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2020年中考数学二模试卷
一、选择题
1．﹣4的绝对值是（　　）
A．4
B．
C．﹣4
D．±4
2．计算（﹣3a2）3结果是（　　）
A．﹣9a6
B．﹣27a6
C．27a6
D．﹣27a5
3．如图，由4个大小相同的正方体组成的几何体的主视图是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．2019年末，在中国武汉引发疫情的冠状病毒，被命名为COVID﹣19新型冠状病毒，冠状病毒的平均直径约是0.00000009米．数据0.00000009学记数法表示为（　　）
A．0.9×10﹣8
B．9×10﹣8
C．9×10﹣7
D．0.9×10﹣7
5．下列因式分解正确的是（　　）
A．2ab2﹣4ab＝2a（b2﹣2b）
B．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）
C．x2+2xy﹣4y2＝（x﹣2y）2
D．﹣my2+4my﹣4m＝﹣m（y﹣2）2
6．为了解我市某中学“书香校园”的建设情况，在该校随机抽取了50名学生，调查了解他们一周阅读课外书籍的时间，并将调查结果绘制成如图所示的频数分布直方图（每小组的时间包含最小值，不包含最大值），根据图中信息估计该校1500名学生中，一周课外阅读时间不少于4小时的人数约为（　　）
A．300
B．600
C．900
D．1200
7．某件羊毛衫的售价为1000元，因换季促销，商家决定降价销售，在连续两次降价x%后，售价降低了190元，则x为（　　）
A．5
B．10
C．19
D．81
8．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，AC是的弦，过点O作OD∥AC交⊙O于点D，连接BC，若∠ABC＝24°，则劣弧CD的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
9．当a﹣b＝3时，关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2＝0（a≠0）的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，矩形CDEF的顶点E在边AB上，D，F两点分别在边AC，BC上，且，将矩形CDEF以每秒1个单位长度的速度沿射线CB方向匀速运动，当点C与点B重合时停止运动，设运动时间为t秒，矩形CDEF与△ABC重叠部分的面积为S，则反映S与t的函数关系的图象为（　　）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．估算：≈　
　（结果精确到1）．
12．命题：“如果m是自然数，那么它是有理数”，则它的逆命题为　
　．
13．如图，正方形ABCD的顶点A，B在x轴的负半轴上，反比例函数（k1≠0）在第二象限内的图象经过正方形ABCD的顶点D（m，2）和BC边上的点G（n，），直线y＝k2x+b（k2≠0）经过点D，点G，则不等式的解集为　
　．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，点M为AB的中点，点N为AD边上的一动点，将△AMN沿MN折叠，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD的对角线上时，AN的长度为　
　．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解不等式：．
16．程大位是珠算发明家，他的名著《直指算法统宗》详述了传统的珠算规则，确立了算盘用书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣3）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；
（3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是　
　．
18．观察以下等式：第1个等式：2+＝22×；第2个等式：3+＝32×；第3个等式：4+＝42×；第4个等式：5+＝52×；……按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：　
　；
（2）写出你猜想的第n个等式：　
