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数理
剖 析 求 二 面 角
湘西自治州花垣县边城高级中学 黄市平
二面角是《立体几何》中的重要内容之一，也是每年高考的热点内容。随着教材的改革求二面角的方法进一步拓展，可以用传统的方法；也可以用向量法求解。本文从各个不同的角度入手，结合高考题形对求二面角的方法进行归纳如下：
先作后求
在传统的方法中作二面角的平面角是解决二面角问题的关键，也是难点，找到了二面角的平面角后，“空间”问题既可转化为“平面”问题，再利用解三角形的相关知识可求得二面角的大小，即作—证—求三步。在一般情况下涉及到的作法可归结为以下三种：
（一）定义法：利用二面角的平面角定义在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成角就是二面角的平面角。
（二）三垂线法：利用三垂线定理及其逆定理通过证明线线垂直，找到二面角的平面角，关键在于找面的垂线。
（三）垂面法：作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角的两个半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角。
例1、（2002年高考江苏）四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PB垂直于面ABCD，证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°。
分析：注意到题目中所给的二面角，面PAD与面PCD，其棱为PD，因而围绕PD而考虑问题的解决途径。
证法一：利用定义法。
过点A在PDA平面内作AE⊥PD于点E，连结CE。
∵底是正方形，故CD=DA，△CED≌△AED，
AE=EC，∠CED=∠AED=90°。则CE⊥PD，
故∠CEA是面PAD与面PCD所成二面角的平面角。
设AC与BD交于点O，连结EO，则EO⊥AC。
∵OA=×=a，AE＜AD=a，即AE＜OA
COS∠AEC==＜0，
∴面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°。
证法二：运用三垂线法。
∵PB⊥面ABCD，则PB⊥AD。又AD⊥AB
∴AD⊥面PAB，即面PAB⊥面PAD。
过点B作BE⊥PA，则BE⊥面PAD。
在面PBC内作PG∥BC且PG=BC，连结GD。
过点C作CF⊥面PAD于点F，那么连结EF，
则EF∥AD且EF=AD。
过点F作FH⊥PD于点H，连结CH，
则∠FHC就是所求二面角的平面角的补角。
∵CF⊥FH，故∠FHC是锐角，
∴面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°。
证法三：利用垂面法找平面角。
在证法一所给的图形中，连结AC、BD，
∵AC⊥BD，PB⊥面ABCD，
∴AC⊥PD。
过点A作AE⊥PD于点E，那么有PD⊥面AEC，连结CE，即PD⊥CE。
故PD与平面AEC垂直后，面AEC与面ADC及面ADP的交线EA、EC构成的∠CEA就是二面角的平面角。以下同证法一。
评述：证法一用的是定义法，平面角的一边是作出，而另一边是证得；证法二用的是三垂线法，关键在于找面PAD的垂线CF，并且证明过程渗透着用立体几何的割补法求解问题的思想；证法三是利用作垂直于棱的垂面找交线。
求而不作
用面积法求解二面角（面积射影）
在运用上述方法找二面角平面角时，不一定所有问题都能解决，这时就应想到转化思想，即不直接找或作二面角的平面角，而是把问题加以转化，下面介绍一种求二面角的方法，就是射影面积公式COS=，是二面角的大小，是一面积为S的平面图形在另一面内的射影面积。
例2、正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，求平面EB1C和平面ABCD所成二面角的大小。
解：△EB1C在底面ABCD内的射影三角形为Rt△ABC
∵E点的射影为点A，B1点的射影为点B。
设正方体的棱长为a则S△ABC=a2
又在△EB1C中，
B1E=a ，B1C=a ，EC=a
故COS∠B1EC==
∴sin∠B1EC=，==。
设面EB1C和面ABCD所成的二面角为，
则COS=== 。
那么所求二面角的大小为arccos 。
评述：此题属无棱二面角问题，图中没有二面角的棱，我们也可以找到棱去解决，但这里通过射影而直接求角更方便。， 。
利用向量法求解二面角
对二面角的求解要加以注意,除了传统的作出二面角的平面角外,还可以利用平面的法向量来求解,避免了做二面角平面角, 用空间向量来处理立体几何问题，即体现了数形结合，又降低了思维难度，使解题过程程序化，这也是空间向量方法的独到之处。而把向量合理地用坐标表示，更能让我们感觉到“如虎添翼”。空间角是立体几何考查的重点，用向量处理这类问题，思路简单，解法固定，操作简便，但又不失灵活性。
例3、（2007年高考四川）如图，是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所成的角为60°.
（Ⅰ）求证：平面⊥平面;
（Ⅱ）求二面角的大小;
（Ⅲ）求三棱锥的体积.
解：（Ⅰ）略
（Ⅱ）在平面内，过作，交AB于D
建立空间直角坐标系（如图）
由题意有，设，
则M（0，1，），=（- ，，0），
=（0，0，）
由直线与直线所成的角为60°，得
，即=，解得=1
∴=（0，1，1），=（，- ，0）
设平面的一个法向量为=（，
则 ，取，得
平面的法向量取为
设与所成的角为，则
显然，二面角的平面角为锐角，
故二面角的平面角大小为
（Ⅲ） 略。
例4、（2007年高考山东）如图，在直四棱柱中，已知，，．
（Ⅰ）设是的中点，求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
解: (I) 略。
(II) 以D为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系。
不妨设，则
设为平面的一个法向量，
由得，
取，则=（- 2，2，1）.
又=（0，2，2），=（1，1，0）
设为平面的一个法向量，
由得，
取,则.
由于该二面角为锐角，
所以所求的二面角的余弦值为
评述：利用向量法求二面角是教材改革的方向，引进空间向量后，淡化了三垂线定理的应用，求解中避免了复杂的作图和推理过程且程序化，使学生更易接受。
P
E
B A
O
C D
P
E
G
B H A
F
C D
D1 C1
A1 B1
E D C
A B
Z
P M
C B
Y
A D
X
Z
D1 C1
A1 B1
D C
A Y
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