资源简介 作业01 姓名：（1）求∫（sinx + cosx）2dx （2）求∫（3 – x2）2dx（3）求∫（1 – sin2x）1/2dx （4）求∫tan2xdx题01：（第22届预赛）如图所示，水平放置的金属细圆环半径为a，竖直放置的金属细圆柱（其半径比a小得多）的端面与金属圆环的上表面在同一平面内，圆柱的细轴通过圆环的中心O．一质量为m，电阻为R的均匀导体细棒被圆环和细圆柱端面支撑，棒的一端有一小孔套在细轴O上，另一端A可绕轴线沿圆环作圆周运动，棒与圆环的摩擦系数为 ．圆环处于磁感应强度大小为、方向竖直向上的恒定磁场中，式中K为大于零的常量，r为场点到轴线的距离．金属细圆柱与圆环用导线ed连接．不计棒与轴及与细圆柱端面的摩擦，也不计细圆柱、圆环及导线的电阻和感应电流产生的磁场．问沿垂直于棒的方向以多大的水平外力作用于棒的A端才能使棒以角速度 匀速转动．（答案：）题02：证明圆的面积公式S=πr2。题03：推导弹簧的弹性势能公式。题04：推导电容器所容纳电能的公式。题05：证明自感线圈的磁场能的公式LI2/2。题06：（1）证明点电荷Q电场的电势为kQ/r；（2）假如有一个半径为R实心金属球带电量Q，试推导并证明金属球电场空间中的电势，包括金属球内外。选择无穷远处电势为零。BAOaBed一、常数和基本初等函数的导数公式，，，，，，，，，，，，，，，。（2）函数的和、差、积、商的求导法则设，都可导，则，（是常数），，。微分运算法则及微分公式表由，很容易得到微分的运算法则及微分公式表（当都可导）：，，，。微分公式表：，，，，，，，，，，，，，，。积分公式(为常数)()函数与极限第1节 函数教学目的：理解函数的概念，掌握函数的各种性态，为研究微积分做好准备教学重点：函数的概念，函数的各种性态教学难点：反函数、复合函数、分段函数的理解教学内容：函数的定义：设和是两个变量，是一个给定的数集，如果对于给定的每个数，变量按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称是的函数，记作，数集叫做这个函数的定义域，叫做自变量，叫做因变量。的取值范围叫函数的值域。定义域的求法原则（1）分母不为零（2）（3）（4）（5）同时含有上述四项时，要求使各部分都成立的交集例1 求的定义域解：且且或定义域为分段函数用两个以上表达式表达的函数关系叫分段函数如称为分段点复合函数若，当的值域落在的定义域内时称是由中间变量u复合成的复合函数。例2 可复合成注意：就不能复合。例3 可以看作是复合成的复合函数。反函数设函数的定义域为，值域为。对于任意的，在上至少可以确定一个与对应，且满足。如果把看作自变量，看作因变量，就可以得到一个新的函数：。我们称这个新的函数为函数的反函数，而把函数称为直接函数。应当说明的是，虽然直接函数是单值函数，但是其反函数却不一定是单值的。例如，的定义域为，值域。任取非零的，则适合的的数值有两个：。所以，直接函数的反函数是多值函数：。如果把限制在区间上，则直接函数，的反函数是单值的。并称为直接函数，的反函数的一个单值分支。显然，反函数的另一个单值分支为。一个函数若有反函数，则有恒等式。相应地有。例如，直接函数的反函数为，并且有，。由于习惯上表示自变量，表示因变量，于是我们约定也是直接函数的反函数。反函数与，这两种形式都要用到．应当说明的是函数与它的反函数具有相同的图形。而直接函数与反函数的图形是关于直线对称的。函数的性质（1）有界性若有正数存在，使函数在区间上恒有，则称在区间上是有界函数；否则，在区间上是无界函数。如果存在常数（不一定局限于正数），使函数在区间上恒有f(x)M，则称在区间上有上界，并且任意一个的数都是在区间上的一个上界；如果存在常数，使在区间上恒有，则称在区间上有下界，并且任意一个的数都是在区间上的一个下界。显然，函数在区间上有界的充分必要条件是在区间上既有上界又有下界。（2）单调性设函数在区间上的任意两点，都有（或），则称在区间上为严格单调增加（或严格单调减少）的函数。如果函数在区间上的任意两点，都有（或），则称在区间上为广义单调增加（或广义单调减少）的函数。广义单调增加的函数，通常简称为单调增加的函数或非减函数；广义单调减少的函数则简称为单调减少的函数或非增函数。例如，函数在区间内是严格单调减少的；在区间内是严格单调增加的。而函数在区间内都是严格单调增加的。（3）奇偶性若函数在关于原点对称的区间上满足（或）则称为偶函数（或奇函数）。偶函数的图形是关于轴对称的；奇函数的图形是关于原点对称的。例如，在定义区间上都是偶函数。而、在定义区间上都是奇函数。（4）周期性对于函数，如果存在一个非零常数,对一切的均有，则称函数为周期函数。并把称为的周期。应当指出的是，通常讲的周期函数的周期是指最小的正周期。对三角函数而言，都是以为周期的周期函数，而、则是以为周期的周期函数。关于函数的性质，除了有界性与无界性之外，单调性、奇偶性、周期性都是函数的特殊性质，而不是每一个函数都一定具备的。初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数这6类函数叫做基本初等函数。这些函数在中学的数学课程里已经学过。（1）幂函数它的定义域和值域依的取值不同而不同，但是无论取何值，幂函数在内总有定义。当或时，定义域为。常见的幂函数的图形如图1-1所示。（2）指数函数它的定义域为，值域为。指数函数的图形如图1-2所示．（3）对数函数定义域为，值域为。对数函数是指数函数的反函数。其图形见图1-3。在工程中，常以无理数e＝2.718 281 828…作为指数函数和对数函数的底，并且记，而后者称为自然对数函数。（4）三角函数三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。其中正弦、余弦、正切和余切函数的图形见图1-4。（5）反三角函数反三角函数主要包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数和反余切函数等．它们的图形如图1-5所示。（6）常量函数为常数 （为常数）定义域为，函数的图形是一条水平的直线，如图1-6所示。通常把由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个解析式表达的函数，称为初等函数。例如，，…都是初等函数。初等函数虽然是常见的重要函数，但是在工程技术中，非初等函数也会经常遇到。例如符号函数，取整函数等分段函数就是非初等函数。在微积分运算中，常把一个初等函数分解为基本初等函数来研究，学会分析初等函数的结构是十分重要的。小结：本节复习了中学学过的各种函数，应该熟记六种基本初等函数的性态，为后继课的学习作好准备作业：作业卡 P1~P2第2节 极限教学目的：理解极限的概念，理解左右极限的概念，为研究微积分作好工具准备教学重点：各种趋势下的极限定义，左右极限存在与极限存在的关系教学难点：极限概念的理解教学内容：数列的极限极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为；再作内接正十二边形，其面积记为；再作内接正二十四边形，其面积记为；循此下去，每次边数加倍，一般地把内接正边形的面积记为。这样，就得到一系列内接正多边形的面积：它们构成一列有次序的数。当越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以作为圆面积的近似值也越精确。但是无论取得如何大，只要取定了，终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积。因此，设想无限增大（记为，读作趋于无穷大），即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积。这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列）当时的极限。在圆面积问题中我们看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积。在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种基本方法，因此有必要作进一步的阐明。先说明数列的概念。如果按照某一法则，有第一个数，第二个数，…这样依次序排列着，使得对应着任何一个正整数有一个确定的数，那么，这列有次序的数就叫做数列。数列中的每一个数叫做数列的项，第项叫做数列的一般项。例如：都是数列的例子，它们的一般项依次为。以后，数列也简记为数列。如果数列，当无限增大时，数列的取值能无限接近常数，我们就称是当时的极限，记作它的解析定义是：如果数列与常数有下列关系：对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得对于时的一切，不等式都成立，则称常数是数列的极限，或者称数列收敛于，记为或 。如果数列没有极限，就说数列是发散的。显然收敛数列有下述3个性质性质1（极限的唯一性） 数列不能收敛于两个不同的极限。性质2（收敛数列的有界性） 如果数列收敛，那么数列一定有界。性质3（收敛数列与其子数列间的关系） 如果数列收敛于，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是。函数当时的极限我们知道，当时越来越接近零。如果函数当无限增大时，取值和常数要多接近就有多接近，此时称是当时的极限，记作。它的解析定义是：设函数当大于某一正数时有定义。如果对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在着正数，使得对于适合不等式的一切，对应的函数值都满足不等式，那么常数就叫做函数当时的极限，记作或（当）。注：若（1）是唯一的确定的常数；（2）既表示趋于，也表示趋于。如果时，取值和常数要多接近就有多接近，我们称是当时的极限，记作。如果时，取值和常数要多接近就有多接近，我们称是当时的极限，记作。显然，存在的充分必要条件是函数当时的极限满足的的范围称作以为中心的邻域，满足的范围称作以为中心，以为半径的去心邻域，记作。现在考虑自变量的变化过程为。如果在的过程中，对应的函数值无限接近于确定的数值，那么就说是函数当时的极限。当然，这里我们首先假定函数在点的某个去心邻域内是有定义的。它的解析定义是：设函数在点的某一去心邻域内有定义。如果对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数，使得对于适合不等式的一切，对应的函数值都满足不等式，那么常数就叫做函数当时的极限，记作或（当）。注：若极限存在时（1）是唯一的确定的常数；（2）表示从的左右两侧同时趋于；（3）极限的存在与在有无定义或定义的值无关。显然，关于函数的极限有如下定理：定理1（极限的局部保号性） 如果，而且（或），那么就存在着点的某一去心邻域，当在该邻域内时，就有（或）。定理1’ 如果（），那么就存在着的某一去心邻域，当时，就有。定理2 如果在的某一去心邻域内（或），而且，那么（或）。上述时函数的极限概念中，是既从的左侧也从的右侧趋于的。但有时只能或只需考虑仅从的左侧趋于（记作）的情形，或仅从的右侧趋于（记作）的情形。在的情形，在的左侧，。在的定义中，把改为，那么就叫做函数当时的左极限，记作或。类似地，在的定义中，把改为，那么就叫做函数当时的右极限，记作或。根据时函数的极限的定义，以及左极限和右极限的定义，容易证明：函数当时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且相等，即。