资源简介

求数列通项公式通法列举
吉林省长春市东北师范大学附属实验学校 李宇
数列在高考数学试卷中占有重要的地位，它的命题也开始与函数、方程、不等式、排列组合、二项式定理等知识联系，不管命题形式如何变化，解决数列问题的前提多是确定通项公式，即便是在新课程背景下也是万变不离其中的，这就使得数列通项公式的求解方法显得突出重要。下面仅从近两年高考有关求数列通项公式问题列举，谈谈求数列通项三种重要的通法的应用。
数列通项公式的求解方法有很多，如观察法、累加法、累乘法、待定系数法、递推公式法、归纳猜想法、由确定关于的等式法等，这些都可纳入以下三种通法的范畴：①归纳猜想法；②构造新数列法；③迭代法。
猜想归纳法
猜想归纳法：利用已知条件先确定数列的前几项，而后综合运用观察法，从中找出规律性的结论，归纳猜想得出或其相关项，然后用数学归纳法证明猜想结论的正确性。运用此方法需要熟悉特殊数列和常见数列的形式及结构，并尽量将该数列的前几项的形式写得恰到好处，要是计算出具体的结果规律反而不容易看出来。
例1、（06全国卷II）设数列的前项和为，且方程有一个根为，（I）求，；（II）求的通项公式。
分析：本题条件中有关于的方程，通过、求解、，利用得到关于与的关系，结合本题条件进一步猜想的表达式，在应用数学归纳法证明后，再利用得出的通项公式。
解：（I）当时，为方程的根，
代入解得，同理解得。
（II）由题设，
当时，代入有， ，记为①式，
由（I）知，
，
由①式可推知，从而猜想，
下面用数学归纳法证明这个结论：
（1）当时，，结论成立；
（2）假设当时，成立，
那么当时，由①式得，，
故当时结论成立，从而，，
于是当时，，
当时，也成立，的通项公式，。
评注：本例通过第1问的求解完全可以直接猜想出，但如果按这个思路运用数学归纳法去证明，会出现一个严重的问题，就是已知条件中是关于的等式，需要求出，但这时的不是已知结论，如果这样做就相当于用结论证结论，所以本例给我们提供了这样一个信号，要学会正确运用数学归纳法证明结论。归纳猜想法的应用关键在于如何利用有限的信息猜出通项，要做好这一点需要清楚数列的本质，它是项数与项之间的函数关系，通过已知的有限项去建立一种数学模型，如一次式、二次式、分式、指数式、对数式等形式。
构造新数列法
构造新数列法：根据已知条件确定数列的递推关系式，进而得出关于的某个新数列的表达式，它可看作是等差数列或等比数列，再应用题设确定新数列的通项公式，最后求出的通项公式。
例2（06安徽21理）数列的前项和为，已知，，，
（1）写出与的递推关系式（），并求出关于的表达式。
分析：本题利用与、的关系，得到与的递推关系式，再结合递推关系式选择适当方法解出的表达式。
解：由，得
， 即
为首项是1，公差为1的等差数列，
，即，当时，也成立，
例3、（05重庆22文）数列满足，且，记，（）。求数列的通项公式。
分析：看到本题时，第一感觉可能是想先求出的通项公式，而后确定的通项公式。不过结合已知条件，发现这么做会走入死胡同，转换思维，用表示带入等式，直接求出的通项公式。
解：由得，代入递推关系，
整理得，即
是以为首项，公比为2的等比数列
故，即
评注：本例具有很强的一般性，它的基本模型是：数列满足，，（为常数且）。其中若则为等差数列，而也可以有其它形式。一般的，设，有，，是以为首项，为公比的等比数列，。
此类结构是高考中能力考察的热点，如06年全国卷I中的第22题，设数列的前项和＝，（I）求首项与通项。这道题先利用得出关于与的关系，进而推出，再由为等比数列而确定其通项公式。
迭代法
迭代法：利用数列的递推关系式可整理出能进行累加、累乘或层层代入等形式确定数列通项公式的方法。此法要求考生掌握一定的数列求和方法，如等差等比数列的公式法，倒序相加法，错位相减法等。
例4、（06山东22理）已知，点在函数的图象上，（）求的通项公式。
解：由题设得＝，即
由
例5、（05江西卷）已知数列的各项都是正数，且满足：求数列的通项公式。
解：
所以，令，
则
又，所以
评注：本例的递推关系中是关于的一次式与的二次式，此类问题通常有两种方法解：①转化成对数式进而构成等比数列；②采用迭代法层层代入，对于不能直接得到类似等差或等比数列的形式的数列，我们认为采用层层代入的方法是最简洁的。
此外，迭代法也包括累加法、累乘法，对于已知或可推出型的数列，若数列{}可求和，将条件转化为、、┅，把这个等式利用用累加法累加就可求出数列{}的通项公式，其中右侧的不仅可以是等差数列，还可以是等比数列，或是可以裂项求和的数列结构，如
①( k,b为常数)
②( p,q,b为常数，且)
③（p,q,k,b为常数，且）
④（即可裂项求和数列）；如果已知或可推知数列{}的前后两项与的商的关系式，同样可以依次写出前n项中所有相邻项的商的关系，、、┅、，将这个等式利用累乘法累乘即可整理出通项公式，如
①②③④（其中）。迭代法的解题思想从实用角度看，可以说是“随形就式”根据不同的条件结构灵活变换求解方法。
以上求数列通项公式的方法，究其本质是利用我们在学习特殊数列等差数列与等比数列的相关知识时，由于题设条件给出的形式或结构不同而产生的，求数列通项公式的通法体现的是转化与化归的数学思想方法，即将不熟悉形式的转化为熟悉的。所以解答有关求数列通项公式的问题时，应多角度观察，勤思考，才能获取解题思路，进而恰当地选择适合题目的通法。

展开更多......

收起↑