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2020年北师大版九年级数学上册：第四章
图形的相似
单元检测
一．选择题
1．已知＝2，则的值是（　　）
A．
B．﹣
C．3
D．﹣3
2．若直角三角形的两条直角边各扩大2倍，则斜边扩大（　　）
A．2倍
B．4倍
C．6倍
D．8倍
3．下列说法错误的是（　　）
A．如果把一个三角形的各边扩大为原来的5倍，那么它的周长也扩大为原来的5倍
B．相似三角形对应高的比等于对应中线的比
C．如果把一个多边形的面积扩大为原来的5倍，那么它的各边也扩大为原来的5倍
D．相似多边形的面积比等于周长比的平方
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CD＝2，BD＝1，则AD的长是（　　）
A．1
B．
C．2
D．4
5．如图，△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：
①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP?AB；④AB?CP＝AP?CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是（　　）
A．①②③
B．①③④
C．②③④
D．①②④
6．如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且，AE＝BE，则有（　　）
A．△AED∽△BED
B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD
D．△BAD∽△BCD
7．如图，D是△ABC的AB边上的一点，过点D作DE∥BC交AC于E．已知AD：DB＝2：3．则S△ADE：SBCED＝（　　）
A．2：3
B．4：9
C．4：5
D．4：21
8．a，b，c，d是四条线段，下列各组中这四条线段成比例的是（　　）
A．a＝2cm，b＝5cm，c＝5cm，d＝10cm
B．a＝5cm，b＝3cm，c＝10cm，d＝6cm
C．a＝30cm，b＝2cm，c＝0.8cm，d＝2cm
D．a＝5cm，b＝0.02cm，c＝7cm，d＝0.3cm
9．如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于（　　）
A．
B．
C．
D．
10．三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示．若OA＝20cm，OA′＝50cm，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（　　）
A．5：2
B．2：5
C．4：25
D．25：4
11．如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（　　）
A．3.25m
B．4.25m
C．4.45m
D．4.75m
12．如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG分别交于点P、Q、K、M、N．设△BPQ，△DKM，△CNH的面积依次为S1，S2，S3．若S1+S3＝20，则S2的值为（　　）
A．6
B．8
C．10
D．12
二．填空题
13．如果两个相似三角形的面积之比为4：9，周长的?为　
　．
14．如图，点P是△ABC中AB边上的?点，请你添加?个条件使△ACP∽△ABC：　
　．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E是CD延长线上一点，连接BE交AD于点F，连接CF，若△ABF与△CEF的面积相等，则DE的长为　
　．
16．已知：△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，且BE＝AB，F为AC上一点，且CF＝AC，EF交AD于P，则EP：PF＝　
　．
17．如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上（不与点B，C重合），连接AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，设．设线段AG与对角线BD交于点H，△AHD和四边形CDHG的面积分别为S1和S2，求的最大值是　
　．
18．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，在△ABC的外部和内部（不包括边）分别取一点D，E，若AD＝AE＝4，BD＝8，CE＝2，∠CAD的补角等于∠CAE，则下列结论：
①点A在线段DE的垂直平分线上；②△ACE∽△BAD；③∠ACB+∠ABC＝∠BAD+∠CAE；④BC的最大值是14．其中正确的结论是　
　（填写所有正确结论的序号）．
三．解答题
19．如图，已知△ABC中，AT为∠BAC的平分线，