因此，即使和都存在，但若不相等，则不存在。函数当时的极限不存在。证 当时的左极限，而右极限，因为左极限和右极限存在但不相等，所以不存在（图1-7）小结：本节讲述了各种趋势下的极限的定义作业：作业卡P3第三节 无穷大与无穷小教学目的：理解无穷小量和无穷大量的概念，掌握无穷小量、无穷大量以及有量之间的关系，掌握它们的性质教学重点：无穷小量和无穷大量的概念教学难点：无穷小量和无穷大量有关性质教学内容：前面我们研究了 数列的极限、函数的极限、函数的极限、函数的极限、函数的极限、函数的极限、函数的极限，这七种趋近方式。下面我们用＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊定义1 当在给定的＊下，以零为极限，则称是＊下的无穷小量，即。定义2 当在给定的＊下，无限增大，则称是＊下的无穷大量，记作。显然，时，都是无穷大量，时，都是无穷小量。注：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。关于无穷大、无穷小有如下一些结论：定理1 在自变量的同一变化过程（或）中，具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是这函数的极限。定理2 在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小；反之，如果为无穷小，且，则为无穷大。定理3 有限个无穷小的和也是无穷小。定理4 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小。推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小。定理5 如果，则存在，且。在这里应该注意：（1）无穷多个无穷小量之和不一定是无穷小量。（2）无穷多个无穷小量之积也不一定是无穷小量。例如，当时，是无穷小，个这种无穷小之和的极限显然为2。（3）无穷大量乘以有界量不一定是无穷大量。例如，当时，是无穷大量，是有界量，显然。（4）＊下，，其极限未必大于0。例如，显然，但。（5）无穷多个无穷小量之积也未必是无穷小量。小结：本节给出了无穷小量和无穷大量的概念和它们的相关性质，注意不要错误的利用这些性质作业：作业卡P3第四节 极限的简单计算教学目的：掌握极限的性质及运算法则教学重点：掌握不同类型的未定式的不同解法教学难点：计算教学内容：在给定的趋势＊下，和都存在的情况下，有如下运算法则成立（1）（2）（3）（4）这些极限的运算法则在实际运算中未必逐一使用，例如是一目了然的，下面就将几种常用的方法总结一下。代入法：直接将的代入所求极限的函数中去，若存在，即为其极限，若不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。例如，就代不进去了，但我们看出了这是一个型未定式，我们可以用以下的方法来求解。分解因式，消去零因子法例如，。分子（分母）有理化法例如，又如，化无穷大为无穷小法例如，，实际上就是分子分母同时除以这个无穷大量。由此不难得出又如，，（分子分母同除）。再如，，（分子分母同除）。利用定理求极限例如，，（无穷小量乘以有界量）。复合函数的极限运算设函数当时的极限存在且等于，即，但在点的某去心邻域内，又，则复合函数当时的极限也存在，且小结：本节介绍了不同类型的未定式的不同解法，要熟练掌握这些方法作业：作业卡P3~P5第 5 节 两个重要极限、无穷小的比较教学目的：掌握两个极限的存在准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法教学重点：利用两个重要极限求极限教学难点：利用第二重要极限求极限的方法教学内容：下面我们来介绍极限存在的两个准则：准则1 如果数列及满足下列条件：（1），（2）那么数列的极限存在，且。准则2 单调有界数列必有极限如果数列满足条件，就称数列是单调增加的；如果数列满足条件，就称数列是单调减少的。单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。例 求解：而所以原式极限为1。第一个重要极限：利用收敛准则1，我们容易证得第一个重要极限（详见教材）注1 为了更好利用第一个重要极限求极限，应掌握好如下模型：成立的条件是在给定的趋势下，两个应该是一模一样的无穷小量。例如，。注2 第一个重要极限可以解决型，含三角函数的未定式。自我练习：（1）（2）（3）（4）2．第二个重要极限：注1 上述三种形式也可统一为模型成立的条件是在给定趋势下，两个是一模一样的无穷小量。注2 第二个重要极限解决的对象是型未定式。例如，自我练习：（1）（2）（3）（4）（5）无穷小的比较当在给定的趋势下，变量、都是无穷小量，那么，它们谁趋近于零的速度更快呢，我们给出如下定义：如果，就说是比高阶的无穷小，记作；如果，就说是比低阶的无穷小。如果，就说是和同阶无穷小；如果，就说是关于的阶无穷小。如果，就说与是等价无穷小，记作。注：求极限过程中，一个无穷小量可以用与其等价的无穷小量代替，但只能在因式情况下使用，和、差情况不能用。小结：本节讲述了两个极限的收敛准则，两个重要极限及利用两个重要极限求限的方法，对无穷小量进行了分类作业：作业卡P5~P7第六节 函数的连续与间断教学目的：理解函数连续的概念，会判断函数间断点的类型，了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质教学重点：连续的定义，间断点的分类教学难点：连续的定义，间断点的分类教学内容：数的连续性对，当自变量从变到，称叫自变量的增量，而叫函数的增量。定义 设函数在点的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量趋于零时，对应的函数的增量也趋于零，那么就称函数在点连续。它的另一等价定义是：设函数在点的某一邻域内有定义，如果函数当时的极限存在，且等于它在点处的函数值，即，那么就称函数在点连续。下面给出左连续及右连续的概念。如果存在且等于，即，就说函数在点左连续。如果存在且等于，即，就说函数在点右连续。在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续。如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续。连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。数的间断点设函数在点的某去心邻域内有定义。在此前提下，如果函数有下列三种情形之一：（1）在没有定义；（2）虽在有定义，但不存在；（3）虽在有定义，且存在，但；则函数在点为不连续，而点称为函数的不连续点或间断点。下面我们来观察下述几个函数的曲线在点的情况，给出间断点的分类：在连续。 在间断，极限为2。在间断，极限为2。 在间断，左极限为2，右极限为1。在间断，极限不存在。像②③④这样在点左右极限都存在的间断，称为第一类间断，其中极限存在的②③称作第一类间断的可补间断，此时只要令，则在函数就变成连续的了；④被称作第一类间断中的跳跃间断。⑤⑥被称作第二类间断，其中⑤也称作无穷间断，而⑥称作震荡间断。就一般情况而言，通常把间断点分成两类：如果是函数的间断点，但左极限及右极限都存在，那么称为函数的第一类间断点。不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点。在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点。无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点。连续函数运算由函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则，立即可得出下列定理。定理1 有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数。定理2 有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数。定理3 两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数，只要分母在该点不为零。定理4 如果函数在区间单调增加（或单调减少）且连续那末它的反函数x=(y)也在对应区间上单调增加（或单调减少）且连续。定理5 设函数当时的极限存在且等于，即，而函数在点连续，那么复合函数当时的极限也存在且等于，即。定理6 设函数在点连续，且，而函数在点连续，那么复合函数在点也是连续的。总之，一切初等函数在其定义域内都是连续的。闭区间连续函数性质在闭区间上的连续函数具有下述良好性质定理1（最大值和最小值定理） 在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。定理2（有界性定理） 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界。定理3（零点定理） 设函数在闭区间上连续，且与异号（即）,那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点使。定理4（介值定理） 设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同的函数值及，那么，对于与之间的任意一个数，在开区间内至少有一点，使得。推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值。小结：本节介绍了函数的连续性，间断点的分类及闭区间上连续函数的性质图1-1图1-3图1-2图1-4图1-5图1-6图1-7②①③④⑥在 间断⑤第四章 不定积分第一节 不定积分的概念与性质教学目的：使学生了解原函数与不定积分的概念，了解不定积分的性质。教学重点：原函数与不定积分的概念。教学难点：原函数的求法。教学内容：原函数与不定积分定义1 如果对任一，都有或则称为在区间I 上的原函数。例如：，即是的原函数。，即是的原函数。原函数存在定理：如果函数在区间I 上连续，则在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数，使得对任一，有。注1：如果有一个原函数，则就有无穷多个原函数。设是的原函数，则，即也为的原函数，其中为任意常数。注2：如果与都为在区间I 上的原函数，则与之差为常数，即（C为常数）注3：如果为在区间I 上的一个原函数，则（为任意常数）可表达的任意一个原函数。定义2 在区间I上，的带有任意常数项的原函数，成为在区间I上的不定积分，记为。如果为的一个原函数，则，（为任意常数）因为 ， 得因为，时，；时，，得，因此有设曲线过点，且其上任一点的斜率为该点横坐标的两倍，求曲线的方程。解：设曲线方程为，其上任一点处切线的斜率为从而由，得，因此所求曲线方程为由原函数与不定积分的概念可得：积分公式1) (为常数)2) ()3)4)5)例4．不定积分的性质性质1．性质2．， （为常数，）求 解： 求 解： 求 解： 例8．求 解： 求 解： 求 解： 小结：本节学习了原函数的概念，不定积分的概念，不定积分的性质，学习了几个简单的积分公式，并通过几个例子熟悉积分公式的使用作业：作业卡：P44第二节 换元积分法教学目的：使学生掌握不定积分的第一类换元法和第二类换元法。教学重点：不定积分的第一类换元法。