　（用含n的等式表示），并证明．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．广州塔又称广州新电视塔，昵称小蛮腰，位于广州市海珠区赤岗塔附近，是中国第一高塔，世界第四高塔．如图，广州塔BD附近有一大厦AC高150米，张强在楼底A处测得塔顶D的仰角为45°，上到大厦顶C处测得塔顶D的仰角为37°，求广州塔BD的高．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
20．如图，四边形ABDC是⊙O的内接四边形，∠BDC＝120°，AB＝AC，连接对角线AD，BC，点F在线段BD的延长线上，且CF＝DF，⊙O的切线CE交BF于点E．
（1）求证：CE∥AB；
（2）求证：AD＝BD+CD．
六、（本题满分12分）
21．为宣传普及新冠肺炎防治知识，引导学生做好防控．某校举行了主题为“防控新冠，从我做起”的线上知识竞赛活动，测试内容为20道判断题，每道题5分，满分100分，为了解八、九年级学生此次竞赛成绩的情况，分别随机在八、九年级各抽取了20名参赛学生的成绩已知抽查得到的八年级的数据如下：
80，95，75，75，90，75，80，65，80，85，75，65，70，65，85，70，95，80，75，80．
为了便于分析数据，统计员对八年级数据进行了整理，得到了表一：
成绩等级
分数（单位：分）
学生数
D等
60＜x≤70
5
C等
70＜x≤80
a
B等
80＜x≤90
b
A等
90＜x≤100
2
九年级成绩的平均数、中位数、优秀率如下：（分数80分以上、不含80分为优秀）
年级
平均数
中位数
优秀率
八年级
77.5
c
m%
九年级
76
82.5
50%
（1）根据题目信息填空：a＝　
　，c＝　
　，m＝　
　；
（2）八年级王宇和九年级程义的分数都为80分，请判断王宇、程义在各自年级的排名哪位更靠前？请简述你的理由；
（3）八年级被抽取的20名学生中，获得A等和B等的学生将被随机选出2名，协助学校普及新冠肺炎防控知识，求这两人都为B等的概率．
七、（本题满分12分）
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，4）．
（1）求此抛物线的函数表达式及点A的坐标；
（2）已知点D（1，﹣1），在直线AD上方的抛物线上有一动点P（x，y）（1＜x＜4），求△ADP面积的最大值．
八、（本题满分14分）
23．如图，在△ABC中，AG⊥BC，垂足为点G，点E为边AC上一点，BE＝CE，点D为边BC上一点，GD＝GB，连接AD交BE于点F．
（1）求证：∠ABE＝∠EAF；
（2）求证：AE2＝EF?EC；
（3）若CG＝2AG，AD＝2AF，BC＝5，求AE的长．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．﹣4的绝对值是（　　）
A．4
B．
C．﹣4
D．±4
【分析】根据绝对值的概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值可直接得到答案．
解：﹣4的绝对值是4，
故选：A．
2．计算（﹣3a2）3结果是（　　）
A．﹣9a6
B．﹣27a6
C．27a6
D．﹣27a5
【分析】根据幂的乘方的法则计算即可．
解：（﹣3a2）3＝﹣27a6，
故选：B．
3．如图，由4个大小相同的正方体组成的几何体的主视图是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
解：从正面看易得有两层，底层两个正方形，上层右边一个正方形，右齐．
故选：C．
4．2019年末，在中国武汉引发疫情的冠状病毒，被命名为COVID﹣19新型冠状病毒，冠状病毒的平均直径约是0.00000009米．数据0.00000009学记数法表示为（　　）
A．0.9×10﹣8
B．9×10﹣8
C．9×10﹣7
D．0.9×10﹣7
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：数据0.00000009学记数法表示为9×10﹣8．
故选：B．
5．下列因式分解正确的是（　　）
A．2ab2﹣4ab＝2a（b2﹣2b）
B．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）
C．x2+2xy﹣4y2＝（x﹣2y）2
D．﹣my2+4my﹣4m＝﹣m（y﹣2）2
【分析】各式分解得到结果，即可作出判断．
解：A、原式＝2ab（b﹣2），不符合题意；
B、原式不能分解，不符合题意；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式＝﹣m（y﹣2）2，符合题意．