（1）若AB＝3，AC＝4，BC＝5，求△ABT与△ACT的面积之比．
（2）求证：．
20．我国户外广告行业取得了突飞猛进的发展，户外广告装置多设立于城市道路、铁路、公路等主要交通干道边上，面向密集的车流和人流．某天，小芳走到如图所示的C处时，看到正对面一条东西走向的笔直公路．上有一辆汽车从东面驶来，到达Q处时，恰好被公路北侧边上竖着的一个长12m的广告牌AB挡住，3s后在P处又重新看到该汽车的全部车身，已知该汽车的行驶速度是21.6km/h，假设AB∥PQ，公路宽为10m，求小芳所在C处到公路南侧PQ的距离．
21．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点都在格点上，其坐标分别为A（﹣4，﹣4），B（6，﹣6），C（0，﹣2），请以点O为位似中心，画出符合条件的△ABC的所有位似图形，使之与△ABC的相似比为1：2．
22．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．
（1）求证：△MFC∽△MCA；
（2）求的值，
（3）若DM＝1，CM＝2，求正方形AEFG的边长．
23．已知，矩形ABCD，点E是AD上一点，将矩形沿BE折叠，点A恰好落在BD上点F处．
（1）如图1，若AB＝3，AD＝4，求AE的长；
（2）如图2，若点F恰好是BD的中点，点M是BD上一点，过点M作MN∥BE交AD于点N，连接EM，若MN平分∠EMD，求证：DN?DE＝DM?BM．
参考答案
一．选择题
1．解：∵＝2，
∴b＝2a，
∴＝＝﹣．
故选：B．
2．解：设直角三角形的两直角边分别是x，y，
原来直角三角形的斜边：．
两条直角边都扩大2倍后两直角边为2x，2y，
则斜边：．
所以斜边也扩大2倍．
故选：A．
3．解：A、如果把一个三角形的各边扩大为原来的5倍，那么它的周长也扩大为原来的5倍，本选项说法正确；
B、相似三角形对应高的比、对应中线的比都等于相似比，
∴相似三角形对应高的比等于对应中线的比，本选项说法正确；
C、如果把一个多边形的面积扩大为原来的5倍，那么它的各边也扩大为原来的25倍，本选项说法错误；
D、∵相似多边形的面积比等于相似比的平方，相似多边形的周长比等于相似比，
∴相似多边形的面积比等于周长比的平方，本选项说法正确；
故选：C．
4．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∠A+∠B＝90°，∠B+∠BCD＝90°
∴∠A＝∠BCD
∴△ADC∽△CDB
∴AD：CD＝CD：BD
∵CD＝2，BD＝1
∴AD＝4．
故选：D．
5．解：∵∠A＝∠A
∴①∠ACP＝∠B，②∠APC＝∠ACB时都相似；
∵AC2＝AP?AB
∴AC：AB＝AP：AC
∴③相似；
④此两个对应边的夹角不是∠A，所以不相似．
所以能满足△APC与△ACB相似的条件是①②③．
故选：A．
6．解：∵AD：AC＝1：3，
∴AD：DC＝1：2；
∵△ABC是正三角形，
∴AB＝BC＝AC；
∵AE＝BE，
∴AE：BC＝AE：AB＝1：2
∴AD：DC＝AE：BC；
∵∠A为公共角，
∴△AED∽△CBD；
故选：B．
7．解：∵DE∥BC，，
∴△ADE∽△ABC，＝，
S△ADE：S△ABC＝＝＝，
∴S△ADE＝S△ABC，
又∵S△ADE+SBCED＝S△ABC，
∴SBCED＝S△ABC，
∴S△ADE：SBCED＝4：21．
故选：D．
8．解：A、2×10≠5×5，这四条线段不成比例；
B、3×10＝6×5，这四条线段成比例；
C、30×0.8≠2×2，这四条线段不成比例；
D、0.02×7≠0.3×5，这四条线段不成比例；
故选：B．
9．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠DAO+∠EAO＝90°，
∵E为AB的中点，
∴AE＝AB＝AD，
∵AF⊥DE，
∴∠AOE＝∠DOA＝90°，
∴∠DAO+∠ADO＝90°，
∴∠EAO＝∠ADO，
∴△AOE∽△DOA，
∴．
故选：A．
10．解：如图，∵OA＝20cm，OA′＝50cm，
∴＝＝＝，
∵三角尺与影子是相似三角形，
∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比＝＝2：5．
故选：B．
11．解：如图，设BD是BC在地面的影子，树高为x，
根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得而CB＝1.2，
∴BD＝0.96，
∴树在地面的实际影子长是0.96+2.6＝3.56，
再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得，
∴x＝4.45，
∴树高是4.45m．
故选：C．
12．解：∵矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，
∴AB＝BD＝CD，AE∥BF∥DG∥CH，
∴四边形BEFD，四边形DFGC是平行四边形，∠BQP＝∠DMK＝∠CHN，