教学难点：不定积分的第二类换元法。教学内容：第一类换元积分法设为的原函数，即 或如果 ，且可微，则即为的原函数，或因此有定理1 设为的原函数，可微，则(2-1)公式(2-1)称为第一类换元积分公式。求解：求解：求解：原式=求 ，解：求解：求解：求解：求解：第二类换元积分法定理2 设是单调的可导函数，且，又设 具有原函数，则(2-2)其中为的反函数。公式(2-2)称为第二类换元积分公式。求 ，解：令 ，，则，，因此有求 ，解：令 ，，则，，因此有其中。用类似方法可得求解：小结：本节主要学习了不定积分的第一类换元积分法和第二类换元积分法。第一类换元法也称为“凑微分”的方法。第二类换元法主要介绍了三种三角代换，即或，与，分别适用于三类函数，与。“倒代换”也属于第二类换元法。作业：作业卡：P45~P48第三节 分部积分法教学目的：使学生掌握不定积分的分部积分法。教学重点：不定积分的分部积分法。教学难点：分部积分法中与的选取。教学内容：设 ，，则有或两端求不定积分，得或即(3-1)或(3-2)公式 (3-1) 或 (3-2) 称为不定积分的分部积分公式。求解：求解：注1：由例1和例2可以看出，当被积函数是幂函数与正弦（余弦）乘积或是幂函数与指数函数乘积，做分部积分时，取幂函数为，其余部分取为。求解：求解：注2：由例3和例4可以看出，当被积函数是幂函数与对数函数乘积或是幂函数与反三角函数函数乘积，做分部积分时，取对数函数或反三角函数为，其余部分取为。例5． 求解：因此得即例6． 求解： 令 ，则 ，，因此小结：本节学习了不定积分的分部积分法。对两类不同形式的被积函数给出了分部积分的参考原则，也讨论了分部方法与换元方法结合使用的例题。作业：作业卡：P49~P52第四节 几种特殊类型函数的积分教学目的：使学生基本掌握有理函数、三角函数有理式、简单无理式的积分方法。教学重点：有理函数的积分。教学难点：三角函数有理式、简单无理式的积分。教学内容：有理函数的积分形如(4-1)称为有理函数。其中及为常数，且，。如果分子多项式的次数小于分母多项式的次数，称分式为真分式；如果分子多项式的次数大于分母多项式的次数，称分式为假分式。利用多项式除法可得，任一假分式可转化为多项式与真分式之和。例如：因此，我们仅讨论真分式的积分。根据多项式理论，任一多项式在实数范围内能分解为一次因式和二次质因式的乘积，即(4-2)其中。如果(4-1)的分母多项式分解为(4-2)式，则(4-1)式可分解为(4-3)求解：因为得求解：由于分母已为二次质因式，分子可写为得求解：根据分解式(4-3)，计算得因此得三角函数有理式的积分如果为关于的有理式，则称为三角函数有理式。我们不深入讨论，仅举几个例子说明这类函数的积分方法。求解：如果作变量代换 ，可得，，因此得简单无理式的积分求解：令 ，得 ，，代入得求解： 令 ，得 ，代入得小结：本节学习了有理函数的积分，并通过例题了解了三角函数有理式和简单无理式的积分。同学们可以通过多做一些练习题来熟悉本节介绍的几种积分方法。第二章 导数与微分第一节 导数的概念教学目的：理解导数的概念及几何意义会求平面曲线的切线和法线,了解导数的物理意义,理解函数连续性与可导性之间的关系教学重点：导数的概念,导数的几何意义教学难点：导数定义的理解,不同形式的掌握教学内容：函数在一点的导数为了给出导数的概念，我们先看下面两个问题。（1）直线运动的速度设某点沿直线运动。在直线上引入原点和单位点（即表示实数1的点），使直线成为数轴。此外，再取定一个时刻作为测量时间的零点。设动点于时刻在直线上的位置的坐标为（简称位置）。这样，运动完全由某个函数所确定。这函数对运动过程中所出现的值有定义，称为位置函数。在最简单的情形，该动点所经过的路程与所花的时间成正比。就是说，无论取哪一段时间间隔，比值经过的路程所花的时间总是相同的。这个比值就称为该动点的速度，并说该点作匀速运动。如果运动不是匀速的，那么在运动的不同时间间隔内，比值①会有不同的值。这样，把比值①笼统地称为该动点的速度就不合适了，而需要按不同时刻来考虑。那么，这种非匀速运动的动点在某一时刻（设为）的速度应如何理解而又如何求得呢？首先取从时刻到这样一个时间间隔，在这段时间内，动点从位置移动到。这时由①式算得的比值可认为是动点在上述时间间隔内的平均速度。如果时间间隔选得较短，这个比值②在实践中也可用来说明动点在时刻的速度。但对于动点在时刻的速度的精确概念来说，这样做是不够的，而更确切地应当这样：令,取②式的极限，如果这个极限存在，设为，即，这时就把这个极限值称为动点在时刻的（瞬时）速度。（2）切线问题圆的切线可定义为“与曲线只有一个交点的直线”。但是对于其它曲线，用“与曲线只有一个交点的直线”作为切线的定义就不一定合适。例如，对于抛物线，在原点处两个坐标轴都符合上述定义，但实际上只有轴是该抛物线在点处的切线。下面给出切线的定义。设有曲线及上的一点（图2-1），在点外另取上一点，作割线。当点沿曲线趋于点时，如果割线绕点旋转而趋于极限位置,直线就称为曲线在点处的切线。这里极限位置的含义是：只要弦长趋于零，也趋于零。现在就曲线为函数的图形的情形来讨论切线问题。设是曲线上的一个点（图2-2），则。根据上述定义要定出曲线在点处的切线，只要定出切线的斜率就行了。为此，在点外另取上的一点，于是割线的斜率为，其中为割线的倾角。当点沿曲线趋于点时，。如果当时，上式的极限存在，设为,即存在，则此极限是割线斜率的极限，也就是切线的斜率。这里，其中是切线的倾角。于是，通过点且以为斜率的直线便是曲线在点处的切线。事实上，由以及时，可见时（这时），。因此直线确为曲线在点处的切线。我们撇开这些量的具体意义，抓住它们在数量关系上的共性给出导数的概念。定义 设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量（点仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量；如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即，也可记作，或。函数在点处可导有时也说成在点具有导数或导数存在。导数的定义式③也可取不同的形式，常见的有和注：函数在一点的导数的几何定义：是曲线在点的切线斜率；路程对时间的导数是时刻的速度；在抽象情况下，表示在点变化的快慢。可导与连续的关系设函数在点处可导，即存在。由具有极限的函数与无穷小的关系知道，，其中当时为无穷小。上式两边同乘以，得。由此可见，当时，。这就是说，函数在点处是连续的。所以，如果函数在点处可导，则函数在该点必连续。另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点处可导。左导数与右导数根据函数在点处的导数的定义，是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等，因此存在即在点处可导的充分必要条件是左、右极限及都存在且相等。这两个极限分别称为函数在点处的左导数和右导数，记作及，即，。现在可以说，函数在点处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在且相等。如果函数在开区间内可导，且及都存在，就说在闭区间上可导。求导练习下面根据导数定义求一些简单函数的导数。例1 求函数（为常数）的导数。解：，即。这就是说，常数的导数等于零。例2 求函数（为正整数）在处的导数。解：。把以上结果中的换成得，即。更一般地，对于幂函数（为常数），有。这就是幂函数的导数公式。利用这公式，可以很方便地求出幂函数的导数，例如：当时，（）的导数为，即；当时，（）的导数为，即。例3 求函数的导数解：，即 。这就是说，正弦函数的导数是余弦函数。用类似的方法，可求得，这就是说，余弦函数的导数是负的正弦函数。例4 求函数（）的导数。解：即 。这就是指数函数的导数公式。特殊地，当时，因，故有。上式表明，以为底的指数函数的导数就是它自己，这是以为底的指数函数的一个重要特性。例5 讨论在点连续性与可导性解：在不连续，即在不可导。例6 讨论在点连续性与可导性解：在可导，当然在点连续。例7 讨论解：在连续在不可导。例8 已知，求解：例9 已知，，求解：小结：本节讲述了导数的定义,导数的几何意义,可导与连续之间的关系,作业：作业卡P10~P12第二节 函数和差积商的求导法则，反函数的导数教学目的：掌握导数的四则运算法则，掌握基本初等函数的求导公式，会求反函数的导数教学重点：导数的四则运算法则，反函数求导方法教学难点：反函数求导教学内容：函数和、差、积、商的求导法则根据导数定义，很容易得到和、差、积、商的求导法则（假定下面出现的函数都是可导的）。（1）（2）（3）这里仅证（2）例1 ，求。解：，即 。这就是正切函数的导数公式。例2 ，求。解：，即 。这就是正割函数的导数公式。用类似方法，还可求得余切函数及余割函数的导数公式：，。反函数的导数若存在且不为零，则。由该公式我们可以由直接函数的导数，求出其反函数的导数。例3 设为直接函数，则是它的反函数。函数在开区间内单调、可导，且。因此，由公式，在对应区间内有。但（因为当时，，所以根号前只取正号），从而得反正弦函数的导数公式：用类似的方法可得反余弦函数的导数公式：同样我们可得到导数的基本训练（1）（2）（3）（4）（5）（6）小结：本节讲述了导数的四则运算法则，求反函数的导数的方法作业：作业卡P13~P14第三节 复合函数的求导法则教学目的：掌握复合函数的求导法则，熟练复合函数的求导方法教学重点：复合函数的求导法则教学难点：理解复合函数的求导方法教学内容：复合函数求导复合函数求导法则 如果在点可导，而在点可导，则复合函数在点可导，且其导数为。证： 由于在点可导，因此存在，于是根据极限与无穷小的关系有，其中是时的无穷小。上式中，用乘上式两边，得。当时，规定，这时因，而右端亦为零，故对也成立。用除两边，得，于是 。根据函数在某点可导必在该点连续的性质知道，当时，，从而可以推知。又因在点可导，有，故 ，即 。证毕。复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形。我们以两个中间变量为例，设，，，则，而，故复合函数的导数为。当然，这里假定上式右端所出现的导数在相应处都存在。例1 ，求。解：。例2 ，求。解：。例3 ，求。解：所给函数可分解为，，。因，，，故。不写出中间变量，此例可这样写：。自我训练题：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）2．抽象的复合函数求导练习（所出现的抽象函数均可导）。（1）（2）（3）（4）小结：本节讲述了复合函数的求导法则，训练了复合函数的求导方法及抽象的复合函数的求导方法作业：作业卡P15~P18第三节 初等函数求导问题、高阶导数教学目的：熟练初等函数的求导方法，了解高阶导数的概念，会求简单的n阶导数教学重点：高阶导数的求法教学难点：高阶导数的归纳方法教学内容：等函数求导小结初等函数是由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数。为了解决初等函数的求导问题，前面已经求出了常数和全部基本初等函数的导数，还推出了函数的和、差、积、商的求导法则以及复合函数的求导法则。利用这些导数公式以及求导法则，可以比较方便地求初等函数的导数。由前面所列举的大量例子可见，基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的求导运算中起着重要的作用，我们必须熟练地掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下：（1）常数和基本初等函数的导数公式，，，，，，，，，，，，，，，。