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中考试题的类比推理能力考法分析
(注：景敏，周静 中国数学教育 2010（4）)
类比推理能力是人类发现和创新的一种重要的思维方式，因此，我国新一轮数学课程改革给予类比推理能力极大地关注。在《课程标准》中明确指出：设计适当的学习活动，引导学生通过类比活动发现一些规律，猜测某些结论。与此相应在“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”的内容安排中都要尽可能地位学生提供进行类比推理活动的机会，发展学生的类比推理能力。由于《课程标准》的影响，全国各地中考试题都对这一推理能力做出了积极的响应。（本文探讨了体现类比推理试题的特点，辨识这类能力的考法，为日常数学课堂教学和中考备考复习提出建议）
什么是类比推理
《数学辞海》中是这样定义的：根据两个或两类对象在一系列属性上都相同或相似，从而推出它们在其它属性上也相同或相似的推理，简称类推或类比。显然，类比推理是以两个对象之间的相同或相似为基础的，通过对比，鉴别相同或相似的特点及程度，进而推测其中一个对象的其它特点在另一个对象上也存在。两个对象，相对来说，可以是同一类的数学对象，也可以不是同一类的数学对象。例如，在空间中研究三个平面的位置关系时，我们可以利用平面内的直线与空间里的平面的相似性进行类比推理。
表1：直线和平面的相似性
直线 平面
直线是向两端无限延伸的 平面是向四周无限延展的
直线是构成平面图形的基本元素 平面是构成空间几何体的基本元素
两条不重合的直线相交有一个交点 两个不重合的平面相交有一条交线
若平面内不重合的直线没有交点，则它们平行 若空间里不重合的平面没有交线，则它们平行
………… …………
在平面中，三条直线的位置关系可以按照交点个数进行分类讨论、；没有交点，有一个交点，有两个交点，有三个交点。（图略）
对照平面中三条直线之间的位置关系，可以推测空间中三个平面之间的位置关系，即可以得到这样的结论：没有交线，有一条交线，有两条交线，有三条交线。（图略）
考查类比推理能力的常见角度
一道数学题是由已知条件、解决办法、欲证（求）结论三个要素组成，这些要素都可以看着是数学试题的属性。如果两道数学题在一系列属性上相似，或一道题是由另一道题变式得来的，这时，就可以运用类比推理的方法，推测其中一道题的属性在另一道题中也存在相同或相似的属性。
1. 操作题中通过图形的剪拼考查类比推理能力
例1（2009，北京，22，4分）
阅读下列材料：
小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG.
请你参考小明的做法解决下列问题：
（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形.要求：在图3中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；
（2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小（画图并直接写出结果）.
试题分析：如表2所示，在范例中，五个正方形是全等的（图1），所以点B、C是矩形边长的三等分点（图2），点B是线段EC的中点，那么线段ED与线段AB的交点O，既是线段ED的中点，又是线段AB的中点，由此可以得到△AOD和△BOE全等。按照范例的做法，依次分割后拼接，就组成一个新的正方形。在图3中，五个矩形也是全等的，并且五个矩形的摆放方式和范例中是相同的（即两个问题在条件上是相似的），要求分割拼接后是一个平行四边形（即两个问题在结论上也是相似的），所以我们类比猜想：在分割拼接的方法上，两者应该是相似或者是相同的。（第（2）小题略）
表2：例1范例与问题的相似性
范例（图1,2） 问题（图3,5）
条件 五个正方形是全等的 五个矩形是全等的
点B、C是矩形（由三个正方形组成）边长的三等分点 点F、G是矩形（由三个矩形组成）边长的三等分点
点O既是线段ED的中点，又是线段AB的中点 点O既是线段EF的中点，又是线段AD的中点
△AOD和△BOE全等 △AOF和△DOE全等
结论 分割后拼接成一个正方形 分割后拼接成一个平行四边形
反思上述问题的解决过程，还能发现如下问题：
这道题只要求分割后拼接成平行四边形，并没有要求说明为什么如此分割拼接后的图形一定是平行四边形。《标准》第三学段的目标中指出：认识通过类比可以获得数学猜想，并能用文字、字母或图表等清楚地表达解决问题的过程，解释结果的合理性，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性……所以不妨在后面再追加一问，即要求对类比猜想获得的结论的正确性进行验证，进而使学生经历一个完整的数学活动过程。
（2）在问题中，如果不指明图3分割后拼接成的是一个平行四边形，而是让学生猜测拼接后的图形的形状，然后对猜想的正确性进行证明，这样会更充分地考查类比推理能力，并让学生经历了知识形成的完整过程。
（3）在矩形的基础上，把问题推广到更一般的情况：五个同样大小的平行四边形纸片，纸片排列形式如图7所示，依照上述方法能拼出怎样的图形？再次变式后的问题，可以使学生运用类比推理，猜测结论。
例2（2006 北京卷）请阅读下列材料：
问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图①，请把它们分割后拼接成一个新的正方形，要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
小东同学的做法是：设新正方形的边长为x（x＞0），依题意，割补前后图形的面积相等，有x2=5，解得x=，由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长，于是，画出如图②所示的分割线，拼出如图③所示的新正方形．
请你参考小东同学的做法，解决如下问题：
