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第6章 图形的相似
6.7 用相似三角形解决问题
1
平行投影及应用
2
中心投影及应用
3
用相似三角形测量高度或者宽度
CONTENTS
1
新知导入
怎样才能测出金字塔的高度？
埃及金字塔始建于公元前2600年以前，目前有96座金字塔. 大部分位于开罗西南部的吉萨高原的沙漠中，是世界公认的“古代世界八大奇迹”之一. 塔内有甬道、石阶、墓室、木乃伊也就是法老的尸体等。最大、最有名的是祖孙三代金字塔——胡夫金字塔、哈夫拉金字塔和门卡乌拉金字塔（孟卡拉金字塔)，其中以胡夫金字塔最为出名.埃及金字塔成为了古埃及文明最具有影响力和持久力的象征.
情景导入
CONTENTS
2
课程讲授
平行投影及应用
问题1 光线在直线传播过程中，遇到不透明的物体，在这个物体后面光线不能到达的区域便产生了什么？
影子
定 义：
太阳光的照射下，树木、路灯、路标都产生了影.通常，我们把太阳光看成平行光.
在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影.
平行投影及应用
在学校操场上分别竖立长度不同的甲、乙、丙3根木杆，在同一时刻分别测量出3根木杆在阳光下的影长，并将有关数据填入下表:
木杆
木杆长度
杆影长度
木杆长度
杆影长度
甲
乙
丙
木杆
木杆长度
杆影长度
木杆长度
杆影长度
甲
乙
丙
平行投影及应用
2
3
1.5
2.25
2.2
3.3
2
3
1.5
1.5
2.25
1.5
2.2
3.3
1.5
通过观察,你发现了什么?
定 义：
在平行光的照射下，在同一时刻，不同物体的物高与影长成比例.
平行投影及应用
平行投影及应用
问题1 如图，甲木杆AB在阳光下的影长为BC．试在图中画出同一时刻乙、丙两根木杆在阳光下的影长．
甲
乙
丙
平行投影及应用
问题2 古埃及国王为了知道金字塔的高度，请一位学者来解决这个问题．在某一时刻，当这位学生确认阳光下他的影长等于他的身高时，要求他的助手测出金字塔的影长，这样他就十分准确地知道了金字塔的高度．
你能说出其中的缘由吗？
平行投影及应用
如图，AC是金字塔的高，如果此时测得金字塔的影DB的长为32m，金字塔底部正方形的边长为230m，你能计算这座金字塔的高度吗？
金字塔的高度AC应等于CD(金字塔底部正方形的边长的一半)+ DB(金字塔的影长)，即AC= ×230+32= 147(m).
你能用这种方法测量出学校附近某一物体的高度吗？
练一练： 如图所示的测量旗杆的方法，已知AB是标杆，BC表示AB在太阳光下的影子，叙述错误的是( )
A.可以利用在同一时刻，不同物体与其影长的
比相等来计算旗杆的高
B.可以利用△ABC∽△EDB，来计算旗杆的高
C.只需测量出标杆和旗杆的影长就可计算出旗
杆的高
D.需要测量出AB、BC和DB的长，才能计算
出旗杆的高
C
平行投影及应用
E
D
C
B
A
中心投影及应用
问题3 夜晚，当人在路灯下行走时，会看到一个有趣的现象：离开路灯越远，影子就越长. 你能说说理由吗？请与同学交流.
定 义：
路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的.
在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影．
中心投影及应用
在点光源的照射下，物体的高度与它的影长成比例吗？
在点光源的照射下，物高与影长一般不成比例.
问题4 三根底部在同一直线上的旗杆直立地面上，其中两根在同一灯光下的影长如图所示. 请在图中画出光源的位置，并画出第三根旗杆在该灯光下的影长.
中心投影及应用
中心投影及应用
例1 如图，河对岸有一灯杆AB，在灯光下，小丽在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向前进到达点F处测得自己的影长FG＝4m．设小丽的身高为1.6m，求灯杆AB的高度．
【分析】由△ABF∽△CDF，CD、DF是已知量，可以得到AB与BF(BD)之间的一个关系式；△ABG∽△EFG，且EF、FG是已知量，可以得到AB与BG(BD)之间的又一个关系式. 这样，根据这两个关系式可以求得BD和AB.
中心投影及应用
解：在Rt△ABF和Rt△CDF中，
∠AFB= ∠CFD，于是△ABF∽△CDF.
所以 ，即 . ①
类似的，△ABG∽△EFG.
所以 ，即 . ②
由①、②，得 ，BD = 9.
将BD=9代人①，得 ，AB = 6.4.
答：在灯杆AB高6.4m.
练一练： 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20 m到达点Q时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5 m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是 ( )
A．24 m
B．25 m
C．28m
D．30m