（2）函数的和、差、积、商的求导法则设，都可导，则，（是常数），，。（3）复合函数的求导法则设，而且及都可导，则复合函数的导数为或。高阶导数函数的导数仍然是的函数。我们把的导数叫做函数的二阶导数，记作或，即或。相应地，把的导数叫做函数的一阶导数。类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，…，一般地，阶导数的导数叫做阶导数，分别记作或 。函数具有阶导数，也常说成函数为阶可导。如果函数在点处具有阶导数，那么在点的某一邻域内必定具有一切低于阶的导数。二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。由此可见，求高阶导数就是多次接连地求导数。所以，仍可应用前面学过的求导方法来计算高阶导数。例1 求指数函数的n阶导数。解：，，，。一般地，可得，即 。例2 求正弦与余弦函数的阶导数。解：，，，，，一般地，可得 ，即 。用类似方法，可得 。例3 求对数函数的阶导数。解：，，，，，一般地，可得 ，即 。通常规定，所以这个公式当时也成立。例4 求幂函数的阶导数公式。解：设（是任意常数），那么，，，，一般地，可得 ，即 。当时，得到，，而 。如果函数及都在点处具有阶导数，那么显然及也在点处具有阶导数，且。但乘积的阶导数并不如此简单。由首先得出，。用数学归纳法可以证明上式为莱布尼茨（Leibniz）公式。这公式可以这样记忆：把按二项式定理展开写成，即 ，然后把次幂换成阶导数（零阶导数理解为函数本身），再把左端的换成，这样就得到莱布尼茨公式。例5 ，求。解：设，，则，，，，代入莱布尼茨公式，得。自我训练：（1）设 （正整数），求、、、。（2）求。小结：本节训练了初等函数的求导方法，讲述了高阶导数的概念及求高阶导数的归纳方法作业：作业卡P19~P20第五节 隐函数的导数，参数方程的求导方法教学目的：掌握隐函数和参数方程确定的函数的求导方法，会求其一二阶导数教学重点：隐函数求导教学难点：隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求法，幂指函数的求导法教学内容：函数求导、参数方程求导函数表示两个变量与之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同方式表达。前面我们遇到的函数，例如，等，这种函数表达方式的特点是：等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值。用这种方式表达的函数叫做显函数。有些函数的表达方式却不是这样，例如，方程表示一个函数，因为当变量在内取值时，变量有确定的值与之对应。例如，当时，；当时，，等等。这样的函数称为隐函数。一般地，如果在方程中，当取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的值存在，那么就说方程在该区间内确定了一个隐函数。把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。例如从方程解出，就把隐函数化成了显函数。隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的。但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来。下面通过具体例子来说明这种方法。例1 求由方程所确定的隐函数的导数。解：我们把方程两边分别对求导数，注意是的函数。方程左边对求导得，方程右边对求导得 。由于等式两边对x的导数相等，所以，从而 。在这个结果中，分式中的是由方程所确定的隐函数。隐函数求导方法小结：（1）方程两端同时对求导数，注意把当作复合函数求导的中间变量来看待，例如。（2）从求导后的方程中解出来。（3）隐函数求导允许其结果中含有。但求一点的导数时不但要把值代进去，还要把对应的值代进去。例2 ，确定了是的函数，求。解：，，时，。自我训练：（1），求。（2），求。（3），求。（4），求。取对数求导法对于幂指函数是没有求导公式的，我们可以通过方程两端取对数化幂指函数为隐函数，从而求出导数。例3 求的导数。解：这函数既不是幂函数也不是指数函数，通常称为幂指函数。为了求这函数的导数，可以先在两边取对数，得；上式两边对求导，注意到是的函数，得，于是 。由于对数具有化积商为和差的性质，因此我们可以把多因子乘积开方的求导运算，通过取对数得到化简。例4 求的导数。解：先在两边取对数（假定），得，上式两边对求导，注意到是的函数，得，于是 。当时，；当时，；用同样方法可得与上面相同的结果。注：关于幂指函数求导，除了取对数的方法也可以采取化指数的办法。例如，这样就可把幂指函数求导转化为复合函数求导；例如求的导数时，化指数方法比取对数方法来得简单，且不容易出错。由参数方程确定的函数的求导若由参数方程确定了是的函数，如果函数具有单调连续反函数，且此反函数能与函数复合成复合函数，那么由参数方程所确定的函数可以看成是由函数、复合而成的函数。现在，要计算这个复合函数的导数。为此，再假定函数、都可导，而且。于是根据复合函数的求导法则与反函数的导数公式，就有，即 。上式也可写成 。如果、还是二阶可导的，由还可导出对的二阶导数公式：，即自我训练：（1）求在处切线方程。（2），求。小结：本节讲述了隐函数和参数方程确定的函数的求导方法，利用取对数的方法解决了幂指函数的求导问题作业：作业卡P21~P22第六节 函数的微分教学目的：掌握微分的定义，了解微分的运算法则，会计算函数的微分，会利用微分作近似计算教学重点：微分的计算教学难点：微分的定义，利用微分作近似计算教学内容：微分的定义计算函数增量是我们非常关心的。一般说来函数的增量的计算是比较复杂的，我们希望寻求计算函数增量的近似计算方法。先分析一个具体问题，一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由变到（图2-1），问此薄片的面积改变了多少？设此薄片的边长为，面积为，则是的函数：。薄片受温度变化的影响时面积的改变量，可以看成是当自变量自取得增量时，函数相应的增量，即。从上式可以看出，分成两部分，第一部分是的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，而第二部分在图中是带有交叉斜线的小正方形的面积，当时，第二部分是比高阶的无穷小，即。由此可见，如果边长改变很微小，即很小时，面积的改变量可近似地用第一部分来代替。一般地，如果函数满足一定条件，则函数的增量可表示为，其中是不依赖于的常数，因此是的线性函数，且它与之差，是比高阶的无穷小。所以，当，且很小时，我们就可近似地用来代替。定义 设函数在某区间内有定义，及x在这区间内，如果函数的增量可表示为 ， ①其中是不依赖于的常数，而是比高阶的无穷小，那么称函数在点是可微的，而叫做函数在点相应于自变量增量的微分，记作，即 。下面讨论函数可微的条件。设函数在点可微，则按定义有①式成立。①式两边除以，得 。于是，当时，由上式就得到。因此，如果函数在点可微，则在点也一定可导（即存在），且。反之，如果在点可导，即存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成，其中（当）。由此又有。因，且不依赖于，故上式相当于①式，所以在点也是可微的。由此可见，函数在点可微的充分必要条件是函数在点可导，且当在点可微时，其微分一定是。 ②当时，有。从而，当时，与是等价无穷小，这时有， ③即是的主部。又由于是的线性函数，所以在的条件下，我们说是的线性主部（当）。这是由③式有，从而也有。式子表示以近似代替时的相对误差，于是我们得到结论：在的条件下，以微分近似代替增量时，相对误差当时趋于零。因此，在很小时，有精确度较好的近似等式。函数在任意点的微分，称为函数的微分，记作或，即。注1：由微分的定义，我们可以把导数看成微分的商。例如求对的导数时就可以看成微分与微分的商，即。注2：函数在一点处的微分是函数增量的近似值，它与函数增量仅相差的高阶无穷小。因此要会应用下面两个公式：，。作近似计算。微分的几何意义为了对微分有比较直观的了解，我们来说明微分的几何意义。在直角坐标系中，函数的图形是一条曲线。对于某一固定的值，曲线上有一个确定点当自变量有微小增量时，就得到曲线上另一点.从图2-2可知：，。过M点作曲线的切线,它的倾角为，则，即 。由此可见，当是曲线上的M点的纵坐标的增量时，就是曲线的切线上M点的纵坐标的相应增量。当很小时，比小得多。因此在点的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。微分运算法则及微分公式表由，很容易得到微分的运算法则及微分公式表（当都可导）：，，，。微分公式表：，，，，，，，，，，，，，，。注：上述公式必须记牢，对以后学习积分学很有好处，而且上述公式要从右向左背。例如：，，，。复合函数微分法则与复合函数的 求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下：设及都可导，则复合函数的微分为。由于，所以，复合函数的微分公式也可以写成或。由此可见，无论是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式保持不变。这一性质称为微分形式不变性。这性质表示，当变换自变量时（即设为另一变量的任一可微函数时），微分形式并不改变。自我训练：（1），求。（2），求。（3）可导，，求。（4），求。（5）有一半径为的铁球，镀上0.01cm厚的银，问大约用多少体积的银。小结：本节讲述了微分的定义，练习了微分的运算和利用微分作近似计算希望大家熟记微分公式，为以后学习积分大好基础①②图2-2图2-1③④⑤图2-1图2-2第六章 定积分的应用第一节 定积分的元素法教学目的：理解和掌握用定积分去解决实际问题的思想方法即定积分的元素法教学重点：元素法的思想教学难点：元素法的正确运用教学内容：一、 再论曲边梯形面积计算设在区间上连续，且，求以曲线为曲边，底为的曲边梯形的面积。1．化整为零用任意一组分点将区间分成 个小区间，其长度为并记相应地，曲边梯形被划分成个窄曲边梯形，第个窄曲边梯形的面积记为。于是2．以不变高代替变高，以矩形代替曲边梯形，给出“零”的近似值3．积零为整，给出“整”的近似值4．取极限，使近似值向精确值转化上述做法蕴含有如下两个实质性的问题：（1）若将分成部分区间，则相应地分成部分量，而这表明：所求量对于区间具有可加性。(2)用近似，误差应是的高阶无穷小。只有这样，和式的极限方才是精确值。故关键是确定通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼， 我们可以给出用定积分计算某个量的条件与步骤。二、元素法1．能用定积分计算的量，应满足下列三个条件(1) 与变量的变化区间有关；(2) 对于区间具有可加性；(3) 部分量可近似地表示成。2．写出计算的定积分表达式步骤(1) 根据问题，选取一个变量为积分变量，并确定它的变化区间；(2) 设想将区间分成若干小区间，取其中的任一小区间，求出它所对应的部分量的近似值( 为上一连续函数)则称为量的元素，且记作。(3) 以的元素作被积表达式，以为积分区间，得这个方法叫做元素法，其实质是找出的元素的微分表达式因此，也称此法为微元法。