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综合练习卷
数
学
注意事项：
1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．()－2的相反数为
A．－4
B．－
C．
D．4
2．计算a8÷(－a3)2×a5的结果是
A．－a8
B．－a7
C．a7
D．a8
3．任意摆放如图所示的正三棱柱，其主视图不可能的是
A．
B．
C．
D．
4．下列整数中，与＋3最接近的是
A．5
B．6
C．7
D．8
5．如图，AB是半圆O的弦，DE是直径，过点B的切线BC与⊙O相切于点B，与DE的延长线交于点C，连接BD，若四边形OABC为平行四边形，则∠BDC的度数为
A．20.5°
B．22.5°
C．24°
D．30°
6．已知函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x
…
－4
－2
2
4
…
y
…
－2
m
n
2
…
对于下列命题：①若y是x的反比例函数，则m＝－n；②若y是x的一次函数，则
n－m＝2；③若y是x的二次函数，则m＜n．其中正确的个数是
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．9的平方根是
▲
；8的立方根是
▲
．
8．要使式子1＋有意义，则实数x的取值范围是
▲
．
9．分解因式a(x－1)2－a(x－1)的结果是
▲
．
10．计算(－)×的结果是
▲
．
11．设x1，x2是一元二次方程x2－x－1＝0的两个根，则x12x2＋x1x22＝
▲
．
12．如图，过原点O的直线与反比例函数y1＝(x＞0)和y2＝(x＞0)的图像分别交于点
A1、A2．若＝，则＝
▲
．
13．一种药品经过两次降价，药价从每盒60元下调至48元．设平均每次降价的百分率是x，根据题意可列方程是
▲
．
14．如图，⊙O的半径为2，将⊙O沿弦AB折叠得到，且恰好经过圆心O，则新月形阴影部分的面积为
▲
．
15．如图，点O为正五边形的中心，⊙O与正五边形的每条边都相交，则∠1＝
▲
°．
16．已知等边△ABC的边长为，直线l经过点A，点B关于直线l的对称点为B'，若
BB'＝2，则CB'＝
▲
．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解关于x的不等式组并把解集表示在所给数轴上．
18．（7分）先化简，再求值：(1＋)÷(－m)，其中m＝1－．
19．（8分）某班有甲、乙两名同学报名参加100米跑步比赛，他们在赛前进行了10次训练．将两人的10次训练成绩分别绘制成如下统计图．
（1）根据统计图把下列表格补充完整：
平均数（s）
方差（s2）
跑进15s以内（不包括15s）的占比
甲
15
①
50%
乙
15
0.038
②
从两个不同角度评价甲、乙两名同学的训练成绩．
20．（7分）某校对高一新生随机摇号分班，一共分4个班，班号分别为1班、2班、3班、4班，甲、乙两人是该校的高一新生．
（1）甲恰好被分在1班的概率为
▲
；
（2）求甲、乙被分在班号连续的两个班级的概率．
21．（7分）甲、乙两人分别从距目的地8
km和14
km的两地同时出发，甲、乙的速度比是2∶3，结果甲比乙提前20min到达目的地，求甲、乙的速度．
22．（8分）如图，在□ABCD中，E、G分别是AB、CD的中点，且AH＝CF，AH∥CF．
（1）求证：△AEH≌△CGF；
（2）连接FH，若FH＝AD，求证：四边形EFGH是矩形．
23．（8分）已知一次函数y1＝2x＋m（m为常数）和y2＝－x＋1．
（1）当m＝2时，若y1＞y2，求x的取值范围；
（2）当x＞1时，y1＞y2；当x＜1时，y1＜y2，则m的值为
▲
；
（3）判断函数y＝y1·y2的图像与x轴的交点个数情况，并说明理由．
24．（7分）如图，某工地有一辆底座为AB的吊车，吊车从水平地面C处吊起货物，此时测得吊臂AC与水平线的夹角为18°，将货物吊至D处时，测得吊臂AD与水平线的夹角为53°，且吊臂转动过程中长度始终保持不变，此时D处离水平地面的高度DE＝11m，求吊臂的长．
（参考数据：sin18°≈0.30，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，
sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）
25．（9分）商家销售某种商品，每件成本50元．经市场调研，当售价为60元时，可销售300件；售价每增加1元，销售量将减少10件．为了提高销售量，当售价为80元时，该商家聘请网络主播直播带货，此时售价每增加1元，需支付给主播300元．物价局对此商品规定：售价最高不超过110元．下图中的折线ABC表示该商品的销售量y（单位：件）与售价x（单位：元）之间的函数关系．
求线段BC对应的函数表达式；
当售价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少？
直播带货后，售价至少为
▲
元，该商家获得的利润不低于直播带货前的最大利润．
26．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的点，过点D作DE∥AB，交AC于点E，过点E作EF∥BC，交AB于点F，经过点D、E、F的⊙O与AB、BC的另一个公共点分别为G、H，连接EG、EH、GH.
