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第二十四章
圆　
第Ⅰ卷　(选择题　共30分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（
）
A．60°
B．50°
C．40°
D．20°
2．如图,BC是半圆O的直径,D,E是弧BC上两点,连接BD,CE并延长交于点A,连接OD,OE,如果∠A＝70°,那么∠DOE的度数为
A.35°
B.38°
C.40°
D.42°
3．下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．如图,△ABC是圆O的内接三角形,∠A＝119°,过点C的圆的切线交BO于点P,则∠P的度数为
A.32
°
B.31°
C.29°
D.61°
5.如图1，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF.若∠AOF＝40°，则∠F的度数是(　　)
图1
A．20°
B．35°
C．40°
D．55°
6
如图2，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为(　　)
图2
A．30°
B．45°
C．55°
D．60°
7
如图3，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为(　　)
图3
A．56°
B．62°
C．68°
D．78°
8
如图4，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为(　　)
图4
A．6
B．8
C．5
D．5
9
如图5，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为(　　)
图5
A．6π
B．3
π
C．2
π
D．2π
10
如图6，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D.若AC＝BD＝4，∠A＝45°，则的长度为(　　)
图6
A．π
B．2π
C．2
π
D．4π
第Ⅱ卷　(非选择题　共70分)
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角．已知△ABC是等径三角形，则等径角的度数为________．
12．如图10，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC＝43°，点P在线段OB上运动．设∠ACP＝x，则x的取值范围是________．
图10
13．如图11是一个汽油桶的截面图，其上方有一个进油孔，该汽油桶的截面直径为50
dm，此时汽油桶内液面宽度AB＝40
dm，现在从进油孔处倒油，当液面AB＝48
dm时，液面上升了________dm.
图11
14．如图12，将弧长为6π，圆心角为120°的扇形纸片OAB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合(粘连部分忽略不计)，则圆锥形纸帽的高是________．
图12
15．已知直线y＝kx(k≠0)经过点(12，－5)，将直线向上平移m(m＞0)个单位长度，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交(点O为坐标原点)，则m的取值范围为________．
16．如图13，正方形ABCD的边长为4
cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与DC相交于点E，则△ADE的面积为________
cm2.
图13
三、解答题(共52分)
17．(5分)如图14，A是半径为3的⊙O上的点，尺规作图：作⊙O的内接正六边形ABCDEF.
图14
18．(5分)如图15，P是⊙O外的一点，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，C是上的任意一点，过点C的切线分别交PA，PB于点D，E.若PA＝4，求△PED的周长．
图15
19．(5分)如图16所示，⊙O的直径AB和弦CD交于点E，已知AE＝6
cm，EB＝2
cm，∠CEA＝30°，求CD的长．
图16
20．(5分)如图17，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于点D，连接BD并延长至点F，使得DF＝BD，连接CF，BE.
求证：(1)DB＝DE；
(2)直线CF为⊙O的切线．
图17
21．(7分)如图18，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，F是的中点，连接CF，EF.
(1)请直接写出：∠CFE＝________°；
(2)求证：EF＝CF；
(3)若⊙O的半径为5，求的长．
图18
22．(7分)如图19，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，AC＝2.
(1)如图(a)，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得△A′B′C.
①求点B旋转经过的路径长；②连接BB′，求线段BB′的长．
(2)如图(b)，过点C作AC的垂线与AB的延长线交于点D，将△ACD绕点C顺时针旋转90°得△A′CD′.在图(b)中画出线段AD绕点C旋转所形成的图形(用阴影表示)，并求出该图形的面积．
　　　
　　　　
图19
23．(8分)先阅读材料，再解答问题：
小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧(或等弧)所对的圆周角相等．如图20(a)，A，B，C，D均为⊙O上的点，则有∠C＝∠D.小明还发现，若点E在⊙O外，且与点D在直线AB的同侧，则有∠D＞∠E.
请你参考小明得出的结论，解答下列问题：
(1)如图(b)，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，7)，点B的坐标为(0，3)，点C的坐标为(3，0)．
①在图(b)中作出△ABC的外接圆(保留必要的作图痕迹，不写作法)；
②若在x轴的正半轴上有一点D，且∠ACB＝∠ADB，则点D的坐标为________．
(2)如图(c)，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，m)，点B的坐标为(0，n)，其中
m＞n＞0.P为x轴正半轴上的一个动点，当∠APB达到最大时，求此时点P的坐标．
图20
24．(10分)如图21①至图③，⊙O均作无滑动滚动，⊙O1，⊙O2，⊙O3，⊙O4均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置，⊙O的周长为c.