小结：元素法的提出、思想、步骤（注意微元法的本质）作业：作业卡第二节 平面图形的面积教学目的：学会用元素法计算平面图形的面积教学重点：直角坐标系下平面图形的面积计算教学难点：面积元素的选取教学内容：一、直角坐标的情形由曲线 及直线 与 ( ) 与 轴所围成的曲边梯形面积。其中：为面积元素。由曲线 与 及直线 ，( )且所围成的图形面积。其中： 为面积元素。例1 计算抛物线与直线所围成的图形面积。解：1、先画所围的图形简图解方程 , 得交点： 和 。2. 选择积分变量并定区间选取为积分变量，则3. 给出面积元素在上，在上，4. 列定积分表达式另解：若选取为积分变量，则显然，解法二较简洁，这表明积分变量的选取有个合理性的问题。例2 求椭圆所围成的面积 。解：据椭圆图形的对称性，整个椭圆面积应为位于第一象限内面积的4倍。取为积分变量，则 ，故 ( * )作变量替换则 ，( * * )二、极坐标情形设平面图形是由曲线 及射线，所围成的曲边扇形。取极角为积分变量，则 ,在平面图形中任意截取一典型的面积元素，它是极角变化区间为的窄曲边扇形。的面积可近似地用半径为， 中心角为的窄圆边扇形的面积来代替，即从而得到了曲边梯形的面积元素从而例3 计算心脏线所围成的图形面积。解： 由于心脏线关于极轴对称，小结: 求在直角坐标系下、极坐标系下平面图形的面积.作业: 作业卡 P67~P68第三节 体积教学目的：掌握用定积分的元素法计算体积教学重点：体积的计算教学难点：体积元素的选取教学内容：一、旋转体的体积旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立体，该定直线称为旋转轴。计算由曲线直线，及轴所围成的曲边梯形，绕轴旋转一周而生成的立体的体积。取为积分变量，则，对于区间上的任一区间，它所对应的窄曲边梯形绕轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以为底半径，为高的圆柱体体积。即：体积元素为所求的旋转体的体积为例1 求由曲线及直线，和轴所围成的三角形绕轴旋转而生成的立体的体积。解：取为积分变量，则二、平行截面面积为已知的立体的体积( 截面法 )由旋转体体积的计算过程可以发现：如果知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么这个立体的体积也可以用定积分来计算。取定轴为轴， 且设该立体在过点，且垂直于轴的两个平面之内， 以表示过点且垂直于轴的截面面积。取为积分变量，它的变化区间为。立体中相应于上任一小区间的一薄片的体积近似于底面积为，高为的扁圆柱体的体积。即：体积元素为于是，该立体的体积为例2 计算椭圆 所围成的图形绕轴旋转而成的立体体积。解：这个旋转体可看作是由上半个椭圆及轴所围成的图形绕轴旋转所生成的立体。在处，用垂直于轴的平面去截立体所得截面积为例3 计算摆线的一拱以及所围成的平面图形绕轴旋转而生成的立体的体积。解：请自行计算定积分小结: 旋转体体积平行截面已知的立体的体积作业: 作业卡 P69第四节 平面曲线的弧长教学目的：掌握用定积分元素法计算平面曲线的弧长，教学重点：平面曲线弧长的计算教学难点：弧长元素的选取教学内容：一、直角坐标情形设函数在区间上具有一阶连续的导数，计算曲线的长度。取为积分变量，则,在上任取一小区间，那么这一小区间所对应的曲线弧段的长度可以用它的弧微分来近似。于是，弧长元素为弧长为例1 计算曲线的弧长。解：二、参数方程的情形若曲线由参数方程给出，计算它的弧长时，只需要将弧微分写成的形式，从而有例2 计算半径为的圆周长度。解： 圆的参数方程为三、极坐标情形若曲线由极坐标方程给出，要导出它的弧长计算公式，只需要将极坐标方程化成参数方程，再利用参数方程下的弧长计算公式即可。曲线的参数方程为此时变成了参数，且弧长元素为从而有例3 计算心脏线的弧长。解：小结: 平面曲线弧长的概念弧微分的概念求弧长的公式 直角坐标系下 参数方程 极坐标系下作业: 作业卡 P70第五节 功、水压力和引力教学目的：理解和掌握用定积分的元素法，解决物理上的实际问题功，水压力和引力教学重点：如何将物理问题抽象成数学问题教学难点：元素法的正确运用教学内容：一、变力沿直线所作的功例1 半径为的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重为 1 ，现将这球从水中取出，需作多少功 解：建立如图所示的坐标系将高为的球缺取出水面，所需的力为：其中：是球的重力，表示将球缺取出之后，仍浸在水中的另一部分球缺所受的浮力。由球缺公式 有从而十分明显，表示取出水面的球缺的重力。即：仅有重力作功，而浮力并未作功，且这是一个变力。从水中将球取出所作的功等于变力从改变至时所作的功。取为积分变量，则，对于上的任一小区间，变力从到这段距离内所作的功。这就是功元素，并且功为另解： 建立如图所示的坐标系取为积分变量， 则 。在 上任取一个小区间，则此小区间对应于球体上的一块小薄片，此薄片的体积为由于球的比重为 1 ， 故此薄片质量约为将此薄片取出水面所作的功应等于克服薄片重力所作的功，而将此薄片取出水面需移动距离为 。故功元素为二、水压力在水深为处的压强为，这里是水的比重。如果有一面积为的平板水平地放置在水深处，那未，平板一侧所受的水压力为若平板非水平地放置在水中，那么由于水深不同之处的压强不相等。此时，平板一侧所受的水压力就必须使用定积分来计算。例2边长为和的矩形薄板，与水面成角斜沉于水中，长边平行于水面而位于水深处。设，水的比重为，试求薄板所受的水压力。解：由于薄板与水面成角斜放置于水中，则它位于水中最深的位置是取为积分变量， 则 (注意： 表示水深)在中任取一小区间，与此小区间相对应的薄板上一个小窄条形的面积是它所承受的水压力约为于是，压力元素为这一结果的实际意义十分明显，正好是薄板水平放置在深度为的水中时所受到的压力，而是将薄板斜放置所产生的压力，它相当于将薄板水平放置在深度为处所受的水压力。三、引力由物理学知道：质量为、，相距为的两质点间的引力大小为为引力系数。引力的方向沿着两质点的连线方向。如果要计算一根细棒对一个质点的引力，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，便不能简单地用上述公式来作计算了。例3 设有一半径为， 中心角为的圆弧形细棒， 其线密度为常数， 在圆心处有一质量为的质点， 试求这细棒对质点的引力。解决这类问题，一般来说，应选择一个适当的坐标系。解：建立如图所示的坐标系，质点位于坐标原点，该圆弧的参方程为在圆弧细棒上截取一小段，其长度为，它的质量为，到原点的距离为，其夹角为，它对质点的引力的大小约为在水平方向(即轴)上的分力的近似值为而于是，我们得到了细棒对质点的引力在水平方向的分力的元素，故类似地因此，引力的大小为，而方向指向圆弧的中心。小结 利用“微元法”思想求变力作功、水压力和引力等物理问题定积分第一节 定积分的概念教学目的：理解定积分的定义教学重点：连续变量的累积教学难点：连续变量的累积教学内容：一、定积分举例：曲边梯形面积设在 上非负，连续，由直线x = a, x = b, y = 0 及曲线所围成的图形，称为曲边梯形。求面积：在区间 [a,b] 中任意插入若干个分点，把[a,b]分成n个小区间[],[], … [],它们的长度依次为：经过每一个分点作平行于y轴的直线段，把曲边梯形分成n个窄曲边梯形，在每个小区间[]上任取一点，以[]为底，为高的窄边矩形近似替代第个窄边梯形（i=1,2,…,n）,把这样得到的n个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值，即=设时，可得曲边梯形的面积变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度是时间间隔[]上t的连续函数，且，计算在这段时间内物体所经过的路程S在[]内任意插入若干个分点把[]分成n个小段[]，[]，…， []各小段时间长依次为：相应各段的路程为：在[]上任取一个时刻，以时的速度来代替[]上各个时刻的速度，则得：进一步得到：=设时，得：二、定积分的定义由上述两例可见，虽然所计算的量不同，但它们都决定于一个函数及其自变量的变化区间，其次它们的计算方法与步骤都相同，即归纳为一种和式极限，即面积，路程.将这种方法加以精确叙述得到定积分的定义定义 设函数上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点把区间[a,b]分成个小区间各个小区间的长度依次为.在每个小区间[]上任取一点),作函数值与小区间长度的乘积并作出和.记,如果不论对[a,b]怎样分法,也不论在小区间[]上点怎样取法,只要当时,和S总趋于确定的极限,这时我们称这个极限为函数在区间[a,b]上的定积分(简称积分), 记作,即==,其中叫做被积函数, 叫做被积表达式,叫做积分变量,叫做积分下限,叫做积分上限, [a,b]叫做积分区间.注意：积分与积分变量无关，即：函数可积的两个充分条件：定理1 设上连续，则在[a,b]上可积。定理2 设上有累，且只有有限个间断点，则上可积。例：利用定积分定义计算解：连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对[0,1]n等分，分点取相应小区间的右端点，故===（即），由定积分的定义得：=小结：①重述定积分的定义；②注意其中的两个“任意”③涉及对连续变量的累积，一般采用分割，近似求和，取极限的方法进而归结到求定积分。作业：作业卡：P52~P55第二节 定积分的性质、中值定理教学目的：掌握定积分的性质，特别是中值定理教学重点：熟练运用性质教学难点：中值定理教学内容：为方便定积分计算及应用，作如下补充规定：当a=b时，当a>b时，性质1 函数和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差），即证明：==性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即(是常数)性质3 如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两个区间上定积分之和，即设 a注意：我们规定无论a,b,c的相对位置如何，总有上述等式成立。性质4 如果在区间[a,b] 上，性质5 如果在区间[a,b] 上，证明：因故，又因，故，设时，便得欲证的不等式。推论1 如果在[a,b] 上，（a推论2性质6 设M与m分别是函数上的最大值及最小值，则（a性质7 （定积分中值定理） 如果函数在闭区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一点，使下式成立：（）证明：利用性质6，；再由闭区间上连续函数的介值定理，知在[a,b]上至少存在一点，使 ，故得此性质。显然无论a.>b，还是a做本节后面练习，熟悉上面各性质。积分中值定理的几何释意如下：在区间[a，b]上至少存在一个，使得以区间[a, b]为底边, 以曲线为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为的一个矩形的面积, 见下图。（在下面做p286图5--4）小结：简捷综述上面各性质作业：作业卡：P52~P55第三节 微积分基本公式教学目的：掌握微积分基本公式及其应用教学重点：公式的应用教学难点：公式的应用教学内容：一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体在一直线上运动，在这直线上取定原点，正方向，单位长度，使其成为一数轴，时刻t 时物体所有的位置，速度。