故选：D．
6．为了解我市某中学“书香校园”的建设情况，在该校随机抽取了50名学生，调查了解他们一周阅读课外书籍的时间，并将调查结果绘制成如图所示的频数分布直方图（每小组的时间包含最小值，不包含最大值），根据图中信息估计该校1500名学生中，一周课外阅读时间不少于4小时的人数约为（　　）
A．300
B．600
C．900
D．1200
【分析】用被调查人数减去第1、2组人数即为课外阅读时间不少于4小时的人数，据此用总人数乘以课外阅读时间不少于4小时的人数占被调查人数即可得．
解：根据图中信息估计该校1500名学生中，一周课外阅读时间不少于4小时的人数约为1500×＝900（人），
故选：C．
7．某件羊毛衫的售价为1000元，因换季促销，商家决定降价销售，在连续两次降价x%后，售价降低了190元，则x为（　　）
A．5
B．10
C．19
D．81
【分析】根据该羊毛衫的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
解：依题意，得：1000（1﹣x%）2＝1000﹣190，
解得：x1＝10，x2＝190（不合题意，舍去）．
故选：B．
8．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，AC是的弦，过点O作OD∥AC交⊙O于点D，连接BC，若∠ABC＝24°，则劣弧CD的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】先根据圆周角定理求出∠A的度数，得出∠BOD和∠BOC的度数，由角的和差可得∠COD的度数，最后由弧长公式可得结论．
解：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝24°，
∴∠A＝90°﹣24°＝66°，
∴∠BOC＝2×66°＝132°，
∵AC∥OD，
∴∠BOD＝∠A＝66°，
∴∠COD＝132°﹣66°＝66°，
∵AB＝4，
∴劣弧CD的长＝＝；
故选：B．
9．当a﹣b＝3时，关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2＝0（a≠0）的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【分析】计算根的判别式得到△＝b2+8a，利用a﹣b＝3变形为△＝b2+8b+24＝（b+4）2+8＞0，即可求得答案．
解：∵ax2﹣bx﹣2＝0（a≠0），
∴△＝b2+8a，
∵a﹣b＝3，
∴a＝b+3，
∴△＝b2+8b+24＝（b+4）2+8＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，矩形CDEF的顶点E在边AB上，D，F两点分别在边AC，BC上，且，将矩形CDEF以每秒1个单位长度的速度沿射线CB方向匀速运动，当点C与点B重合时停止运动，设运动时间为t秒，矩形CDEF与△ABC重叠部分的面积为S，则反映S与t的函数关系的图象为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】证明△DEF≌△BFE（AAS），则DE＝FB＝CF＝BC＝4；分0≤t≤4、4＜t≤8两种情况，分别求出函数表达式，即可求解．
解：如图1，连接DF，
∵，即tanB＝tan∠EDF，
∴∠B＝∠EDF，而∠DEF＝∠EFB＝90°，EF＝EF，
∴△DEF≌△BFE（AAS），
∴DE＝FB＝CF＝BC＝4，即点F是BC的中点，
EF＝FBtanB＝4×＝3，
故矩形DCFE的面积为3×4＝12；
当0≤t≤4时，如图2，
设直线AB交D′C′F′E′于点H，
则EE′＝t，HE′＝EE′tan∠E′EH＝EE′tanB＝t，
S＝S矩形D′C′F′E′﹣S△E′EH＝12﹣t×t＝12﹣t2，
该函数为开口向下的抛物线，当t＝4时，S＝6；
当4＜t≤8时，
同理可得：S＝（8﹣t）2，
该函数为开口向上的抛物线；
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．估算：≈　7　（结果精确到1）．
【分析】由于36＜46＜49，所以得到的整数部分是6，然后即可判断出所求的无理数的大约值．
解：∵36＜46＜49，
∴的整数部分是6，
∵6.72＝44.89，6.82＝46.25，
∴≈7，
故答案为7．
12．命题：“如果m是自然数，那么它是有理数”，则它的逆命题为　如果m是有理数，那么它是自然数　．
