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浅议异面直线距离求解方法
638404 四川省武胜中心中学校 段 方 建
求异面直线的距离问题，是立体几何中的一个重、难点。在现行教材中占有十分重要的地位，但学生在学习中遇到此类问题时，常感到困难，无所适从。本文就人教版高中数学第二册（下B）的习题9.8第4题求解方法的分析、探讨。归纳了几种求异面直线的距离问题的常用方法，仅供参考。
题目：已知正方体的棱长为1，求直线与的距离。
利用定义求异面直线的距离
利用定义求异面直线的距离，首先应作出异面直线的公垂线段，或转化为线面、面面距离求解，则要求作出线面、面面距，并证明。然后再将其放置于平面几何图形中利用相关策略求解，解答的关键是要找到所求的“线段”，按“作”、“证”、“求”的步骤求解。
解：如图，连结，则∥面，连结分别与交于连，过作⊥于
∵⊥ ∴⊥
又⊥ ∴⊥面
因此即为直线与的距离.
在△中，
可求得
利用向量方法求异面直线的距离
利用向量方法求异面直线的距离，首先要针对题目要求建立恰当的空间直角坐标系，然后求出两条异面直线的公共法向量，再计算两条异面直线上各取一点连结的线段在公共法向量上的射影长，即应用求两条异面直线间的距离.
解：如右图所示，建立空间直角坐标系.
可知：
设且
即∴
又，∴，
故异面直线与的距离是.
利用等体积法求异面直线的距离
利用等体积法求异面直线的距离，就是说将距离看成几何体体积表示的一个要素，一般是指可以将其看成高线的时候，可以把几何体的体积通过换底换高，用不同的方式表示，进而建立方程的办法求解，其基本思想就是利用体积不变性。
解：因为直线∥平面，且平面，所以直线与平面之间的距离即为与的距离.
设到平面的距离为，
连结.由
得：.
故异面直线与的距离是.
四、利用异面直线间距离公式求异面直线的距离
利用异面直线间距离公式求异面直线的距离，关键就是要找准公式中所涉及的相关量，并准确运用列方程求解.
解：设是异面直线与的公垂线段，长为
设，
易知：直线与所成的角为，
又=1，
由异面直线间距离公式得：
解之得：.
所以异面直线与的距离是.
五、利用函数求异面直线间的距离
利用函数求异面直线间的距离，就是在两条异面直线上任取两点连结的线段中，最短的线段就是异面直线间的距离，为此可将两条异面直线上任取两点连结的线段，通过设置变量，表示成函数，通过对函数最小值的探究，解决问题，但这种方法有一定的难度。
解：设是上任意一点，作⊥于 作⊥于
由三垂线逆定理可知：⊥ 设
.
在Rt△中，
∵，∴当时，取得最小值.
即异面直线与的距离是.
通过上述求解分析我们可以看出，异面直线距离问题的求解，终归还是在于对数学知识的把握，以及在立体几何中化归、转化思想的运用。在解题过程中要注意挖掘题中、图中的隐含条件，多层次审题、多角度识图，在注意向量的工具性的同时要积极提升逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和语言表达能力。

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