物体在时间间隔内经过的路程可以用速度函数在上的定积分来表达，即另一方面，这段路程可以通过位置函数在区间的增量来表示，即故=注意到，即是的原函数。二、积分上限的函数及其导数设在上连续，并且设为上任一点，设函数具有如下性质：定理1 如果函数在区间上连续，则积分上限函数在[a,b]上具有导数，并且它的导数是= （）证明：（1）时，==在之间时，有（2）其单侧导数，可得，由定理1可得下面结论定理2 如果函数在区间[a,b]上连续，则函数是的一个原函数。Newton的积分上限函数的几何意义如下：（P209图5—5放在下面）三、Newton —Leibniz 公式定理3 如果函数是连续函数在区间[a,b]上的一个原函数，则证明：因与均是原函数，故= （）又因故为方便起见，把记作[]上述公式就是Newton —Leibniz 公式，也称作微积分基本公式。例1计算解：=例3解：计算 在[]上与轴所围成平面图形的面积。解：上例的几何释义如下：（书图P292， 5--4）汽车以每小时36 km的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了距离？解：时，故即刹车后，汽车需要走10m才能停住。设在[0，+]内连续且>0，证明函数在（0，+）内为单调增加函数。证明：=，=故=>0故在（0，+）内为单调增加函数。求=利用Hospital 法则得=小结：Newton —Leibniz 公式.作业：作业卡：P52~P55第四节 定积分的换元法教学目的：掌握换元积分法教学重点：熟练运用换元积分法教学难点：灵活运用换元法教学内容：定理 假设函数在[a,b]上连续，函数满足条件：（1）（2）在[]（或[]）上具有连续导数，且其值不越出[a,b]则有计算 （a>0）解：设 则 且时；故==换元公式也可以反过来使用，即计算解：设，则-==计算解：=====计算解：设，则；故 ===证明若在[a,b]上连续且为偶函数，则=（2）若在[a,b]上连续且为奇函数，则=0证明：=+=+=+=（1）为偶函数时，+=故 =（2）为奇函数时，+=0故=0若在[0，1]上连续，证明（1）；（2），由此计算证明：（1）设且当时，；当故 ===（2）设，===利用此公式可得：====设函数计算解：设====小结：换元法定理。作业：作业卡 P56~P59第五节 定积分的分步积分法教学目的：掌握分步积分法教学重点：熟练应用分步积分法教学难点：灵活应用分步积分法教学内容：设在[a,b]上具有连续导数，，则有故这就是定积分的分步积分公式。例1解：设u=arcsin,则==arcsin+=计算解：设，则======2证明定积分公式=证明：设由分步积分公式可得：=故由此递推公式可得所证明等式。小结：分步积分公式。作业：作业卡 P60~P61第七节 广义积分教学目的：理解无穷限广义积分和无界函数广义积分和定义及计算教学重点：利用广义积分的定义计算教学难点：概念产生的背景教学内容：一、无穷限广义积分定义1 设函数在区间[a,+] 上连续，取.如果极限存在,则称此极限为函数在无穷区间[a,]上的广义积分,记作,即=这时也称广义积分收敛;如果上述极限不存在,函数在无穷区间[a,]上的广义积分就没有意义,习惯上称为广义积分发散,这时记号不再表示数值了.类似地,设函数在区间[,b]上连续,取a存在，则称此极限为函数在无穷区间上的广义积分，记作，即=这时也称广义积分收敛；如果上述极限不存在，就称广义积分发散。设函数在区间（）上连续，如果广义积分和都收敛，则称上述两广义积分之和为函数在无穷区间（）上的广义积分，记作，即= +=+这时也称广义积分收敛；否则就称广义积分发散。计算广义积分 ,解：=+=+==上述广义积分的几何释义如下：（书图P316 5--12）计算广义积分 （p是常数，且p>0）解：====证明广义积分当时收敛；当时发散。证明：当时，=当，故命题得证。无界函数的广义积分定义2 设函数在[a,b] 上连续，而在点a的右邻域内无界，取，如果极限存在，则称此极限为函数在[a,b] 上的广义积分，仍然记作即=这时也称广义积分收敛。如果上述极限不存在，就称广义积分发散。类似地，设函数在[a,b] 上连续，而在点b的左邻域内无界，取>0,如果极限存在，则定义否则，就称广义积分发散。设函数在[a,b] 上除点外连续，而在点c的邻域内无界，如果两个广义积分与都收敛，则定义=+=+否则，就称广义积分发散。计算广义积分（）解：====讨论广义积分的收敛性解：===故所求广义积分发散。证明广义积分当时收敛；当时发散。证明：当，发散当=故命题得证。小结：无穷限广义积分与无界函数广义积分的定义。第三章 微分中值定理与导数应用第一节 微分中值定理教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。教学重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理。教学难点：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用。教学内容：一、罗尔定理1. 罗尔定理几何意义：对于在上每一点都有不垂直于轴的切线，且两端点的连线与轴平行的不间断的曲线来说，至少存在一点C，使得其切线平行于轴。CA B从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。为应用方便，先介绍费马（Fermat）引理费马引理 设函数在点的某邻域内有定义 并且在处可导 如果对任意 有 (或) 那么证明：不妨设时，（若，可以类似地证明）.于是对于,有, 从而当时,; 而当时, ;根据函数在处可导及极限的保号性的得所以, 证毕.定义 导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点).罗尔定理 如果函数满足：（1）在闭区间上连续 （2）在开区间内可导 （3）在区间端点处的函数值相等，即 那么在内至少在一点 使得函数在该点的导数等于零，即证明：由于在上连续，因此必有最大值M和最小值，于是有两种可能的情形：（1），此时在上必然取相同的数值M，即由此得因此，任取，有（2），由于，所以M和至少与一个不等于在区间 端点处的函数值.不妨设(若,可类似证明),则必定在有一点使. 因此任取有, 从而由费马引理有. 证毕例1 验证罗尔定理对在区间上的正确性解 显然 在上连续，在上可导，且, 又, 取,有.说明：1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立;2 使得定理成立的可能多于一个，也可能只有一个.例如 在上除不存在外，满足罗尔定理的一切条件， 但在区间内找不到一点能使.例如 除了点不连续外，在上满足罗尔定理的一切条件，但在区间上不存在使得的点例如除了外，在上满足罗尔定理的一切条件，但在区间上不存在使得的点又例如满足定理的一切条件，而2．罗尔定理的应用罗尔定理1）可用于讨论方程只有一个根；2）可用于证明等式.例2 证明方程有且仅有一个小于1的正实根.证明：设, 则在上连续，且由介值定理存在使, 即为方程的小于1的正实根.设另有使因为在之间满足罗尔定理的条件, 所以至少存在一个（在之间）使得.但, 矛盾, 所以为方程的唯一实根.拉格朗日中值定理的证明就是罗尔定理证明等式的一个例子（见后面）.二、拉格朗日（Lagrange）中值定理1.拉格朗日中值定理在实际应用中，由于罗尔定理的条件（3）有时不能满足，使得其应用受到一定限制。如果将条件（3）去掉，就是下面要介绍的拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数满足（1）在闭区间上连续 （2）在开区间内可导 那么在内至少有一点 使得等式成立几何意义上述等式可变形为，等式右端为弦AB的斜率, 于是在区间上不间断且其上每一点都有不垂直于轴切线的曲线上，至少存在一点C，使得过C点的切线平行于弦AB. 当时，罗尔定理变为拉格朗日中值定理，即罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，下面用罗尔定理证明拉格朗日中值定理.分析与证明：弦AB的方程为 曲线减去弦AB，所得曲线AB两端点的函数值相等. 作辅助函数于是满足罗尔定理的条件，则在 内至少存在一点，使得.又, 所以即在内至少有一点，使得.证毕说明: 1. 又称为拉格朗日中值公式（简称拉氏公式）, 此公式对于也成立;2．拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系；当设在上连续, 在内可导时, 若 , 则有当时, 也可写成试与微分比较 是函数增量的近似表达式 而是函数增量的精确表达式 所以拉格朗日中值公式又称为有限增量公式, 拉格朗日中值定理又称有限增量定理.推论 若函数在区间I上导数恒为零，则在区间I上是一个常数.2. 拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理1）可用于证明等式；2）可用于证明不等式.例3 证明证明：设由于 , 所以又 , 即.故.例4 证明当时,证明: 设, 则在上满足拉氏定理的条件于是又, 于是而, 所以, 故从而 , 即三、柯西中值定理柯西中值定理 如果函数及在闭区间上连续,在开区间内可导,且在内每一点处均不为零，那末在内至少有一点,使等式成立几何解释: 设曲线弧C由参数方程()表示 其中为参数 如果曲线C上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线 那么在曲线C上必有一点 使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB 曲线C上点 处的切线的斜率为 弦AB的斜率为 于是, 即在曲线弧AB上至少有一点,在该点处的切线平行于弦AB.证明: 作辅助函数则满足罗尔定理的条件，于是在内至少存在一点，使得, 即, 所以.证毕特别地 当时,由 有即, 故拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.例5 设函数在上连续,在内可导,证明:至少存在一点，使证明与分析: 结论可变形为设，则在上满足柯西中值定理的条件于是至少存在一点，使所以至少存在一点，使即四、 小结罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广; 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.注意中值定理成立的条件.五、作业作业卡: P24~P27第二节 洛必达法则教学目的：理解洛必达法则，掌握用洛必达法则求型和型以及型未定式的极限的方法; 了解型极限的求法.教学重点：洛必达法则.教学难点：理解洛必达法则失效的情况, 型的极限的求法.教学内容：一． 型和型未定式的解：法洛必达法则定义：若当（或）时，函数和都趋于零(或无穷大)，则极限可能存在、也可能不存在，通常称为型和型未定式.例如 , (型); , (型).定理：设 (1)当时, 函数和都趋于零;(2)在点的某去心邻域内,和都存在且;(3) 存在(或无穷大),则定义：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的 方法称为洛必达法则证明: 定义辅助函数,在内任取一点, 在以和为端点的区间上函数和满足柯西中值定理的条件, 则有, (在与之间)当时,有, 所以当, 有故. 证毕说明: 1.如果仍属于型, 且和满足洛必达法则的条件,可继续使用洛必达法则, 即;2.