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
解：命题：“如果m是自然数，那么它是有理数”，则它的逆命题为如果m是有理数，那么它是自然数；
故答案为：如果m是有理数，那么它是自然数．
13．如图，正方形ABCD的顶点A，B在x轴的负半轴上，反比例函数（k1≠0）在第二象限内的图象经过正方形ABCD的顶点D（m，2）和BC边上的点G（n，），直线y＝k2x+b（k2≠0）经过点D，点G，则不等式的解集为　﹣3≤x≤﹣1或x＞0　．
【分析】利用正方形ABCD的顶点D的坐标得到正方形的边长为2，则G点坐标表示为（n﹣2，），则根据反比例函数图象上点的坐标特征得到2m＝（m﹣2），求出m得到G（﹣3，），D（﹣1，2），然后结合函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围（含两图象交点的横坐标）．
解：∵正方形ABCD的顶点D的坐标为（m，2），
∴正方形的边长为2，
∴G（n﹣2，），
∵D（m，2），G（m﹣2，）在反比例函数（k1≠0）图象上，
∴2m＝（m﹣2），解得m＝﹣1，
∴G（﹣3，），D（﹣1，2），
∵当﹣3≤x≤﹣1或x＞0时，，
∴不等式的解集为﹣3≤x≤﹣1或x＞0．
故答案为﹣3≤x≤﹣1或x＞0．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，点M为AB的中点，点N为AD边上的一动点，将△AMN沿MN折叠，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD的对角线上时，AN的长度为　或　．
【分析】分两种情况讨论，当点P落在BD上时，由折叠的性质可得AM＝MP＝BM，AN＝NP，可证∠APB＝90°，由余角的性质可得∠NPD＝∠ADP，可得AN＝NP＝DN＝AD＝；当点P在AC上时，通过证明△MAN∽△CBA，可得，即可求解．
解：如图，当点P落在BD上时，
∵点M为AB的中点，
∴AM＝BM＝AB＝1，
∵将△AMN沿MN折叠，点A落在点P处，
∴AM＝MP，AN＝NP，
∴AM＝MP＝BM，∠NAP＝∠NPA，
∴∠APB＝90°，
∴∠NAP+∠ADP＝90°，∠APN+∠NPD＝90°，
∴∠NPD＝∠ADP，
∴AN＝ND，
∴AN＝NP＝DN＝AD＝；
若点P落在AC上时，连接AC交MN于点H，
∵将△AMN沿MN折叠，
∴AC⊥MN，
∵∠ABC+∠BCH+∠CHM+∠BMH＝360°，
∴∠BMH+∠BCH＝180°，
又∵∠AMN+∠BCH＝180°，
∴∠AMN＝∠BCH，
又∵∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴△MAN∽△CBA，
∴，
∴AN＝＝，
故答案为：或．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解不等式：．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得．
解：去分母，得：2x﹣1＜12x+14，
移项，得：2x﹣12x＜14+1，
合并同类项，得：﹣10x＜15，
系数化为1，得：x＞﹣．
16．程大位是珠算发明家，他的名著《直指算法统宗》详述了传统的珠算规则，确立了算盘用书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？
【分析】设大和尚有x人，小和尚有y人，根据100个和尚吃100个馒头且1个大和尚分3个、3个小和尚分1个，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
解：设大和尚有x人，小和尚有y人，
依题意，得：，
解得：．
答：大和尚有25人，小和尚有75人．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣3）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；
（3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是　（2a，2b）　．
【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用关于原点为位似中心的对应点的坐标之间的关系，把点A1、B1、C1的横纵坐标都乘以2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
