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例谈课本《一次函数》习题中的数学思想
摘要：所谓数学思想方法是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，是在数学教学中提出问题、解决问题过程中，所采用的各种方式、手段、途径等。掌握数学思想方法，就是掌握数学的精髓。在数学课本中，到处都可以找到提炼出数学思想、数学方法的素材，本文以义务教育课程标准实验教科书初中二年级数学下册（华师大版）《一次函数》章节为例，谈谈课本习题中的数学思想。
关键词：课本 一次函数 习题 数学思想
在数学课本中，到处都可以找到提炼出数学思想、数学方法的素材，本文以义务教育课程标准实验教科书初中二年级数学下册（华师大版）《一次函数》章节为例。谈谈课本习题中的数学思想。
1、 函数思想
例1：（p33题5）已知等腰三角形周长为12cm ，若底边长为ycm，一腰长为xcm. (1)写出ycm与xcm之间的函数关系式(x为自变量) (2) 求自变量x的取值范围.
解析: (1) y = 12 – 2x
(2) ∵y为底边 , ∴ y = 12 – 2x > 0 ∴ x < 6
又因为三角形中两边之和大于第三边 ∴ 2x > y = 12 – 2x ∴ 4x > 12
∴ x > 3 ∴ 3< x <6
例2：（p53题9）如图，正方形ABCD的边长为4，P为DC上的点．设DP＝x，求△APD的面积y关于x的函数关系式．
解析：容易得到y=DP·AD=2x(0＜x≤4）
2、 转化思想
1、把函数转化为一元一次方程
例1：（p42例2）求直线y＝-2x-3与x轴和y轴的交点
分析： x轴上点的纵坐标是0，y轴上点的横坐标0．由此可求x轴上点的横坐标值和y轴上点的纵坐标值．
解： 因为x轴上点的纵坐标是0，y轴上点的横坐标0，所以当y＝0，即-2x-3＝0时，x＝-1.5，点(-1.5,0)就是直线与x轴的交点；当x＝0时，y＝-3，点(0，-3)就是直线与y轴的交点.
2、把函数转化为二元一次方程组
例2：（p40例4）已知弹簧的长度y（厘米）在一定的限度内是所挂物质量x（千克）的一次函数．现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米,求这个一次函数的关系式．
分析： 考虑这个问题中的不挂物体时弹簧的长度6厘米和挂4千克质量的重物时，弹簧的长度7.2厘米,与一次函数关系式中的两个x、y有什么关系？已知y是x的函数关系式是一次函数，则关系式必是y＝kx＋b的形式，所以要求的就是系数k和b 的值．而两个已知条件就是x和y的两组对应值，也就是当x＝0时，y＝6；当x＝4时，y＝7.2．可以分别将它们代入函数式，转化为求k与b 的二元一次方程组，进而求得k与b的值．
解： 设所求函数的关系式是y＝kx＋b(k≠0),由题意，得
解这个方程组，得
所以所求函数的关系式是y＝0.3x＋6．(其中自变量有一定的范围)
3、利用函数知识解二元一次方程组
例3：（p47例题）利用图象解方程组
解： 在直角坐标系中画出两条直线，如图所示．
两条直线的交点坐标是(2,-1)，所以方程组的解为
变式：(p47题2改编）直线y＝2x＋1和y＝3x＋b的交点在第三象限，求b的取值范围。
分析： 此题中已知两直线的交点在第三象限，实际上就是知道两个一次函数图象交点在第三象限，因此如何求两个一次函数的图象的交点及第三象限点应满足的条件就成了解此题的关键．另外因为涉及待定系数b的值，所以要先求它们的交点，其中交点的坐标是可以用待定系数b来表示，最后再确定第三象限的点的坐标满足的条件．
解： 由题意得：
则　 解关于x，y的二元一次方程组，得
因为它们交点在第三象限，所以x＜0，y＜0，
即 解这个不等式组，得
由以上可知当时，两直线交点在第三象限．
3、 分类讨论思想
例1:（p49题5）学校准备去白云山春游．甲、乙两家旅行社原价都是每人60元，且都表示对学生优惠．甲旅行社表示： 全部8折收费；乙旅行社表示： 若人数不超过30人则按9折收费，超过30人按7折收费．
(1)试分别写出甲、乙两家旅行社实际收取的总费y（元），关于参与春游学生人数x的函数关系式（期中对乙旅行社应按人数是否超过30两种情况列出）；
(2)讨论应哪家旅行社较优惠；
解析：(1)甲旅行社：=48x
乙旅行社：=
(2)当时，54x48x，所以当人数少于30人时，选择甲旅行社比较优惠
当x=30时，54x=48x，所以当人数等于30人时，选择甲、乙旅行社都一样
（3）当x>30时，42x<48x,所以当人数大于30人时，选择乙旅行社比较优惠
变式：某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者．果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案，甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回．已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元．
(1)分别写出该公司两种购买方案的付款y（元）与所买的水果量x（千克）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(2)当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由．