当时, 该法则仍然成立, 有;3.对（或）时的未定式，也有相应的洛必达法则;4. 洛必达法则是充分条件;5. 如果数列极限也属于未定式的极限问题，需先将其转换为函数极限，然后使用洛必达法则，从而求出数列极限.例1 求, (型)解 原式==例2 求, (型)解 原式= =例3 求 , (型)解 原式===1例4 求 , (型).解 原式= = =1例5 求 , (型)解 原式== == =注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.例6 求解 原式= = ==二．型未定式的求法关键: 将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型型和型.1．型未定式的求法步骤：或例7 求 型解 原式==步骤：例8 求 型解 原式=步骤：例9 求 型解 原式=例10 求 型解 原式=例11 求 型解 由于而所以 原式=注意：洛必达法则的使用条件．例12 求解 原式=极限不存在（洛必达法条件不满足的情况）正确解法为 原式=例13 求解 设，则因为==从而 原式=三．小结洛必达法则是求型和型未定式极限的有效方法，但是非未定式极限却不能使用。因此在实际运算时，每使用一次洛必达法，必须判断一次条件。将等价无穷小代换等求极限的方法与洛必达法则结合起来使用，可简化计算。洛必达法则是充分条件，当条件不满足时，未定式的极限需要用其他方法求，但不能说此未定式的极限不存在。如果数列极限也属于未定式的极限问题，需先将其转换为函数极限，然后使用洛必达法则，从而求出数列极限.四．作业作业卡: P28~P30第三节 泰勒公式教学目的：理解泰勒中值定理，掌握常见泰勒公式。教学重点：泰勒中值定理。教学难点：泰勒中值定理和泰勒中值定理的应用。教学内容：一、泰勒(Taylor)中值定理的引入对于一些较复杂的函数 为了便于研究 往往希望用一些简单的函数来近似表达 由于用多项式表示的函数 只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算 便能求出它的函数值 因此我们经常用多项式来近似表达函数在微分的应用中已经知道 当很小时 有如下的近似等式这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子 但是这种近似表达式还存在着不足之处 首先是精确度不高 这所产生的误差仅是关于的高阶无穷小 其次是用它来作近似计算时 不能具体估算出误差大小 因此 对于精确度要求较高且需要估计误差时候 就必须用高次多项式来近似表达函数 同时给出误差公式设函数在含有的开区间内具有直到阶导数 现在我们希望做的是 找出一个关于的次多项式来近似表达 要求与f(x)之差是比高阶的无穷小 并给出误差的具体表达式我们自然希望与在的各阶导数(直到阶导数)相等 这样就有……,于是, , , ,…,按要求有,从而有…… ，即 () 于是就有二、泰勒中值定理泰勒中值定理 如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数 则当在内时 可以表示为的一个次多项式与一个余项之和，即其中(介于与之间)证明：由假设,在内具有直到阶导数,且两函数及在以及为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得(介于与之间)两函数及在以及为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得(介于与之间), 此下去,经过次后,得 所以则由上式得(介于与之间). 证毕说明：1．这里多项式称为函数按的幂展开的次近似多项式 公式2．称为按的幂展开的阶泰勒公式 而R n(x)的表达式3．(介于与之间)称为拉格朗日型余项4．当时 泰勒公式变成(介于与之间)—拉格朗日中值公式, 因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广5．如果对于某个固定的 当在区间内变动时 总不超过一个常数M 则有估计式及可见 当时 误差是比高阶的无穷小 即,该余项称为皮亚诺形式的余项6．在不需要余项的精确表达式时 阶泰勒公式也可写成7．当时的泰勒公式称为麦克劳林(Maclaurin)公式 就是或其中8．由此得近似计算公式 误差估计式变为三、简单的应用例1 求的阶麦克劳林公式解 由于所以而 代入公式,得由公式可知估计误差: 设取, 其误差例2．求的阶麦克劳林公式解 因为所以于是当时 有近似公式,例3 计算 .解 由于所以故 原式=四、常用函数的麦克劳林公式五、小结Taylor公式在近似计算中具有非常重要的应用六、作业第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性教学目的：理解函数的单调性和曲线的凹凸性的判定定理，会求函数的单调区间和曲线的凹凸区间。教学重点：掌握用一阶导数判断函数的单调性和利用二阶导数判断曲线的凹凸性的方法。教学难点：导数不存在的连续点、也可能是单调区间和曲线的凹凸区间的分界点。教学内容：一、函数单调性的判定法如果函数在上单调增加（单调减少） 那么它的图形是一条沿轴正向上升（下降）的曲线 这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的） 即 (或) 由此可见 函数的单调性与导数的符号有着密切的关系反过来 能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？定理1 (函数单调性的判定法) 设函数在上连续 在内可导(1)如果在内 那么函数在上单调增加(2)如果在内 那么函数在上单调减少证明 只证(1)（（2）可类似证得）在上任取两点 应用拉格朗日中值定理 得到由于在上式中 因此 如果在内导数保持正号即 那么也有, 于是从而，因此函数在上单调增加 证毕注 判定法中的闭区间可换成其他各种区间例1 判定函数在上的单调性解 因为在内所以由判定法可知函数在上单调增加例2 讨论函数的单调性解 由于 且函数的定义域为令, 得, 因为在内 所以函数在上单调减少 又在内 所以函数在上单调增加例3 讨论函数的单调性解 显然函数的定义域为, 而函数的导数为所以函数在处不可导又因为时 所以函数在上单调减少因为时 , 所以函数在上单调增加说明: 如果函数在定义区间上连续 除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续 那么只要用方程的根及导数不存在的点来划分函数的定义区间 就能保证在各个部分区间内保持固定的符号 因而函数在每个部分区间上单调例4 确定函数的单调区间解 该函数的定义域为而,令, 得列表↗ ↘ ↗函数f(x)在区间和内单调增加 在区间上单调减少例5 讨论函数的单调性解 函数的定义域为函数的导数为, 除时 外 在其余各点处均有 因此函数在区间上单调减少因为当时 , 所以函数在及上都是单调增加的 从而在整个定义域内是单调增加的 其在处曲线有一水平切线说明:一般地 如果在某区间内的有限个点处为零 在其余各点处均为正（或负）时 那么在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的例6 证明 当时证明 令 则因为当时 因此在上单调增加 从而当时 ,又由于 故即 也就是,()二、曲线的凹凸与拐点1. 凹凸性的概念定义 设在区间I上连续 如果对I上任意两点 恒有 那么称在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧) 如果恒有那么称在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧)定义 设函数在区间I上连续 如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方，则称该曲线在区间I上是凹的；如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称该曲线在区间I上是凸的2.曲线凹凸性的判定定理 设在上连续 在(a b)内具有一阶和二阶导数 那么(1)若在内 则在上的图形是凹的(2)若在内 则在上的图形是凸的证明 只证(1)((2)的证明类似) 设 记由拉格朗日中值公式 得两式相加并应用拉格朗日中值公式得即 所以在上的图形是凹的 拐点 连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点确定曲线的凹凸区间和拐点的步骤(1)确定函数的定义域(2)求出在二阶导数 (3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点(4)判断或列表判断 确定出曲线凹凸区间和拐点注 根据具体情况（1）、（3）步有时省略例1 判断曲线的凹凸性解因为在函数的定义域内 所以曲线是凸的例2 判断曲线的凹凸性解 因为 令 得 当时 所以曲线在内为凸的当时 所以曲线在内为凹的例3 求曲线的拐点解 ，令 得 因为当时 当时 所以点( )是曲线的拐点例4 求曲线的拐点及凹、凸的区间解 (1)函数的定义域为(2)(3)解方程 得(4)列表判断在区间和上曲线是凹的 在区间上曲线是凸的 点 和是曲线的拐点例5 问曲线是否有拐点？解 当时 在区间内曲线是凹的 因此曲线无拐点例6 求曲线的拐点 解 (1)函数的定义域为(2)(3)函数无二阶导数为零的点，二阶导数不存在的点为 (4)判断 当时 当时因此 点是曲线的拐点三、小结曲线的弯曲方向——曲线的凹凸性;凹凸性的判定.改变弯曲方向的点——拐点;拐点的求法1, 2.四、作业作业卡：P31~P33第五节 函数极值与最大值最小值教学目的：理解函数极值的概念，掌握函数极值和最大值、最小值的求法及其简单应用教学重点：函数的极值概念、函数极值的判断方法和求法教学难点：函数极值的概念教学内容：一、函数的极值及其求法定义 设函数在的某一邻域内有定义 如果对于去心邻域内的任一，有（或） 则称是函数的一个极大值（或极小值）函数的极大值与极小值统称为函数的极值 使函数取得极值的点称为极值点说明：函数的极大值和极小值概念是局部性的 如果是函数的一个极大值 那只是就附近的一个局部范围来说 是的一个最大值 如果就的整个定义域来说 不一定是最大值 对于极小值情况类似极值与水平切线的关系 在函数取得极值处 曲线上的切线是水平的 但曲线上有水平切线的地方 函数不一定取得极值由费马引理可得定理1 (必要条件)设函数在点处可导 且在处取得极值 那么函数在处的导数为零 即定理1可叙述为：可导函数的极值点必定是函数的驻点 但是反过来 函数的驻点却不一定是极值点 考察函数在处的情况 显然是函数的驻点，但却不是函数的极值点定理2 (第一种充分条件)设函数在点处连续 在的某去心邻域内可导(1) 若时， 而时， 则函数在处取得极大值(2) 若时， 而时， 则函数在处取得极小值(3)如果时，不改变符号 则函数在处没有极值定理２ (第一种充分条件)设函数在含的区间内连续 在及内可导(1)如果在内 在内 那么函数在处取得极大值(2)如果在内 在内 那么函数在处取得极小值(3)如果在及内的符号相同 那么函数在处没有极值定理2也可简单地叙述为 当在的邻近渐增地经过时 如果的符号由负变正 那么在处取得极大值 如果的符号由正变负 那么在处取得极小值 如果的符号并不改变 那么在处没有极值确定极值点和极值的步骤(1)求出导数(2)求出的全部驻点和不可导点(3)列表判断(考察的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况 以便确定该点是否是极值点 如果是极值点 还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值)(4)确定出函数的所有极值点和极值例1 求出函数的极值解令得驻点 列表讨论极大值 极小值所以极大值极小值函数的图形如下例2 求函数的极值解 显然函数在内连续 除外处处可导 且令 得驻点，为的不可导点(3)列表判断1 1不可导 0↗ 0 ↘ ↗所以极大值为 极小值为如果存在二阶导数且在驻点处的二阶导数不为零则有定理3 (第二种充分条件) 设函数在点处具有二阶导数且那么(1)当时 函数在处取得极大值(1)当时 函数在处取得极小值证明 对情形(1) 由于 由二阶导数的定义有根据函数极限的局部保号性 当在的足够小的去心邻域内时但 所以上式即为于是对于去心邻域内的来说 与符号相反 因此 当即时 当即时 根据定理2 在处取得极大值类似地可以证明情形(2)说明：如果函数在驻点处的二导数 那么该点一定是极值点 并可以按的符来判定是极大值还是极小值 但如果 定理3就不能应用例如讨论函数 在点是否有极值？