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求解空间角的通法
吉林省长春市 东北师范大学附属实验学校 李宇
立体几何是高考重点考察的部分，其中的线面关系知识经常以解答题的形式出现，具体有两类问题：一是关于线面的定性问题，如平行、异面、垂直等；二是关于线面的定量问题，如线线、线面、面面之间所成的角和距离问题。笔者以06年全国各地的高考试题为例，对求解空间角的通法进行阐述。
立体几何部分的空间角主要有异面直线所成的角、直线和平面所成的角及二面角这三种空间角。求解这三种空间角的总体思想是先把空间角转化为平面角，再通过解三角形达到求角的值。其一般步骤是：①找出或作出有关的平面角；②证明它符合定义；③化归到某一三角形中进行计算。在空间向量引入高中教材后，向量法也提供了解决问题的另一种途径。三种空间角的求解通法可归纳为如下五种方法：
定义法
根据相关角的定义，在已知图形中直接作出具体的平面角，作异面直线成角关键是在图形中找到一个特殊点，作平行线，平行线夹角即为所求；作线面成角的关键是作或证垂线，而后抓射影，如果图形特征观察不明显，就一定要牢记射影的定义；作二面角的平面角的关键是利用图形结构作出垂直于棱的垂线，进而得出其平面角。
例1、（06年福建卷18）四面体ABCD，O，E分别是
BD，BC的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝。
（I）求证：AO平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的大小。
解：（I）略；（II）取AC中点F，连结OE，OF，EF，由
E为BC中点知，EFAB，OECD
为异面直线AB与CD所成的角
在△OEF中，EF＝AB＝，OE＝CD＝1，OF为Rt△AOC斜边中线，有OF＝AC＝1
由余弦定理得
异面直线AB与CD所成角的大小为
例2、（06年北京卷17）在底面为平行四边形的四棱锥
P－ABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PA＝AB，
点E是PD的中点，求二面角E－AC－B的大小。
解：连结BD，交AC与O，取AD中点F，连结EF，
OE，OF，
平面ABCD，EFPA，OFAB，
EF平面ABCD，OFAC，OE在平面ABCD内的射影为OF
由三垂线定理得，OEAC，从而二面角E－AC－B的平面角为，
在Rt△OEF中，EF＝PA＝AB＝OF，， 二面角E－AC－B的平面角为。
评注：用定义法求解空间角是最基础、最常用的解法，理解定义是前提，观察图形特征找出题眼是关键，而后的正确解三角形是保证。以直线与平面成角为例，有些给出图形的线面角不容易从图中看出，通常是射影不易确定，这时，定义帮你解决，先确定斜线、斜足，找好垂线、垂足，那么连结垂足与斜足的直线即为射影，就算再难看的图形也能找出线面角。
平移法
选择适当的点，通过作平行线，构造出所要求的空间角。至于如何选点，要结合题设所给的条件具体分析，通常选用如中点、垂足、已知平行四边形端点等。
例3、（06年广东卷17）AF，DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8，BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OEAD。求直线BD与EF所成的角。
解：连结OD，由DEAF，DE＝OF，得四边形DEFO为平行四边形，
为直线BD与EF所成的角，在Rt△ABD和Rt△AOD中，
由勾股定理得BD＝10，OD＝，OB＝
在△OBD中由余弦定理得＝
直线BD与EF所成的角为
评注：求解异面直线所成的角，常利用特殊点将异面直线成角转化为共面相交的两直线夹角来完成。若图形中有已知平面的垂线，求线面角时也可用将所求直线平移的方法找角。
垂线法
当已知条件中出现一个平面的垂线（或虽未给出但可由已知能作或证出存在这样的垂线），可依据线面角定义找射影或由三垂线定理及逆定理作出所求角，然后再行求解。
例4、（06年浙江卷17）在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点. 求CD与平面ADMN所成的角。
解：取AD中点E，连结BE、NE，有BECD，设BC＝a
由BP⊥AN，BP⊥MN，得BP为平面ADMN的垂线，
为CD与平面ADMN所成的角在Rt△BEN中，BN＝，BE＝
，即CD与平面ADMN所成角为。
例5、（06年安徽卷19）P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。（Ⅱ）求面与面所成二面角的大小。
