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第6章 图形的相似
6.6 图形的位似
1
位似图形的有关概念
2
位似图形的画法
3
位似图形的坐标变化规律
4
在坐标系中作位似图形
CONTENTS
1
新知导入
玩游戏：连连看.
CONTENTS
2
课程讲授
位似图形的有关概念
问题1 你所连的图片有什么特征？
1)每个图形形状相同；
2)每组对应点所在的直线都经过同一点.
定 义：
如果两个图形不仅形状相同，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.
位似图形的有关概念
如图，如果两个多边形上的顶点A与A'，B与B'，…，P与P'，……所在的直线的连线AA'，BB'，…，PP'，…都经过同一点O，并且
那么这两个多边形叫做位似多边形；
点O叫做位似中心.
OA'
OA
=
OB
OB'
=…=
OP
OP'
=…
O
A
B
P
A'
B'
P'
位似图形的有关概念
问题2 判断下列各组图形是否是位似图形；如果是，请找出它们的位似中心.
（1）五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'；
对应点连线过同一点，但形状不同，即图形不相似.
1-(1)是位似图形，
(2)不是位似图形.
位似图形的有关概念
（2）正方形ABCD与正方形A'B'C'D'；
（3）等边三角形ABC与等边三角形A'B'C'；
(2)、(3)都是位似图形.
位似图形的有关概念
（4）△ABC与△ADE.
4-(1)是位似图形，4-(2)不是位似图形.
图形相似，但对应点连线不过同一点.
位似图形的特征：

1.判断位似图形时要注意首先它们必须是相似形，
其次每一对对应点所在直线都经过同一点.
2.位似图形一定是相似图形，
但相似图形不一定位似图形.
位似图形的有关概念
显然，位似图形是相似图形的特殊情形，其相似比又叫做它们的位似比.
位似图形的有关概念
相似比=位似比
如图，若四边形ABCD与四边形A'B'C'D'位似，
且它们的相似比为
，
则k又叫它们的位似比.
根据位似图形的概念，可得到位似图形的四个基本性质:
(1)位似图形的对应角相等，对应边成比例；
(2)位似图形的对应点的连线相交于一点，即经过位似中心；
(3)位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上；
(4)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
位似图形的有关概念
练一练： 下列各图中，都有△ABC∽△DEF，则这两个三角形不是位似图形的是（ ）
位似图形的有关概念
B
位似图形的画法
问题3 根据位似图形的定义和特点，试着将下面的图形缩小为原来的一半.
A
B
C
D
C'
D'
A'
B'
位似图形的画法
A
B
C
D
O
作法：(1) 在四边形外任选一点 O，连接 OA、OB、OC、OD ；
(3) 顺次连接点 A' 、B' 、C' 、D' ，所得四边形 A' B' C' D' 就是所要求的图形．
(2)分别在线段 OA、OB、OC、OD 上取点 A' 、B' 、 C' 、D 使得 ；
问题4 如果在四边形外任选一个点 O，分别在 OA、OB、OC、OD 的反向延长线上取 A′ 、B′ 、C′、D′，使得 呢？如果点 O 取在四边形 ABCD 内部呢？分别画出这时得到的图形．
A
B
C
D
位似图形的画法
A
B
C
D
O
A'
B'
C'
D'
位似图形的画法
位似图形的画法
A
B
C
D
O
A'
B'
C'
D'
画位似图形的步骤：
1.确定位似中心(位似中心可以在图形外部、图形内部或图形上)；
2.选取图形的关键点(一般是顶点) ，分别连接各关键点与位似中心，并延长或截取；
3.根据相似比确定各关键点的对应点；
4.顺次连接各对应点，得到相应的位似图形.
位似图形的画法
练一练： 下面是△ABC的位似图形的几种画法，其中正确的个数有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