因为 ，所以，但当时 当时 所以为极小值而，所以，但不是极值．例3 求出函数 的极值解令得驻点 ，由于由于 所以极大值而所以极小值函数 的图形如下注意 当时，在点处不一定取得极值，此时仍用定理2判断。函数的不可导点,也可能是函数的极值点.例4 求出函数的极值解 由于 ，所以时函数的导数不存在但当时，当时，所以为的极大值函数的图形如下例5 求函数的极值解 ,令f (x)0 求得驻点又, 所以因此在处取得极小值 极小值为因为 所以用定理3无法判别 而在处的左右邻域内 所以在处没有极值 同理 在处也没有极值二、最大值最小值问题1．极值与最值的关系设函数在闭区间上连续 则函数的最大值和最小值一定存在 函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得 如果最大值不在区间的端点取得 则必在开区间内取得 在这种情况下 最大值一定是函数的极大值 因此 函数在闭区间上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者 同理 函数在闭区间[a b]上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者2．最大值和最小值的求法设在内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点)为 则比较的大小 其中最大的便是函数在上的最大值 最小的便是函数在上的最小值求最大值和最小值的步骤(1).求驻点和不可导点;(2).求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)例6 求函数在上的最大值和最小值解由于因此函数在上的最大值为最小值为例7 求函数在上的最大值与最小值解 由于所以求得在(3 4)内的驻点为，不可导点为而，经比较在处取得最大值20 在处取得最小值03. 最大值、最小值的应用实际问题求最值步骤:(1)建立目标函数; (2)求最值.例8 工厂铁路线上AB段的距离为100km 工厂C距A处为20km AC垂直于AB 为了运输需要 要在AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路 已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比3:5 为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省 问D点应选在何处？解 设 则再设从B点到C点需要的总运费为y 那么(是某个正数)即于是问题归结为 在内取何值时目标函数的值最小先求对的导数 解方程得由于 其中以为最小 因此当时总运费最省注意在一个区间(有限或无限 开或闭)内可导且只有一个驻点 且该驻点是函数的极值点 那么当是极大值时 就是该区间上的最大值 当是极小值时就是在该区间上的最小值说明： 实际问题中往往根据问题的性质可以断定函数确有最大值或最小值 和一定在定义区间内部取得 这时如果在定义区间内部只有一个驻点 那么不必讨论是否是极值就可断定是最大值或最小值例9 把一根直径为d 的圆木锯成截面为矩形的梁 问矩形截面的高和宽应如何选择才能使梁的抗弯截面模量W ()最大 解 与有下面的关系因而于是问题转化为 当等于多少时目标函数W 取最大值？为此 求W对b 的导数 解方程得驻点由于梁的最大抗弯截面模量一定存在 且在内部取得 又函数在内只有一个驻点 所以当时 W 的值最大此时即例10 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？解 设房租为每月元，租出去的房子有套每月总收入为，（唯一驻点）故每月每套租金为350元时收入最高.最大收入为例11 由直线及抛物线围成一个曲边三角形,在曲边上求一点,使曲线在该点处的切线与直线所围成的三角形面积最大解 设所求切点为 切线为PT由于 所以令 解得 (舍去)又因为,所以为极大值故为所有三角形中面积的最大者三、小结极值是函数的局部性概念，因此函数的极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点. 函数的极值必在临界点处取得.极值的判别法 要注意使用条件注意最值与极值的区别.四、作业作业卡：P31~P38第六节 函数图形的描绘教学目的：培养学生运用微分学综合知识的能力，描绘函数的图形。教学重点：复习利用导数判断函数单调性、极值的求法、利用导数判断函数图形的凹凸性、函数图形拐点的求法及水平、铅直渐近线和斜渐近线的求法。会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。教学内容：一、渐近线当曲线上的一动点P沿曲线移向无穷点时，如果点P到某定直线L的距离趋向于零，那么直线L就称为曲线的一条渐近线。铅直渐近线（垂直于轴的渐近线）如果或，那么就是曲线的一条铅直渐近线。例如曲线有两条铅直渐近线水平渐近线（平行于轴的渐近线）如果或（为常数），那么就是曲线的一条水平渐近线。例如曲线有两条水平渐近线斜渐近线如果或（为常数）那么就是曲线的一条斜渐近线。注意：如果(1) 不存在；(2) 存在，而不存在, 那么曲线无斜渐近线.斜渐近线的求法：求出，，则就是曲线的斜渐近线例1 求曲线的渐近线解 , 因为,所以是铅直渐近线又因为,所以为斜渐近线二、描绘函数图形的一般步骤(1)确定函数的定义域 并求函数的一阶和二阶导数(2)求出一阶、二阶导数为零的点 求出一阶、二阶导数不存在的点(3)列表分析 确定曲线的单调性和凹凸性(4)确定曲线的渐近性(5)确定并描出曲线上极值对应的点、拐点、与坐标轴的交点、其它特殊点(6)联结这些点画出函数的图形例2 做出函数的图形解 函数的定义域为 非奇非偶函数,且无对称性., , 令, 得驻点再令得特殊点, 又得水平渐近线,而,铅直渐近线列表— — 0 不存在0 +↘ 拐点 ↘ 极值点 ↗ 间断点 ↘补充点：，，，例3 画出函数的图形解 (1)函数的定义域为( )(2) (3x1)(x1) 令得，再令得(3)列表分析( 1/3) 1/3 (1/3 1/3) 1/3 (1/3 1) 1 (1 )0 00↗ 极大 ↘ 拐点 ↘ 极小 ↗因为当x 时 y 当x 时 y 故无水平渐近线计算特殊点 描点联线画出图形例4 作函数的图形解 函数为偶函数 定义域为( , ) 图形关于y轴对称(2) 令, 得驻点 再令 得和列表 1 0 1＋ ＋ 0 － －＋ 0 － － 0 ＋↗ 拐点 ↗ 极大值 ↘ 拐点 ↘曲线有水平渐近线y 0先作出区间内的图形 然后利用对称性作出区间内的图形例5 作函数的图形解 函数的定义域为令, 得驻点 再令 得列表3 600↘ ↗ 极大4 ↘ 拐点 ↘是曲线的铅直渐近线 是曲线的水平渐近线补充点 ，图四、作业作业卡：P39~P43第七节 曲率教学目的：了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。教学重点：曲率和曲率半径的概念。教学难点：曲率和曲率半径的概念教学内容：一、弧微分设函数在区间内具有连续导数 在曲线上取固定点作为度量弧长的基点 并规定依增大的方向作为曲线的正向 对曲线上任一点 规定有向弧段的值（简称为弧）如下 的绝对值等于这弧段的长度 当有向弧段的方向与曲线的正向一致时 相反时 显然 弧是的函数 而且是的单调增加函数 下面来求的导数及微分设 为内两个邻近的点 它们在曲线上的对应点为M N 并设对应于的增量 弧的增量为 于是因为1 又因此 由于是单调增加函数 从而 于是 这就是弧微分公式二、曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．曲线弯曲程度的直观描述设曲线C是光滑的 在曲线C上选定一点作为度量弧的基点 设曲线上点M 对应于弧 在点M处切线的倾角为 曲线上另外一点N对应于弧 在点N处切线的倾角为弧段弯曲程度 转角相同弧段越越大转角越大 短弯曲程度越大用比值 即单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度记 称为弧段的平均曲率记 称K为曲线C在点M处的曲率在存在的条件下曲率的计算公式设曲线的直角坐标方程是 且具有二阶导数（这时连续 从而曲线是光滑的） 因为 所以又 从而得曲率的计算公式若曲线的参数方程为 则曲率例1 计算直线上任一点的曲率解 显然，所以直线上任一点的曲率, 即直线的曲率处处为零例2 计算半径为R的圆上任一点的曲率解 由于圆的参数方程为, 所以 即圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.例3. 计算等双曲线在点处的曲率解 由 得 因此曲线在点处的曲率为例4 抛物线上哪一点处的曲率最大？解 由于 由曲率公式 得显然 当即时曲率最大,它对应抛物线的顶点 因此 抛物线在顶点处的曲率最大 最大曲率为三、曲率圆与曲率半径设曲线在点处的曲率为 在点M 处的曲线的法线上凹的一侧取一点D 使, 以D 为圆心 为半径作圆 这个圆叫做曲线在点M处的曲率圆 曲率圆的圆心D叫做曲线在点M处的曲率中心 曲率圆的半径 叫做曲线在点M处的曲率半径曲线在点M处的曲率与曲线在点M处的曲率半径有如下关系注意：1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).例5 设工件表面的截线为抛物线y0.4x 2 现在要用砂轮磨削其内表面 问用直径多大的砂轮才比较合适？解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径由于所以抛物线顶点处的曲率半径为 故选用砂轮的半径不得超过1.25单位长 即直径不得超过2.50单位长x1x 2yxOf(x2)f(x1)x1x 2yxOf(x2)f(x1)( 0) 0 (0 2/3) 2/3 (2/3 )f (x) 0 01 11/27f(x 0)Oax 0bxyf(x )yf(x 0)Oax 0bxyf(x )ydhb))) 展开更多...... 收起↑ 资源列表 微积分练习.doc 竞赛辅导－导数与微积分公式表.doc 第一章 函数与极限.doc 第三章 中值定理与导数应用.doc 第二章 导数与微分.doc 第五章 定积分.doc 第六章 定积分的应用.doc 第四章 不定积分.doc
资源列表