资源简介

谈谈平面图形的重心
天津市宝坻区第三中学 杨春来
内容摘要：找一般平面图形的重心困惑了很多教师和学生，找重心的问题就是找平衡点的问题．由平衡我们自然可以想到杠杆原理，想到阿基米德．本文通过基本图形（三角形和平行四边形等）的重心利用杠杆原理，找出了所有平面图形的重心；并应用《几何画板》软件验证了“过平面图形的重心的直线不一定都能把这个图形分成面积相等的两部分”和“n边形的重心与其各顶点的连线，不一定把这个n边形面积分为n等份”．解除了一些教师和学生对平面图形重心的误解．
关键词：平面图形 杠杆原理 重心 面积
在新人教版八年级数学“课题学习 重心”一节教学中，学生通过实验很容易得到：线段的重心是线段的中点；平行四边形的重心是它的对角线的交点．通过悬挂法也可以顺利地得到三角形的重心是它的三条中线的交点．而对于任意多边形的重心也可以用悬挂法得到．但用悬挂法无法找出画在书上或作业本上的平面图形的重心．怎么画出书和作业本上的平面图形的重心呢？
在教材——新人教版八年级数学下册“课题学习 重心” 一节，一开始就告诉我们：“在一块均匀的木板上，例如四边形木板，我们可以找到一点，如果用一个手指顶住这点，木板会保持平衡，这个平衡点就是这块木板的重心，也是这个四边形的重心．”其实找重心的问题就是找平衡点的问题．由平衡我们自然可以想到杠杆原理，想到阿基米德．阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中最早提出了杠杆原理．怎样使杠杆保持平衡？阻力×支点到阻力作用线的距离=动力×支点到动力作用线的距离 ,即 阻力×阻力臂=动力×动力臂 ,即F1×L1=F2×L2．通常情况下（杠杆不是弯曲的），动力作用点、阻力作用点和支点在同一直线上．
我们以四边形ABCD为例来研究如何找多边形的重心．重心就是平衡点，也就是杠杆原理中的支点．如果我们把四边形ABCD的木板任意分成两部分，把这两部分的重心分别作为动力作用点和阻力作用点，那么为了保持平衡，四边形ABCD的重心（即支点）一定在连接那两个作用点的线段上．像这样支点周围一定存在着很多对“动力作用点和阻力作用点”，并且这个支点一定在连接两个作用点的线段上．我们不妨先连接四边形的一条对角线AC，把四边形ABCD分成两个三角形△ABC和△ADC，分别作出它们的重心G1，G2，并把这两个重心连起来，得到线段G1G2；再连接四边形的另一条对角线BD，再把四边形ABCD分成两个三角形△ABD和△BCD，分别作出它们的重心G3，G4，再把这两个重心连起来，得到线段G3G4；线段G1G2与线段G3G4的交点G就是四边形ABCD的重心．
我们利用《几何画板》软件制作上述图形，并利用《几何画板》强大的计算功能得到下图中的数据：G1是△ABC的重心，G2是△ADC的重心，G3是△ABD的重心，G4是△BCD的重心，G为线段G1G2与线段G3G4的交点．
可见：GG1×△ABC的面积=GG2×△ACD的面积,
GG3×△ABD的面积=GG4×△BCD的面积．
木板的面积乘以木板厚度h乘以木板密度ρ等于木板的重量，由于木板质地相同即密度均为ρ，薄厚均匀即厚度均为h，因此上面的两个等式就可以转化为
GG1×△ABC木板的重量=GG2×△ACD木板的重量,
GG3×△ABD木板的重量=GG4×△BCD木板的重量．
所以我们用手指顶住G点，四边形ABCD木板就能平衡了．
我们改变一下四边形ABCD的形状，再看看这些数据变化情况：
类似的，我们可以把任何平面图形分成两部分，分别找出它们的重心，并把它们连起来；再把这个平面图形分成两部分，分别找出它们的重心，并把它们连起来．这两条连线的交点就是这个几何图形的重心．我们利用《几何画板》软件制出下图并计算出相关数据：G1是矩形ABCD的重心，G2为矩形BEFH的重心，G3为矩形AEID的重心，G4为矩形CIFH的重心，线段G1G2与线段G3G4的交点G就是此图形的重心．
在教学过程中，我们发现：因为过平行四边形重心的任意直线都能把这个平行四边形面积两等分；三角形的每条中线也都能把三角形面积两等分，所以一些同学就认为：过任何平面图形重心的任意直线都能把平面图形面积两等分．其实这是错误的．
请看：下图点G是三角形ABC的重心，过G点的直线EF把三角形ABC分成两部分△BEF和四边形AFEC，它们的面积不相等．
变动直线EF的位置，我们再看看△BEF和四边形AFEC的面积，
我们知道：过梯形中位线中点且与上下底相交的直线把梯形面积两等分．显然梯形的重心不是梯形中位线中点，而应该在它下方，在两底中点连线上．
在教学过程中，我们还发现：因为平行四边形各顶点与其重心的连线把平行四边形面积四等分；三角形各顶点与其重心的连线把三角形面积三等分．如下图实验：
所以一些学生就认为：任何多边形的各顶点与其重心的连线都能把这个多边形面积等分．其实这也是不正确的．请看下面的实验：
在教学中，我们应鼓励学生大胆的猜想，更应该鼓励他们去验证和证明自己的猜想．使学生逐步掌握探究问题的方法，养成观察-思考-猜想-实验-论证的习惯．不经过论证的猜想它只是个猜想而已，不能把它看成真命题．
作者简介：作者杨春来，从事中学数学教学22年，中学高级教师。
作者详细通讯地址：天津市宝坻区建设路46号宝坻三中
邮编：301800
QQ：272660270
E-mail ：yangchunl1965@

展开更多......

收起↑