现有10个边长为1的正方形，排列形式如图④，请把它们分割后拼接成一个新的正方形，要求：在图④中画出分割线，并在图⑤的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．（说明：直接画出图形，不要求写分析过程．）
所画图形如图所示．
试题分析：如表3所示，两个问题的条件极其相似：基本图形都是边长为1的正方形，排成一排后是一个矩形；两个问题的结论也是相同的：要求把它们分割后拼接成一个新的正方形。由问题的条件和结论的相似性，我们类比猜想分割的方法也应该是相似的：设新正方形的边长x（x＞0），依题意，割补前后图形的面积相等，有x2=10，解得x=。可知新正方形的边长等于三个小正方形组成的矩形对角线的长，于是，画出如图（1）所示的分割线，拼出如图（2）所示的新正方形．
表3：例2范例与问题的相似性
范例 问题
条件 基本图形是5个正方形 基本图形是10个正方形
正方形的边长均为1 正方形的边长均为1
5个正方形排成一排后是一个矩形 10个正方形排成两排后是一个矩形
结论 分割后拼成一个新的正方形 分割后拼成一个新的正方形
近几年很多地区的中考题中都出现了图形折叠、拼接的问题，这类题的特点是：在题设中事先交待一种图形折叠、拼接的方法，然后在问题中出现与已知图形类似的图形，通过类比，探索新图形的折叠、拼接方法。显然，这一类题都是在问题的条件、问题的结论相同或相似的情况下，在探索解决问题的过程中考查类比推理能力的。
2. 探究题中通过图形的变式考查类比推理能力
例3 (2007，天津卷，25，10分)如图①，AD是圆O的直径，BC切圆O于点D，AB、AC与圆O相交于点E、F。
（1）求证：；
（2）如果将图①中的直线BC向上平移与圆O相交得图②，或向下平移得图③，此时，是否仍成立？若成立，请证明，若不成立，说明理由。
解：（1）如图①，连接DE
∵ AD是圆O的直径 ∴ ∠AED=90°（1分）
又∵ BC切圆O于点D
∴ AD⊥BC，∠ADB=90°（2分）
在和中，∠EAD=∠DAB
∴ ～（3分）
∴ ，即（4分）
同理连接DF，可证～，
∴ （5分）
（2）仍然成立（6分）
如图②，连接DE，因为BC在上下平移时始终与AD垂直，设垂足为
则（7分）
∵ AD是圆O的直径 ∴ ∠AED=90°
又∵
∴ ～（8分）
∴
同理
∴ （9分）
同理可证，当直线BC向下平移与圆O相离如图③时，仍然成立（10分）
试题分析：如表4所示，问题（1）考查的是三角形相似的证明。连接DE、DF，如图，证明∽,,从而证明.同理，证明∽,,可得到结论
问题（2），当直线BC向上平移与圆O相交，向下平移与圆O相离，此时题目条件与问题（1）的条件相似，因此，可以类比猜想结论也是成立的。接下来验证猜想是否正确。如图，连接ED、DF，同样证明∽，从而有。同理，可以证明，则结论在问题（2）仍成立。同样，当直线BC向下与圆O相离，此时题目的条件与问题（1）的条件相似，因此，可以类比猜想结论也是成立的。
表4：差异与相似性
差异 直线与圆相切 直线与圆相交 直线与圆相离
条件 AD⊥BC AD'⊥BC AD'⊥BC
AD经过圆心 AD经过圆心 AD经过圆心
E、F为圆O上的点 E、F为圆O上的点 E、F为圆O上的点
结论
例4（2009，辽宁沈阳，25,12分）将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90 ，∠A＝∠D＝30 ，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．
(1)求证：AF＋EF＝DE；
(2)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角，且0 ＜＜60 ，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出(1)中的结论是否仍然成立；
(3)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角，且60 ＜＜180 ，其他条件不变，如图③．你认为(1)中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．
SHAPE \* MERGEFORMAT
试题分析：问题（1）是一个条件与结论都明确的问题，主要考查的是三角形全等的判定定理，以及运用三角形全等证明线段相等的策略。
在解决问题（2）时，首先将旋转前后的条件进行比较分析，如表5所示，由于（2）与问题（1）的条件极其相似，因此，可以对照问题（1）的结论，大胆猜想问题（2）也有这样的结论：AF+EF=DE。
表5：例4问题串的相似性
问题 问题（1）旋转前 问题（2）旋转角度 问题（3）旋转角度
条件 Rt△ABC≌Rt△DBE Rt△ABC≌Rt△DBE Rt△ABC≌Rt△DBE
点B是两个三角形的公共点 点B是两个三角形的公共点 点B是两个三角形的公共点
AF＜AC AF＜AC AF＞AC
线段DE与线段AB有交点 线段DE与线段AB有交点 线段DE与线段AB无交点
结论 AF+EF=DE AF+EF=DE AF-EF=DE
在问题（3）中，由于旋转的角度（），使得线段AF＞AC，所以直观上发现，AF+EF=DE是不成立的，这是问题（3）与问题（1）、（2）的差异所在。但是问题（3）的条件仍然与问题（1）（2）存在很多相似之处，所以仍旧可以猜想AF、EF、DE三条线段仍然存在着某种等量关系，观察图③，可以猜想AF-EF=DE。
通过对例3、例4的分析，不难发现，在这类题目中，首先给出一个条件和结论都比较明确的良性结构问题，然后对图形进行变式，在不改变图形基本结构的前提下，更确切地说，在不改变证明方法的前提下，对比已有的结论，猜想变式图形的结论。通过对比变式前问题的条件与结论，猜想变式后问题结论的过程，可以很好地考查类比推理能力。
三、类比推理能力试题的特点及建议
F
O
图5
图6
H
G
E
A
A
A
C
C
C
F
B
B
B
D
F
E
E
D
图①
图②
图③

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