（3）利用（2）中的坐标变换规律求解．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）点P的对应点P2的坐标是（2a，2b）．
故答案为（2a，2b）．
18．观察以下等式：第1个等式：2+＝22×；第2个等式：3+＝32×；第3个等式：4+＝42×；第4个等式：5+＝52×；……按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：　6+　；
（2）写出你猜想的第n个等式：　n+＝n?　（用含n的等式表示），并证明．
【分析】（1）观察出规律：一个数加上一个分数（分子为这个数、分母比这个数的平方少1等于这个数的平方与这个分数的积．再根据规律写出第5个等式；
（2）用字母n表示这个规律，并根据分式的运算验证．
解：（1）第1个等式：2+＝22×，即2+＝22×；
第2个等式：3+＝32×，即3+＝32×；
第3个等式：4+＝42×，即4+＝42×；
第4个等式：5+＝52×，即5+＝52×；
……
按照以上规律可得，第5个等式：6+，即6+，
故答案为：6+；
（2）根据题意得，第n个等式：n+＝n?．
证明：左边＝，
右边＝，
左边＝右边，
即n+＝n?．
故答案为：n+＝n?．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．广州塔又称广州新电视塔，昵称小蛮腰，位于广州市海珠区赤岗塔附近，是中国第一高塔，世界第四高塔．如图，广州塔BD附近有一大厦AC高150米，张强在楼底A处测得塔顶D的仰角为45°，上到大厦顶C处测得塔顶D的仰角为37°，求广州塔BD的高．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【分析】过点C作CE⊥BD于点E，即四边形ACEB是矩形，根据题意利用锐角三角函数即可求出广州塔BD的高．
解：如图，过点C作CE⊥BD于点E，即四边形ACEB是矩形，
∴BE＝AC＝150，CE＝AB，
根据题意可知：
∠DAB＝45°，
∴DB＝AB＝CE，
∴DE＝DB﹣BE＝DB﹣150，
在Rt△CDE中，∠DCE＝37°，
∴DE＝CE?tan37°，
即DB﹣150≈0.75DB，
解得DB≈600（米）．
答：广州塔BD的高约为600米．
20．如图，四边形ABDC是⊙O的内接四边形，∠BDC＝120°，AB＝AC，连接对角线AD，BC，点F在线段BD的延长线上，且CF＝DF，⊙O的切线CE交BF于点E．
（1）求证：CE∥AB；
（2）求证：AD＝BD+CD．
【分析】（1）连接CO，根据圆内接四边形的性质求出∠BAC＝60°，得到△ABC为等边三角形，得到CH⊥AB，根据切线的性质得到CH⊥CE，根据平行线的判定定理证明结论；
（2）证明△ACD≌△BCF，根据全等三角形的性质得到AD＝BF，等量代换证明即可．
【解答】（1）证明：连接CO并延长，交AB于H，
∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，∠BDC＝120°，
∴∠BAC＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴CH⊥AB，
∵CE是⊙O的切线，
∴CH⊥CE，
∴CE∥AB；
（2）证明：∵∠BDC＝120°，
∴∠CDF＝60°，
∵CF＝DF，
∴△CDF为等边三角形，
∴CD＝CF，∠DCF＝60°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠DCF＝∠ACB，
∴∠DCF+∠BCD＝∠ACB+∠BCD，即∠ACD＝∠BCF，
在△ACD和△BCF中，
，
∴△ACD≌△BCF（SAS）
∴AD＝BF＝BD+DF＝BD+CD．
六、（本题满分12分）
21．为宣传普及新冠肺炎防治知识，引导学生做好防控．某校举行了主题为“防控新冠，从我做起”的线上知识竞赛活动，测试内容为20道判断题，每道题5分，满分100分，为了解八、九年级学生此次竞赛成绩的情况，分别随机在八、九年级各抽取了20名参赛学生的成绩已知抽查得到的八年级的数据如下：
80，95，75，75，90，75，80，65，80，85，75，65，70，65，85，70，95，80，75，80．
为了便于分析数据，统计员对八年级数据进行了整理，得到了表一：
成绩等级
分数（单位：分）
学生数
D等
60＜x≤70
5
C等
70＜x≤80
a
B等
80＜x≤90
b
A等
90＜x≤100
2
九年级成绩的平均数、中位数、优秀率如下：（分数80分以上、不含80分为优秀）
年级
平均数
中位数