∴BE∥DF∥CG
∴∠BPQ＝∠DKM＝∠CNH，
∵△ABQ∽△ADM，△ABQ∽△ACH，
∴＝＝，＝＝，
∴△BPQ∽△DKM∽△CNH，
∴＝，
∴＝，＝，
∴S2＝4S1，S3＝9S1，
∵S1+S3＝20，
∴S1＝2，
∴S2＝8．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
13．解：∵两个相似三角形的面积比为4：9，
∴它们的相似比为2：3，
∴它们的周长比为2：3．
故答案为：2：3．
14．解：∵∠PAC＝∠CAB，
∴当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△ABC；
当＝时，△ACP∽△ABC．
故答案为：∠ACP＝∠B（或＝）．
15．解：设DE＝x．
∵DF∥BC，
∴△EFD∽△EBC，
∴，
∴，
∴DF＝，AF＝4﹣＝，
∵△ABF与△CEF的面积相等，
∴?AF?AB＝?EC?DF，
∴×2＝×（x+2），
∴x1＝﹣1，x2＝﹣﹣1（舍去），
故答案为：﹣1．
16．解：∵BE＝AB，CF＝AC，
∴则＝，＝，
分别作EE1，FF1平行于BC且与AD交于E1、F1两点．
则EE1∥FF1，
∴△EE1P∽△FF1P，
＝，＝＝，＝＝，
又BD＝CD，
∴＝，
∴＝＝，
故答案为：．
17．解：如图1，
设正方形的边长为1，
连接BD交AG于H，过H作MN⊥BC交AD于M，BC于N，
设HN＝h，HM＝h'，
∴h+h'＝1，
∵＝k，
∴BG＝k，＝＝k，
S2＝BC×CD﹣k×h＝﹣kh，
S1＝AD×h'＝h'，
∴＝
＝﹣
＝﹣
＝+1﹣×k
＝﹣（k﹣）2+，
∴k＝时，的最大值为．
18．解：∵AD＝AE＝4，
∴点A在线段DE的垂直平分线上，故①正确；
∵AD＝AE＝4，BD＝8，CE＝2，
∴＝＝2，
但题中并没有∠ADB＝∠CEA，
∴△ACE不一定相似于△BAD，故②错误；
延长DA至F，如图：
∵在△ABC中，∠BAC＝120°，
∴∠ACB+∠ABC＝60°，
∵∠CAD+∠CAE＝180°，∠CAD+∠CAF＝180°，
∴∠CAE＝∠CAF，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠CAF＝60°，
∴∠ACB+∠ABC＝∠BAD+∠CAE，故③正确；
∵2＜AC＜6，4＜AB＜12，
∴6＜AB+AC＜18，
∴不能确定BC的最大值，故④错误．
∴正确的结论是①③．
故答案为：①③．
三．解答题（共5小题）
19．解：（1）过T作TD⊥AB，TE⊥AC，垂足分别为D，E，
∵AT为∠BAC的平分线，
∴TD＝TE，
∵S△ABT＝AB?TD，S△ACT＝AC?TE，AB＝3，AC＝4，
∴S△ABT：S△ACT＝AB：AC＝3：4；
（2）设△ABC中BC边上的高为h，
则S△ABT＝BT?h，S△ACT＝TC?h，
∴S△ABT：S△ACT＝BT：TC，
由（1）知S△ABT：S△ACT＝AB：AC，
∴．
20．解：设小芳所在C处到公路南侧PQ的距离为xm，
21.6km/h＝21.6×＝6m/s，
∵AB∥PQ，
∴△CAB∽△CPQ，
∴，
∴＝，
∴x＝30，
∴小芳所在C处到公路南侧PQ的距离为30m．
21．解：如图所示：△A′B′C′和△A″B″C″．
．
22．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形，
∴∠ACD＝∠AFG＝45°，
∵∠CFM＝∠AFG，
∴∠CFM＝∠ACM，
∵∠CMF＝∠AMC，
∴△MFC∽△MCA；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，∠BAC＝45°，
∴AC＝AB，
同理可得AF＝，
∴，
∵∠EAF＝∠BAC＝45°，
∴∠CAF＝∠BAE，
∴△ACF∽△ABE，
∴；
（3）∵DM＝1，CM＝2，
∴AD＝CD＝1+2＝3，
∴AM＝，
∵△MFC∽△MCA，
∴，即，
∴FM＝，
∴AF＝AM﹣FM＝，
∴AF＝，
即正方形AEFG的边长为．
23．解：（1）∵矩形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝3，AD＝4，
∴＝＝5，
∵AE＝EF，∠A＝∠EFB＝90°，
∴∠EFD＝90°，
∴∠EFD＝∠BAD，
∵∠EDF＝∠ADB，
∴△DEF∽△DBA，
∴，
设AE＝EF＝x，则DE＝4﹣x，
∴
解得x＝，
∴AE＝；
（2）证明：∵F为BD的中点，∠A＝∠BFE＝90°，
∴BE＝DE，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵MN∥BE，
∴∠NME＝∠BEM，
又∵MN平分∠EMD，
∴∠NMD＝∠NME，
∴∠NMD＝∠BEM
∴△BEM∽△DMN，
∴，
∴，
∴DN?DE＝DM?BM．

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