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浅谈异面直线所成角的求解方法
武胜中心中学：段方建
求异面直线所成角问题，是立体几何中的一个重、难点。在现行教材中占有十分重要的地位，但学生在学习中遇到此类问题时，常感到困难，无所适从。本文通过几个求解异面直线所成角的问题的分析、探讨。归纳了几种求异面直线所成角问题的常用方法，仅供参考。
定义法
定义法主要是根据异面直线所成的角的定义，通过平移作出异面直线所成角，此做法常把定义中的任意点O取在其中一条异面直线的端点或终点处，或在另一条线段的终点（分点），结合三角形或梯形的中位线和平行四边形达到平移直线的目的。
例1 （08天津）如图1，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=,PAB=60o，PBC=90o,求异面直线PC与AD所成的角的大小。
解:由题设,BC//AD,所以PCB(或其补角)是异面直线PC与AD所成的角的大小.
在PAB中,由余弦定理得
PB==. ZZ
又PBC是直角三角形,故tan.
所以异面直线PC与AD所成的角的大小为arctan.
二.公式法
公式推导:如图2,在空间四边形ABCD中,AB=,CD=b,BC=c,AC=d,AB沿AC平移到CF(注意AB的方向和大小均不变化),则AB//CF,AC//BF,设,若AC和BD所成的角为θ,则有: +b-2abcos=c+d-2cdcosθ公式的成立,显然只要在CDF与BDF分别利用余弦定理就能算出DF.
例2 如图3,在长方形ABCD-ABCD中,已知棱AB=BC=3,AA=4,求直线BC与BD所成角的余弦值.
解:参照上述公式可考察空间四边形BCBD,设BC沿BD平移到DF,
设DF与BD成角, BC=3, BC=5,BD=3,D B=,
cos=-(注意不是,因BC沿BD平移到DF时,
DF方向与DA相反,而BD与AD夹角为45o),
又设BC与BD所成角为θ,
则有BC2 +BD2 -2 BC·BDcos= BC+ D B-2 BC·D Bcosθ，
解得cosθ=，即直线BC 与 BD所成角的余弦值为 cosθ=.
三.向量法
求异面直线所成的角的关键是求异面直线上两向量的数量积,而要求两向量的数量积,必须会用空间的一组基向量表示向量.
例3 (08安徽)如图4,在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，ABC=,
OA底面ABCD,OA-A,M为OA的中点，N为BC的中点，求异面直线AB与MD所成角
的大小.
解:设AB与MD所成的角为θ,
=(1,0,0),=(-, ,-1),
cosθ==,
θ=.
即异面直线AB与MD所成角的大小为.
.
P
D
C
B
A
图1
图2
F
θ
b
C
D
B
A
图3
F
B1
C
B
D
C1
D1
A1 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
A
图4
N
M
O
D
C
B
A

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