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二面角求解策略分析
武胜中心中学：段方建
二面角求解问题，是立体几何中的一个重、难点。在现行教材中占有十分重要的地位，但学生在学习中遇到此类问题时，常感到困难，无所适从。本文通过几个二面角问题求解问题策略的分析、探讨。归纳了几种二面角求解的常用方法，仅供参考。
一、利用定义法求二面角.
解题策略:在棱上任取一点,过这点在两个平面内分别引棱的垂线,这两条垂线所成的角即为二面角的平面角.
例1 已知=90,过点O引所在平面的斜线OC与OA﹑OB分别成45、60角，求二面角A-OC-B的大小.
解:如右图,在OC上任取一点D,在平面COB内作DEOC交OB于E,在平面AOC内作DFOC交OA于F,则EDF为二面角A-OC-B的二面角,连EF,设OD=a.
DOF=45,DF=a,OF=a.
又DOE=60, DE=a,OE=2a.
AOB=90,
EF===a
cosEDF=
==-
二面角A-OC-B的大小为-arcos.
二.利用垂面法求二面角.
解题策略:垂面法:利用二面角的棱垂直于二面角的平面角所在的平面,可过空间任意一点作平面l于P点,则与两个半平面的交线,即射线PA、PB所成的即为二面角的平面角.
例2 若点P为120的二面角内一点,P到的距离均为10,求P到棱a的距离.
解:作PA,垂足分别为A、B，则PA=PB=10.
设PA、PB确定的平面PAB交棱a于点O，连结PO、AO、BO、AB,
PA
为二面角的平面角，
又a,
PO为点P到棱a的距离，
二面角为120，
,
又PA
A、O、B、P四点共圆，且以PO为直径，
,
于是是正三角形，PA=PB=AB=10,
PO=，即为P到棱a的距离.
三.利用三垂线定理求二面角.
解题策略:三垂线定理及逆定理法:自二面角的一个面上一点向另一面引垂线,再由垂足向棱作垂线得到棱上的点(即斜足),斜足与面上一点连接和斜足与垂足连线所夹的角,即为二面角的平面角,此法应用最广泛.
例3 如图,直角三角形ABC的斜边AB在平面内,AC、BC与平面所成角分别为30和45，求所在平面与所成的二面角.
ˊ
解：作C平面a，为垂足，作为垂足，作DAB于D，连
结CD.CDAB.
是所求二面角的平面角.
由Ca可知,=30,=45,设C=h,在
RtA和Rt中,AC=2h,BC=,又,
CD=(AC.
又为锐角,
=60
所在平面与所成的二面角为60.
四.用向量求二面角
解题策略:1、以平面法向量为载体,将求二面角的问题转化为二面角的两个面的法向量的夹角的问题.
2、将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内垂直于二面角的棱且指向该面方向的向量）所成的角.
例4 如图PA平面ABC,AC,PA=AC=1,BC=,
求二面角A-PB-C的大小.
解法1:作CD于D,作AE,易证,CD平面ABC,
AE,所以说,,分别是平面APB
和平面PBC的一个法向量.
如图,建立空间坐标系C-xyz,则B(0,A(1,0,0),E(,
C(0,0,0).
,即D分的比是,可以算出D点的坐标为
(.
=(,=(
=,=,.
所以cos.
故二面角有A-PB-C的大小为arccos.
解法2:如图,建立空间直角坐标系C-xyz,取PB的中点D,连结DC,
可证DCPB,作AEPB于E,则向量的夹角的大小
即为二面角A-PB-C的大小.
因为A(1,0,0),B(0,,C(0,0,0),P(1,0,1)
D为PB的中点,所以D(.
又==,即E分的比为,可以求E(
所以,
cos
故二面角有A-PB-C的大小为arccos.
F
B
C
E
D
A
O
C
B
A
D
B
C
A
P
B
E
C
D
A
P
z
y
x
E
B
C
D
A
P
z
x
y

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