解：∵PO⊥平面ABF，∴平面PBF⊥平面ABC；∴A、O、D共线，且直线AD⊥BF，则AD⊥平面PBF；
又∵正六边形ABCDEF的边长为1，∴，，。
过O在平面POB内作OH⊥PB于H，连AH、DH，则OH⊥平面ADH，
∴为所求二面角平面角。
在中，OH=，=。
在中，；
∴ ∴即所成二面角为
评注：垂线法主要应用于线面角和二面角的求解中，找垂线或作垂线是一个必要过程，应该逐步养成这个习惯。之后是运用三垂线定理及其逆定理。
垂面法
若能在图形中找出或作出已知平面的垂面或二面角棱的垂面，对线面角而言，斜线与交线的夹角即为所求；对二面角而言，垂面与两半平面的交线所成的角即为二面角的平面角。
例6、（06年江苏卷19）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小
解：取BP的中点为Q，连结EQ、A1Q，由△EBP为等边三角形，有EQ⊥BP，
由A1E⊥平面EBP，有BP⊥平面A1EQ，所以A1E与平面A1BP所成角为
在Rt△A1EQ中，，直线A1E与平面A1BP所成角的大小为。
评注：无论是垂线法还是垂面法，都离不开线面垂直的位置关系，二者之间有着密不可分的联系。
向量法
向量法是利用直线的方向向量、平面的法向量、向量数量积及空间角的范围等知识求解空间角的一种方法。简述如下：
1、求解异面直线成角：设、分别是、两异面直线的方向向量，与所成角为，由，及，得，进而确定的值。
2、求解直线与平面成角：设斜线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，结合图形有，再根据确定的值。
3、求解二面角的平面角：I直接在两个半平面内找到与棱垂直的向量，运用向量的数量积求得平面角的余弦值；II如图，设、分别是平面和的法向量，二面角的平面角为，根据图形的几何位置关系，可确定、所成的角为的等角或补角，具体确定方法如下：①当、的方向同时指向二面角内部或外部时为补角；②当、的方向一个指向内部，另一个指向外部时为等角。而后运用数量积求余弦值求出。
例7、（06年上海卷19）在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60。
（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）
解：以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则D（-1,0,0）,P（0,0,1）,A（0,-1,0）,E（,0, ）
DE与PA成角为。
例8、（06年湖北卷18）在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。（Ⅰ）试确定，使直线与平面所成角的正切值为
解：建立如图所示的空间直角坐标系，点A（1，0，0），P（0，1，m）
设平面DBB1D1的法向量为，
直线与平面所成角为，
，即
例9、（06年重庆卷19）在四棱锥P－ABCD中，PA底面ABCD,DAB为直角，AB‖CD,AD=CD=2AB,E、F分别为PC、CD的中点. （2）设PA＝k·AB,且二面角E-BD-C的平面角大于,求k的取值范围.
解：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为：轴建立空间直角坐标系，设AB=a,则易知点A,B,C,D,F的坐标分别为A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),F(a,2a,0).
设二面角E-BD-C的平面角为，平面BCD的法向量＝＝，平面BDE的法向量为，
由PA＝k·AB得P(0,0,ka),E，，解得的一个坐标为
、的方向一个指向内部，另一个指向外部、所成的角即为
，由二面角E-BD-C的平面角大于
有，解得k的取值范围 {k| k＞}
评注：用向量法解空间角问题是空间向量在立体几何中的重要应用。此种方法能将空间角从纷繁复杂的线面关系中解放出来，避免了诸多线面关系的证明，只要依靠代数运算即可得到正确结果，充分体现了向量方法的优越性。
配套练习：
1、如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面．求二面角的大小。
2、
3、
4、
5、
6、
答案：1、；2、3、4、5、6、
A
B
C
D
E
F
O
P
H
图1
图2
Q
P
A
B
C
D
O
E
P

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