D
中心投影及应用
例2 如图是一位同学设计的用手电筒来测量墙面高度的示意图.点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到CD的顶端C处.已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=4米，BP=6米，PD=24米，求CD的高度.
用相似三角形测量高度或者宽度
∴CD=16米.
解：由题意，得∠APB=∠CPD.
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP=90°，
∴△ABP∽△CDP，
∴ = ，
AB
BP
CD
DP
即 = ，
4
CD
6
24
答：CD的高度为16米.
用相似三角形测量高度或者宽度
例3 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过
点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R.
已知测得QS = 45 m，ST = 90 m，
QR = 60 m，请根据这些数据，
计算河宽 PQ.
用相似三角形测量高度或者宽度
P
R
Q
S
b
T
a
用相似三角形测量高度或者宽度
解：∵∠PQR =∠PST =90°，∠P=∠P，
∴△PQR∽△PST.
∴PQ×90 = (PQ+45)×60.
因此，河宽大约为 90 m.
解得 PQ = 90.
P
R
Q
S
b
T
a
∴ ，
即 ，
归 纳：
测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.
用相似三角形测量高度或者宽度
练一练： 如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120 m，DC=60 m，EC=50 m，则河宽AB=_________m.

用相似三角形测量高度或者宽度
100
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3
随堂练习
1.在下面的图形中，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的是 ( )
D
2.兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为l米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得该影子的长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为 ( )
A．11.5米
B．11.75米
C．11.8米
D．12.25米
C
3.如图，小强晚上在路灯下散步，在由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子( )
A．逐渐变短
B．逐渐变长
C．先变短后变长
D．先变长后变短
A
4.小华同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30 cm，幻灯片到屏幕的距离是1.5 m，幻灯片上小树的高度是10 cm，则屏幕上小树的高度是 ( )
A．50m B．500 cm C．60 cm D．600 cm
C
5.墨子是春秋战国时期墨家学派的创始人，著名思想家、教育家、科学家、军事家.墨子曾和他的学生做过小孔成像的实验．他的做法是，在一间黑暗的屋子里，一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像．小华在学习了小孔成像的原理后，利用如图所示的装置来验证小孔成像的现象．
已知一根点燃的蜡烛距小孔20 cm，
光屏在距小孔30 cm处，小华测量
了蜡烛的火焰高度为2 cm，则光屏
上火焰所成像的高度为________cm.
3
6.如图，阳光通过窗口照到教室内，竖直窗框在地面上留下2.1m长的影子如图所示，已知窗框的影子DE到窗下墙脚的距离CE=3.9m，窗口底边离地面的距离BC=1.2m，试求窗口的高度．（即AB的值）
解：∵阳光是平行光线，即AE∥BD ，
∴△AEC∽△BDC.
又∵AC=AB+BC，DC=EC-ED，
EC=3.9， ED=2.1，BC=1.2，
解得AB= 1.4(m).
∴ ，
∴ ，
CONTENTS
4
课堂小结
用相似三角形解决问题
平行投影
在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影.
中心投影
用相似三角形测量高度或者宽度
概 念
性 质
在平行光的照射下，在同一时刻，不同物体的物高与影长成比例.
在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影．

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