优秀率
八年级
77.5
c
m%
九年级
76
82.5
50%
（1）根据题目信息填空：a＝　10　，c＝　77.5　，m＝　25　；
（2）八年级王宇和九年级程义的分数都为80分，请判断王宇、程义在各自年级的排名哪位更靠前？请简述你的理由；
（3）八年级被抽取的20名学生中，获得A等和B等的学生将被随机选出2名，协助学校普及新冠肺炎防控知识，求这两人都为B等的概率．
【分析】（1）利用唱票的方法得到a、b的值，再利用中位数的定义求c，然后用5除以20得到m的值；
（2）利用中位数的意义进行判断；
（3）画树状图展示所有20种等可能的结果数，找出这两人都为B等的结果数，然后根据概率公式求解．
解：（1）a＝10，b＝3，c＝77.5
m%＝＝25%，即m＝25；
故答案为10，77.5，25；
（2）王宇在八年级的排名更靠前．
理由如下：八年级的中位数为77.5分，而王宇的分数为80分，所以王宇的成绩为中上游；
而九年级的中位数为82.5分，程义的分数都为80分，所以他在九年级为中下游；
（3）画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中这两人都为B等的结果数为6，
所以这两人都为B等的概率＝＝．
七、（本题满分12分）
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，4）．
（1）求此抛物线的函数表达式及点A的坐标；
（2）已知点D（1，﹣1），在直线AD上方的抛物线上有一动点P（x，y）（1＜x＜4），求△ADP面积的最大值．
【分析】（1）用待定系数法求得解析式，再把y＝0代入求得的解析式，便可求得A点坐标；
（2）用待定系数法求出直线AD的解析式，再过P作PE⊥x轴于F，与AD交于点E，由三角形的面积公式求出解析式，进而根据二次函数的性质求得得符合条件的最大值便可．
解：（1）把B（4，0）和C（0，4）代入中得，
，
∴，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣+x+4，
令y＝0，得y＝﹣+x+4＝0，
解得，x＝4（舍），或x＝﹣2，
∴A（﹣2，0）；
（2）设直线AD的解析式为：y＝kx+m（k≠0），则
，
解得，
∴AD的解析式为：y＝﹣x﹣，
过点P作PE⊥x轴于F，与AD交于点E，如图，
∵P（x，y），即P（x，﹣+x+4），
∴E（x，﹣x﹣），
∴PE＝﹣+x+4，
△ADP面积＝＝（﹣+x+4）×（1+2）＝﹣+2x+6＝﹣，
∵1＜＜4，
∴△ADP面积的最大值为．
八、（本题满分14分）
23．如图，在△ABC中，AG⊥BC，垂足为点G，点E为边AC上一点，BE＝CE，点D为边BC上一点，GD＝GB，连接AD交BE于点F．
（1）求证：∠ABE＝∠EAF；
（2）求证：AE2＝EF?EC；
（3）若CG＝2AG，AD＝2AF，BC＝5，求AE的长．
【分析】（1）首先证明∠EBC＝∠C，∠ABD＝∠ADB，再根据∠ABD＝∠ABE+∠EBC，∠ADB＝∠DAC+∠C，可得结论．
（2）证明△AEF∽△BEA可得结论．
（3）设BE交AG于J，连接DJ，DE．证明四边形AJDE是平行四边形，推出DE⊥BC，AE＝DJ，想办法求出DJ即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵EB＝EC，
∴∠EBC＝∠C，
∵AG⊥BD，BG＝GD，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠ABD＝∠ABE+∠EBC，∠ADB＝∠DAC+∠C，
∴∠ABE＝∠DAC，
即∠ABE＝∠EAF．
（2）证明：∵∠AEF＝∠BEA，∠EAF＝∠ABE，
∴△AEF∽△BEA，
∴＝，
∴AE2＝EF?EB，
∵EB＝EC，
∴AE2＝EF?EC．
（3）解：设BE交AG于J，连接DJ，DE．
∵AG垂直平分线段BD，
∴JB＝JD，
∴∠JBD＝∠JDG，
∵∠JBD＝∠C，
∴∠JDB＝∠C，
∴DJ∥AC，
∴∠AEF＝∠DJF，
∵AF＝DF，∠AFE＝∠DFJ，
∴△AFE≌△DFJ（AAS），
∴EF＝FJ，AE＝DJ，
∵AF＝DF，
∴四边形AJDE是平行四边形，
∴DE∥AG，
∵AG⊥BC，
∴ED⊥BC，
∵EB＝EC，
∴BD＝DC＝，
∴BG＝DG＝，
∵tan∠JDG＝tan∠C＝＝＝，
∴JG＝，
∵∠JGD＝90°，
∴DJ＝＝＝，
∴AE＝DJ＝

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