（1）求证：△EGH∽△ABC；
（2）若AB＝15，BC＝10，
①当BG＝2时，求DH的长；
②若ED恰为⊙O的直径，则BD的长为
▲
．
27．（10分）
【数学问题】
如图①，⊙O是△ABC的外接圆，P是△ABC的内心，连接CP并延长交⊙O于点D，连接DA．
（1）求证：DA＝DP；
（2）若AB＝8，tan∠ACB＝，当点C在上运动时，O、P两点之间距离的最小值为
▲
．
【问题解决】
如图②，有一个半径为25
m的圆形广场，点O为圆心，点P处有一座雕像，且O、P两点之间的距离为5
m．现要在圆形广场上修建一个三角形水池，使⊙O是三角形的外接圆，点P是三角形的内心．
（3）请用直尺和圆规在图②中作出一个满足修建要求的三角形；（保留作图痕迹，不写作法）
（4）对于满足修建要求的三角形水池，若三角形水池其中一条边的长度为x
m，发现能作出的三角形的个数随着x的值变化而变化……请你探索，直接写出能作出的三角形的个数及对应的x的取值范围．
综合练习卷
数学参考答案及评分标准
说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
题号
1
2
3
4
5
6
答案
A
C
D
C
B
D
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．±3，2
8．x≠1
9．a(x－1)(x－2)
10．－
11．－
12．
13．60(1－x)2＝48
14．π＋2
15．108
16．±1
三、解答题（本大题共11小题，共88分）
17．（本题8分）
解：解不等式①，得x≤2．
………………………………
2分
解不等式②，得x＞－1．
………………………………
4分
所以，不等式组的解集是－1＜x≤2．
………………………………
6分
…
8分
18．（本题7分）
解：原式＝÷
＝·
＝．
…………………………………………………………………
5分
当m＝1－时，原式＝＝＝．
…………………
7分
19．（本题8分）
解：（1）0.07，40%
．
……………………………………
4分
（2）评价角度不唯一，以下答案供参考：
两人训练成绩的平均数都是15s，说明两人成绩整体实力相当；
甲的方差大于乙的方差，说明乙的成绩更加稳定．…………………………………
8分
（甲跑进15s以内的占比多于乙，且甲的最快速度比乙快，说明甲更有可能创造好成绩）
20．（本题7分）
解：（1）．
…………………
2分
（2）
乙分在的班级
结果甲分在的班级
1
2
3
4
1
(1，1)
(1，2)
(1，3)
(1，4)
2
(2，1)
(2，2)
(2，3)
(2，4)
3
(3，1)
(3，2)
(3，3)
(3，4)
4
(4，1)
(4，2)
(4，3)
(4，4)
由列表可知共有16种，它们出现的可能性相同，所有的结果中，满足“甲、乙被分在班号连续的两个班级”（记为事件A）的结果有6种，所以P(A)＝＝．
……
7分
（本题7分）
解：（1）设甲的速度为2x
km/h，乙的速度为3x
km/h．
因为20
min＝
h，
由题意得＋＝，解得x＝2，
经检验x＝2是原方程的解，即2x＝4，3x＝6
答：甲的速度为4
km/h，乙的速度为6
km/h．
……….7分
22．（本题8分）
（1）证明：延长AH交DC于点P，延长CF交AB于点Q，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD．
∴AQ∥CP，
又AH∥CF，即AP∥CQ
∴四边形APCQ是平行四边形，
∴∠HAE＝∠FCG，
∵E、G分别是AB、CD的中点，
∴AE＝AB，CG＝CD，即AE＝CG．
在△AHE和△CFG中，
AE＝CG，∠HAE＝∠FCG，AH＝FC．
∴△AHE≌△CFG．
…………………………
4分
（2）证明：
连接FH、EG
∵AH∥CF，∴∠AHF＝∠HFC．
由（1）知：∠AHE＝∠CFG，HE＝FG，
∴∠AHF－∠AHE＝∠HFC－∠CFG，即∠EHF＝∠GFH．
∴HE∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．
由（1）知：AE＝DG，AB∥CD，∴四边形ADGE是平行四边形，
∴AD＝EG．又∵AD＝FH，∴EG＝FH，
∴四边形EFGH是矩形．
………………………
8分
23．（本题8分）
解：（1）解：当m＝2时，y1＝2x＋2．∵y1＞y2，∴2x＋2＞－x＋1
解得x＞－
……………………………………
3分
（2）－2
……………………………………
5分
（3）y＝y1·y2＝(2x＋m)(－x＋1)
令y＝0，(2x＋m）(－x＋1)＝0，解得x1＝－，x2＝1；
当－＝1，即m＝－2时，该方程有两个相等的实数根，
则函数图像与x轴有一个交点；
当－≠1，即m≠－2时，该方程有两个不相等的实数根，
则函数图像与x轴有两个交点．
……………………………………
8分
（另解：令y＝0，(2x＋m)(－x＋1)＝0即2x2＋(m－2)x－m=0，
∵a＝2，b＝m－2，c＝－m，∴b2－4ac＝(m－2)2＋8m＝(m＋2)2．
当m＝－2时，b2－4ac＝(m＋2)2＝0，则该方程有两个相等的实数根，所以函数图像与x轴有一个交点；当m≠－2时，b2－4ac＝(m＋2)2＞0，则该方程有两个不相等的实数根，所以函数图像与x轴有两个交点．）
24．（本题7分）
解：由题可得，过点A作AF⊥DE，垂足为F．
设AD＝AC＝x
m．
在Rt△AFD中，∠AFD＝90°，∠DAF＝53°．
∴sin∠DAF＝，
∴DF＝ADsin∠DAF＝xsin53°．
在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝18°，
∴sinC＝，
∴AB＝ACsinC＝xsin18°．
在矩形AFEB中，AB＝EF＝xsin18°．
∵DE＝DF＋EF，∴11＝xsin53°＋xsin18°．
解得x＝≈＝10．
因此，吊臂的长为10
m．………………………………………………………………
7分
25．（本题9分）
解：（1）当x＝80时，y＝300－10×(80－60)＝100.
