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建模思想在中学数学教学中的意义
21世纪是知识经济的时代，数学作为一种工具不仅在科技方面，而且在人们日常生活和工作中有着广泛的应用。同时，21世纪又是一个飞速发展的时代，人类正生活在一个剧烈震荡、疾速变化的环境中。数学教学只有适应不断发展变化的社会形势，才能在教育领地上立于不败之地。如果我们教育的学生，只能解答书本上前人提炼好的规范的数学习题，而对现实生活中遇到的简单的实际问题束手无策，那将是我们数学教育的最大失败。
怎样才能把一个生产、生活中的实际问题，经过适当的刻画、加工、抽象表达成一个数学问题？数学建模可以看成是对此问题解决的一部分，它的作用对象更侧重于非数学领域中需要用数学工具来解决的问题，进而选择合适的正确的数学方法来求解，这是应用数学知识解决实际问题的关键所在。因此，数学教学要将所学知识与不断发展变化的现实生活相联系，与时俱进，不断充实、改进教学内容、教学方法和教学策略，为学生的终身发展奠定良好的基础，以达到《数学课程标准》的“总体目标”中所提出的要求：通过数学学习，学生能够“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”，“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识”，“体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心”，“具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都能得到充分发展”，进而形成勇于探索、勇于创新的科学精神。通过数学建模训练思维能力不仅旨在提高学生应用数学的意识，而且也是加强数学与实际的联系，实施数学素质教育的一个重要方面。所以很有必要在中学数学中开展数学建模教学。
1.通过数学建模教学可以激发学生学习动机和兴趣
人们在解决问题时，往往带有某种情感，处于某种动机状态中，而这些状态又必然会影响“问题解决”的效果。动机是促使人去解决问题的动力。动机愈有意义，为“问题解决”而作的探索就愈积极愈顽强。通过带有趣味性、能引起学生思考的实际问题的分析、解剖，引导学生建立相应的数学模型，选择适当的方法解决问题，从而达到激发学生的学习动机和兴趣的目的。
在现实生活中普遍存在着最优化问题——最佳投资、最小成本等，常常归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法解决。数学模型就是把实际应用问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述。
例1.1 用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药量残留在蔬菜上。设用单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数．
（1）试规定的值，并解释其实际意义。
（2）试根据假定写出函数应满足的条件和具有的性质。
（3）设，现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成两份后清洗两次，试问哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由。
分析：（1）用0单位量的水清洗，蔬菜上残留农药量与清洗前残留农药量相等，所以.
（2）函数应该满足的条件和具有的性质是：；在上单调递减；且.
（3）设用单位量水清洗一次后，菜上残留农药量为（清洗前残留农药量为），则，
用单位水量清洗一次后，菜上农药残留量为，则，
再用单位水清洗一次后，菜上农药残留量为，则，
.
.
当时，；当时，；当时，.
故当超过个单位水量时，分两次清洗好一些，故当不超过个单位水量时，清洗一次效果好一些。
2.通过数学建模教学可以培养学生的直觉思维能力
直觉思维与逻辑思维是相辅相成的。传统的数学教学比较强调逻辑思维的作用，而往往忽视直觉思维是逻辑思维的基础，某种程度上决定逻辑思维的方向。爱因斯坦说：“真正可贵的因素是直觉”，通过将实际问题转化为数学问题建立数学模型培养学生的直觉思维能力是一种有效的途径。
在现实生活中的许多经济问题，如增长率、利息（单利、复利）、分期付款等与时间相关的实际问题；生物工程中的细胞繁殖与分裂等问题；人口增长、生态平衡、环境保护，物理学上的衰变、裂变等问题，常通过建立相应的数列模型求解。
例2.1 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入万元，以后每年投入比上年减少．本年度当地旅游业收入估计为万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.
（Ⅰ）设年内（本年度设为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元。写出，的表达式；
（Ⅱ）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？
分析：（Ⅰ）第年投入为万元，第年投入为万元，．．．，第年投入为万元．所以，年内的总投入为
第年旅游业收入为万元，第年旅游业收入为万元，．．．，第年旅游业收入为万元．所以，年内的旅游业总收入为：
.
（Ⅱ）设至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入，由此,
即
，
化简得
.
设，代入上式得，解得（不合题意，舍去）
即 由此得.
故至少经过年，旅游业的总收入才能超过总投入。
3.通过数学建模教学可以培养学生的发散思维能力
中学生习惯于集中思维的思维方式，课本上的题目和材料基本上都循着同一个模式，用符合常规的思路和方法解决问题，这对于基础知识、基本技能的掌握是必要的，但对于培养创造能力来说还是不够的。通过对实际问题给出的材料信息，从不同角度，向不同方向，用不同的方法或途径进行思考和分析，建立数学模型，寻求超常规、求变求异的思维方式和解决问题的方法，以培养学生创造性思维能力。
现实世界中广泛存在着数量之间的相等或不等关系，如投资决策、人口控制、资源保护、生产规划、交通运输、水土流失等问题中涉及的有关数量问题，常归结为方程或不等式求解。
总之，在中学实行数学建模教学，可使学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，体会数学的应用价值，培养数学的应用意识，增进对数学的理解和应用数学的信心。可使学生学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中的问题，进而形成勇于探索、勇于创新的科学精神。以数学建模为手段，激发学生学习数学的积极性，学会团结协作，建立良好人际关系、相互合作的工作能力。教师以数学建模方法为载体，使学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实和数学活动经验）以及基本的思想方法和必要的应用技能。并通过数学建模改变学生的学习方式，体现学以致用的精神。所以在中学数学教学中开展数学建模教学意义重大。

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