．设地球的质量为m，运动线速度为v，地球到太阳的距离为r，太阳的质量为M．则由匀速圆周运动的规律可知
， ①
． ②
由①②得 ． ③
又由开普勒第三定律
， ④
由③④式得 ， ⑤
即 ． ⑥
这表明：太阳对不同行星间的引力，跟行星的质量成正比，跟行星与太阳距离的平方成反比．
根据牛顿第三定律，力的作用足是相互的，且等大反向，因此地球对太阳的引力F′也应与太阳的质量成正比，且F′＝-F． 即 ． ⑦
比较⑥⑦式不难得出，写成等式，式中G是比例系数，与太阳、行星无关．
例4.如图所示，木星是太阳系中最大的行星，与太阳的距离为7.8×108km，木星和太阳的质量分别为1.9×1027kg和2.0×1030kg。试求木星与太阳之间的万有引力大小。
答案：4.2×1023N
例5．关于万有引力定律的适用范围，下列说法中正确的有( D )
A．只适用于天体，不适用于地面的物体
B．只适用于球形物体，不适用于其他形状的物体
C ．只适用于质点，不适用于实际物体
D．适用于自然界中任何两个物体之间
迁移思考：粗略研究行星的轨道运动时，通常只考虑太阳对行星的万有引力。木星与地球之间的最近距离约为6.3×108km，地球的质量约为6.0×1024kg。请估算木星与地球之间的万有引力大小，并与木星和太阳之间的万有引力大小作比较。
解析：根据公式，可以计算出木星和地球之间的万有引力大小为1.9×1018N。可以看出，木星和地球之间的万有引力大小远远小于木星和太阳之间的万有引力大小，所以行星运动状态的变化主要是由太阳对行星的引力引起的。
拓展一步：牛顿的月－地检验：
目的：地面上的重力与地吸引月球是同一性质的力吗？
在地面上质量为 m 的物体所受的地球引力遵守万有引力定律，则有
式中，M为地球质量，R为地球半径。因此，物体在地面处重力加速度的大小
假设将地面上的物体放到月球绕地球旋转的轨道上，由于月球轨道半径R1是地球半径R的60倍，则物体受地球引力作用产生的加速度就是它在地面时重力加速度的
.
已知月球与地球的距离 r＝384400km、月球的公转周期为27.3天。
地球对物体的万有引力计算出的处在月球轨道的物体的加速度，与月球绕地球公转的向心加速度恰好相等。
三、引力常量的测量—卡文迪许扭称实验
万有引力定律是自然界的基本规律之一，在物理学中占有非常重要的地位。然而，牛顿当时未能给出引力常量的准确值，如何测量引力常量一时成为物理学界普遍关心的重大课题之一。
直到1798年，英国物理学家卡文迪许（H.Cavendish，1731-1810）利用扭秤实验，巧妙地测出了铅球间的引力，从而证明了万有引力定律的正确性，并得到了当时精确度很高的引力常量数值。
1．卡文迪许扭秤实验
扭秤的主要部分是：一个T字形轻而结实的框架，倒挂在一根石英丝下。在T形架的两端各固定一个小球，再在每个小球的附近各放一个大球，根据万有引力定律，大球会对小球产生引力，T形架会随之扭转，只要测出其扭转的角度，就可以测出引力的大小。
由于引力很小，这个扭转的角度会很小。怎样才能把这个角度测出来呢？卡文迪许在T形架上装了一面小镜子，用一束光射向镜子，经镜子反射后的光射向远处的刻度尺，当镜子与T形架一起发生一个很小的转动时，刻度尺上的光斑会发生较大的移动。这样，就起到一个化小为大的效果，通过测定光斑的移动，测定了T形架在放置大球前后扭转的角度，从而测定了此时大球对小球的引力。
扭秤装置把微小力转变成力矩来反映（一次放大），扭转角度又通过光标的移动来反映（二次放大）．从而确定物体间的万有引力．
2引力常量
3.实验意义：
①证明了万有引力的存在，使万有引力定律进入了真正实用的时代；
②开创了微小量测量的先河，使科学放大思想得到推广。
例题6.如图所示，在距一个质量为M，半径为R，密度均匀的球体表面R处，有一个质量为m的质点。此时M对m的万有引力为F1。当从M中挖去如图所示半径为R/2的球体时，剩下部分对m的万有引力为F2，则F1与F2的比为多少？
答案：9:7
例7.离地面某一高度h处的重力加速度是地球表面重力加速度的二分之一，则高度h是地球半径的多少倍？答案：

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