∴点B的坐标为（80，100）．
设线段BC对应的函数表达式为y＝kx＋b（k，b为常数）
∵图像过点（80，100）、（110，250），
∴解得
∴y＝5x－300
………………………………
3分
（2）设获得的利润为W元．
由题意知AB对应的函数表达式为y＝300－10(x－60)＝－10x＋900
当60≤x≤80时，W＝(x－50)(－10x＋900)＝－10(x－70)2＋4000．所以，当x＝70时，W的值最大，最大值为4000．
当80≤x≤110时，W＝(x－50)(5x－300)－300(x－80)＝5(x－85)2＋2875．
因为5＞0，开口向上，当80≤x≤85时，W随x的增大而减小，即W≤3000；当85≤x≤110时，W随x的增大而增大，即W≤6000．
因此，当x＝110时，W的值最大，最大值为6000．
综上，当售价为110元时，该商家获得的利润最大，最大利润是6000元．
……………
7分
（3）
100
……………
9分
26．（本题9分）
解：（1）∵四边形EFGH是⊙O的内接四边形，∴∠EFA＝∠EHG．
∵∠EGH
和∠EDH
都是所对的圆周角，
∴∠EGH＝∠EDH
∵DE∥AB，EF∥BC，∴∠EFA＝∠B，∠EDH＝∠B．
∴∠EGH＝∠EHG＝∠B，
∵AB＝AC，∴∠C＝∠B
∴∠C＝∠EHG，∠B＝∠EGH，
∴△EGH∽△ABC．
…………………
3分
（2）①连接DG．
∵∠CHE＋∠BHG＋∠EHG＝180°，
∠CHE＋∠CEH＋∠C＝180°，
∴∠CEH＝∠BHG．
在△CEH和△BHG中，∠CEH＝∠BHG，∠C＝∠B，
∴△CEH∽△BHG．∴＝．
由（1）知＝＝＝，∴＝，∵BG＝2，∴CH＝3．
∵四边形EGDH是⊙O
的内接四边形，∴∠GDB＝∠GEH．
又∠EHG＝∠B，∴△EHG∽△DBG．∴＝，
∴＝＝．∴BD＝3
∴DH＝BC－BD－CH＝10－3－3＝4．
……………
7分
②
……………………………………
9分
27．（本题10分）
解：（1）连接AP．
∵点P是△ABC的内心，
∴CP平分∠ACB，AP平分∠CAB．
∴∠ACD＝∠BCD，∠CAP＝∠BAP．
∵∠APD是△CAP的一个外角，
∴∠APD＝∠ACD＋∠CAP＝∠BCD＋∠BAP．
在⊙O中，∠BCD＝∠BAD．
∴∠APD＝∠BAD＋∠BAP＝∠PAD．
∴DA＝DP
………………………
3分
（2）5－2
………………………
5分
（3）
如图，△ABC即为所求．
………………………
7分
（4）当x＝8，40，10，48时，此时能作出1个三角形；
当8＜x＜48且x≠40，10时，此时能作出2个三角形．
……
10分
（第3题）
A
O
E
B
C
D
（第5题）
A2
A1
x
y
O
（第12题）
m
B
A
O
n
（第14题）
（第15题）
O
1
－1
0
－3
－2
1
2
3
4
（第17题）
甲同学训练成绩统计图
15.5
15.0
14.9
14.8
次数
跑步成绩（s）
O
15.1
1
14.7
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15.2
15.3
15.4
乙同学训练成绩统计图
14.8s
72°
144°
108°
15.3s
15.2s
15s
A
B
C
D
E
F
G
H
（第22题）
A
53°
D
C
B
E
18°
（第24题）
120
200
150
100
x(元)
y(件)
O
250
60
50
C
A
B
80
100
110
300
（第25题）
A
B
C
D
E
F
G
H
O
（第26题）
①
P
O
D
C
m
B
A
②
O
P
备用图
O
P
－1
0
－3
－2
1
2
3
4
A
B
C
D
E
F
G
H
（第22题）
P
Q
A
53°
D
C
B
E
18°
（第24题）
F
A
B
C
D
E
F
G
H
O
（第26题）
B
C
A
P
O

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