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例析分类讨论思想与集合交并运算之间的关系
陈瑞天
（甘肃省永昌县第四中学 737200）
【摘要】
分类讨论往往伴随着集合的交并运算，分类讨论与集合的交并运算之间究竟有怎样的关系呢？由例题可以看出，不管是求主元范围，还是求参数范围，只要是对欲求范围的变量进行了分类讨论，就取并集；如果欲求变量A的范围，而对变量B的取值进行了分类讨论，若变量A的取值只是分别满足变量B在各种取值下的问题条件，则变量A的取值范围应分类给出，无需求交集、并集；若变量A的取值必须同时满足变量B在各种取值下的问题条件，则变量A的取值范围应是所得各集合的交集.
【关键词】
分类讨论 集合运算 相互关系
【正文】
分类讨论是一种重要的数学思想，通过分类讨论可以增加题设条件，对含参问题、绝对值问题、奇偶分析等数学问题的解决具有关键性的作用.分类讨论往往伴随着集合的交并运算，分类讨论与集合的交并运算之间究竟有怎样的关系呢？下面将通过几类问题的解答来探讨二者之间的关系.
1 利用分类讨论思想解含参不等式
例1 解关于的不等式.
解 原不等式.
⑴当或时，有，原不等式的解集为；
⑵当时，有，原不等式的解集为；
⑶当或时，原不等式的解集为.
综上所述，当或时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当或时，原不等式的解集为.
可见，在解含参不等式时，对参数进行分类讨论后，由于得到了不同的不等式，因此，不等式的解集必须分类给出，既不取并集，也不取交集.
2 利用分类讨论思想解含绝对值的不等式
例2 解不等式.
解 .
或或
故原不等式的解集是
可见，在解不等式时，对主元进行分类讨论后，所得解集要取并集.
3 利用分类讨论思想解参数范围问题
例3 不等式的解集是，求的取值范围.
解 ⑴当时，不等式化为，不等式的解集是；
⑵当时，由原不等式的解集为，得
解得
综上所述，得
可见，在解参数范围问题时，对参数本身进行分类讨论后，参数范围是各种情况下所得集合的并集.
例4 若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.
解 由题意知：.　　　（＊）
对一切恒成立.
①当时，（＊）为恒成立，;
②当时，令
（＊）可变为对任意恒成立,
等价于，
又，
当且仅当时，上式取“”，
因此
综合①②可得 的取值范围为
可见，在解恒成立问题时，由于参数的取值必须使问题中的条件对主元在各种取值情况下都成立，因此参数的取值范围应是对主元分类讨论后所得集合的交集.
上述4道例题的解法都渗透了分类讨论思想，其结果既有可能取变量的并集，也有可能取变量的交集，还有可能既不取并集，也不取交集. 那么分类讨论思想与集合交并运算之间的关系有何规律呢？
由例2、例3可以看出，不管是求主元范围，还是求参数范围，只要是对欲求范围的变量进行了分类讨论，就取并集.
例1与例4的共同特征都是欲求变量A的范围，而对变量B的取值进行了分类讨论，若变量A的取值只是分别满足变量B在各种取值下的问题条件，则变量A的取值范围应分类给出，无需求交集、并集；若变量A的取值必须同时满足变量B在各种取值下的问题条件，则变量A的取值范围应是所得各集合的交集.
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