阅读理解：
(1)如图①，⊙O从⊙O1的位置出发，沿AB滚动到⊙O2的位置，当AB＝c时，⊙O恰好自转1周．
(2)如图②，∠ABC相邻的补角是n°，⊙O在∠ABC外部沿A－B－C滚动，在点B处，必须由⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O绕点B旋转的角∠O1BO2＝n°，⊙O在点B处自转周．
实践应用：
(1)在阅读理解的(1)中，若AB＝2c，则⊙O自转________周；若AB＝l，则⊙O自转________周．在阅读理解的(2)中，若∠ABC＝120°，则⊙O在点B处自转________周；若∠ABC＝60°，则⊙O在点B处自转________周．
(2)如图③，∠ABC＝90°，AB＝BC＝c.⊙O从⊙O1的位置出发，在∠ABC外部沿A－B－C滚动到⊙O4的位置，⊙O自转________周．
拓展联想：
(1)如图④，△ABC的周长为l，⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，⊙O自转了多少周？请说明理由．
(2)如图⑤，多边形的周长为l，⊙O从与某边相切于点D的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D的位置，直接写出⊙O自转的周数．
图21
答案
1-10
BCAAB
BCBAB
11．30°或150°　
12．43°≤x≤90°　
13．8或22　
14．6
15．0＜m＜　
16．6　
17．解：首先连接OA，然后以点A为圆心，OA长为半径画弧，交⊙O于B，F两点，再分别以点B，F为圆心，OA长为半径画弧，交⊙O于C，E两点，再以点E为圆心，OA长为半径画弧，交⊙O于点D，连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，则正六边形ABCDEF即为所求．
18．解：∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴PA＝PB＝4.
∵过点C的切线分别交PA，PB于点D，E，
∴DC＝DA，EC＝EB，
∴△PED的周长＝PD＋DE＋PE＝PD＋DC＋EC＋PE＝PD＋DA＋EB＋PE＝PA＋PB＝4＋
4＝8.
19．解：∵AE＝6
cm，EB＝2
cm，
∴OA＝×(6＋2)＝4(cm)，
∴OE＝4－2＝2(cm)．
如图，过点O作OF⊥CD于点F，可得∠OFE＝90°，即△OEF为直角三角形．
∵∠CEA＝30°，
∴OF＝OE＝1
cm.
连接OC，在Rt△COF中，
根据勾股定理可得CF＝＝＝(cm)．
∴CD＝2CF＝2
cm.
20．证明：(1)∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC.
∵∠BED＝∠BAE＋∠EBA，
∠DBE＝∠EBC＋∠DBC，∠DBC＝∠CAE，
∴∠BED＝∠DBE，
∴DB＝DE.
(2)如图，连接CD.
由(1)知∠DAB＝∠DAC，
∴＝，
∴BD＝CD.
∵BD＝DF，
∴CD＝BD＝DF，
∴∠DBC＝∠BCD，∠DCF＝∠F.
又∵∠DBC＋∠BCD＋∠DCF＋∠F＝180°，
∴∠BCD＋∠DCF＝90°，
∴∠BCF＝90°，即BC⊥CF，
∴直线CF是⊙O的切线．
21．解：(1)72
(2)证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AE＝BC，
∴＝.
∵F是的中点，
∴＝，
∴＋＝＋，
即＝，
∴EF＝CF.
(3)∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，
∴＝＝＝＝，
∴的长＝的长＝×2πr＝2π，
∴的长＝的长＝π，
∴的长＝的长＋的长＝3π.
22．解：(1)①∵AC＝2，∠B＝90°，∠A＝30°，
∴BC＝1，
∴点B旋转的路径长为×2π×1＝π.
②如图(a)所示，连接BB′，交A′C于点E.
在△BCB′中，CB＝CB′，∠BCB′＝120°，A′C⊥BB′，
∴BE＝，∴BB′＝2BE＝.
(2)如图(b)所示．
∵S1＝S2，
∴S2＋S4＝S1＋S4＝π(AC2－BC2)＝π×(22－12)＝π.
在Rt△ACD中，CD＝，S3＝S扇形CED′－S△CED′＝π×－××1＝π－，
∴S2＋S3＋S4＝π＋π－＝π－.
23．解：(1)①如图(a)所示．
②(7，0)
(2)由阅读材料可知，当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切，切点为P时，∠APB达到最大值．如图(b)，过圆心C作CD⊥y轴于点D，连接CP，CB.
∵点A的坐标为(0，m)，点B的坐标为(0，n)，
∴点D的坐标是(0，)，
即BC＝PC＝.
在Rt△BCD中，BC＝，BD＝，
则CD＝＝，
则OP＝CD＝.
故点P的坐标是(，0)．
24．解：实践应用
(1)2　　　　
(2)
拓展联想
(1)⊙O自转了(＋1)周．
理由：∵△ABC的周长为l，
∴⊙O在三边上自转了周．
又∵三角形的外角和是360°，
∴在三个顶点处，⊙O自转了＝1(周)．
∴⊙O共自转了(＋1)周．
(2)周．

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