位似图形的画法
C
位似图形的坐标变化规律
问题5 如图，△ABC 三个顶点坐标分别为 A (4，4)，O (0，0)，C (5，0)，以点 O 为位似中心，相似比为 2，将 △ABC 放大，观察对应顶点坐标的变化.
-2
-4
-6
-8
-8
2
-4
6
-2
4
-6
8
-10
2
4
6
8
10
y
O
x
A (4，4)
C (5，0)
A '(8，8)
C' (10，0)
A''(-8，8)
C'' (-10，0)
在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个．
位似图形的坐标变化规律
归 纳：
一般地，在平面直角坐标系中，画一个与原图形位似的图形，使它和原图形的相似比为k，那么原图形上的点（x，y），对应位似图形上的点的坐标为（kx,ky）或（-kx,-ky）.
练一练： 如图，在平面直角坐标系中有两点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为 ，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为( )
A.(2，1) B.(2，0) C.(3，3) D.(3，1)

A
位似图形的坐标变化规律
归 纳：
相似三角形面积的比等于相似比的平方．
类似地，我们还可以得到：
相似多边形面积的比等于相似比的平方．
位似图形的坐标变化规律
在坐标系中作位似图形
-1
-2
-3
-4
5
1
-2
3
-1
2
6
4
1
2
3
4
5
y
O
x
A (-2，4)
B(-2，0)
例2 如图，在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A (－2，4)，B (－2，0)，O (0，0). 以原点 O 为位似中心，画出一个三角形使它与 △ABO 的相似比为 .
在坐标系中作位似图形
-1
-2
-3
-4
5
1
-2
3
-1
2
6
4
1
2
3
4
5
y
O
x
A (-2，4)
B(-2，0)
解：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点 A′ (－3，6)，B′ (－3，0)，O (0，0).
A' (-3，6)
B' (-3，0)
顺次连接点 A′ ，B′ ，O，所得的 △A′ B′ O 就是要画的一个图形.
练一练： 如图，在直角坐标系中，作出五边形ABCDE的位似图形，使得新图形A1B1C1D1E1与原图形对应线段比为2∶1，位似中心是坐标原点O.

在坐标系中作位似图形
E1
A1
B1
C1
D1
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3
随堂练习
1.如图，两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A.点P
B.点O
C.点M
D.点N
A
2.如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA∶OA′=2∶3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（ ）
A.4∶9
B.2∶5
C.2∶3
D.3∶2
A
3.如图，在平面直角坐标中，以原点为位似中心，将△AOB扩大到原来的2倍，得到△OA′B′，若点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（ ）
A.(2，4)
B.(-1，-2)
C.(-2，-4)
D.(-2，-1)
C
4.下列说法不正确的是（ ）
A.位似图形一定是相似图形
B.相似图形不一定是位似图形
C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行
B
5.如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O是位似中心，相似比为1∶ .若点D的坐标为（0，2 ），则点B的坐标是___________.
(2，2)
6.如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B和点B′的坐标分别为B（3，1），B′(6，2).
（1）请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题：
①若点A的坐标为（2.5,3），则
点A′的坐标为_________；
②△ABC与△A′B′C′的相似比
为________.
(5，6)
1：2
（2）若△ABC的面积为m，求△A′B′C′的面积.（用含m的代数式表示）
∴△A′B′C′的面积为4m.
解：∵△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2，
∴S△ABC：S△A′B′C′=1：4.
∵△ABC的面积为m，
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4
课堂小结
图形的位似
位似图形的有关概念
（1）确定位似中心；
（2）分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；
（3）根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；
（4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.
如果两个图形不仅形状相同，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.
位似图形
的画法
在坐标系中作位似图形
一般地，在平面直角坐标系中，画一个与原图形位似的图形，使它和原图形的相似比为k，那么原图形上的点（x,y），对应位似图形上的点的坐标为（kx,ky）或（-kx,-ky）.
位似图形的坐标变化规律
（1）根据相似比，计算对应点的坐标；
（2）分别在坐标系中画出上述对应点；
（3）顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.

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