解： (1)；
．
(2)当，即9x＝8x＋5000时，
解得x＝5000．
所以当x＝5000时，两种付款一样；
解得3000≤x＜5000．
所以当3000≤x＜5000时，选择甲方案付款最少；
．
解得x＞5000．
所以当x＞5000时，选择乙方案付款最少．
4、 数学结合思想
例1：（p48问题2）讨论画出函数y＝的图象，根据图象，指出：
(1) x取什么值时，函数值 y等于零？
(2) x取什么值时，函数值 y始终大于零？
分析： 函数值y=0,说明函数图像与x轴相交，而y＞0，说明函数图像要在x轴上方
解： （1）当x＝－2时，y＝0；
(2)当x＞－2时，y＞0．
例2：（p46问题一） 学校有一批复印任务，原来由甲复印社承接，按每100页40元计费．现乙复印社表示：若学校先按月付给一定数额的承包费，则可按每100页15元收费．两复印社每月收费情况如下图所示．
根据图象回答：
(1)乙复印社的每月承包费是多少？
(2)当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同？
(3)如果每月复印页数在1200页左右，那么应选择哪个复印社？
解析：(1) “乙复印社的每月承包费”指当x＝0时，y的值，从图中可以看出乙复印社的每月承包费是200元．
(2) “收费相同”是指当x取相同的值时，y 相等，即两条射线的交点．我们看到，两个一次函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数的关系式．所以我们可以知道当复印800页时，两复印社收费相同。
(3)作一条x轴的垂线，如下图，此时x的值相同，它与哪一条射线的交点较高，就表示对应函数值较大，收费就较高；反之，它与另一条射线的交点较低，就表示对应函数值较小，收费就较低．从图中可以看出，如果每月复印页数在1200页左右，那么应选择乙复印社收费较低．
变式：在一次蜡烛燃烧实验中,甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y (厘米)与燃烧时间 x(小时)之间的关系如图所示.请根据所提供的信息解答下列问题:
(1) 甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是 从点燃到燃尽所用的时间分别是
(2) 分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时,y与x之间的函数关系式;
(3)燃烧多长时间时, 甲、乙两根蜡的高度相等(不考虑燃尽时的情况) 在什么时间段内,甲蜡烛比乙蜡烛高 在什么时间段内,甲蜡烛比乙蜡烛低
解析：由图象容易得到：(1) 30厘米 25厘米 ; 2小时 2.5小时
(2) 设甲蜡烛燃烧时，y与x之间的函数关系式为y = k1x + b1 ，由图象可知，函数的图象过点（2，0），（0，30）
设乙蜡烛燃烧时，y与x之间的函数关系式为y = k2x + b2 ，由图象可知，函数的图象过点（2.5，0），（0，30）
(3) 观察图象可知，当x=1时，甲、乙两根蜡的高度相等；当0≤ x <1时，甲蜡烛比乙蜡烛高；当1〈 x〈 2.5 时, 甲蜡烛比乙蜡烛低.
5、 类比思想
例：（p36讨论）请同学们在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象．能否从中发现一些规律？
(1) y＝3x；　 　 (2) y＝3x＋2． (3) ；　　(4) ；
解析： 通过观察发现:
(1)第一组两条直线互相平行，第二组的两条直线也互相平行．为什么呢 因为每一组的三条直线的k相同；还可以看出，直线y＝3x＋2是由直线y＝3x向上移动2个单位得到的；而直线是由直线向上移动2个单位得到的．
(2)y＝3x与、y＝3x＋2与的交点在同一点，为什么呢？因为每两条直线的b相同；而直线与y轴的交点纵坐标取决于b．
所以，两个一次函数，当k一样，b不一样时，有
共同点：直线平行，都是由直线y＝kx(k≠0)向上或向下移动得到；
不同点：它们与y轴的交点不同．
而当两个一次函数，b一样，k不一样时，有
共同点：它们与y轴交于同一点(0,b)；
不同点：直线不平行．
6、 整体思想
例：已知函数y＝y1＋y2，且y1与x成反比例函数关系，y2与(x－2)成正比例函数关系．当x＝1时，y＝－1；当x＝3时，y＝5．求：x＝5时，y的值．
分析： 应把(x－2)看成一个整体，然后用待定系数法写出函数的解析式．
解： 由已知， (k1≠0，k1是常数)，又由已知y2＝k2(x－2)(k2≠0，k2是常数)，所以．①
由已知，当x＝1时，y＝－1，代入①，得)，即．②
由已知，当x＝3时，y＝5，代入①，得，即 ．③
得
所求的函数解析式是．
当x＝5时，．
变式：已知y+b与x+a（a,b是常数）成正比例，（1）试说明y是x的一次函数：（2）如是x=3时，y=5，x=2时，y=2，求y与x的函数关系式。
分析：解决这个问题（1）时，我们就要把y+b与x+a都看成一个整体，设y+b=k（x+a）得出y=kx+ak-b，从而说明y是x的一次函数，解决问题（2）时，当我们把握两组数值代入解析式y= kx+ak-b中后得到一个三元二次方程组，显然不能求出每个未知数的值，但我们可以把ak-b看作一个整体，就可以求出k=3， ak-b=4，从而求出y与x的函数的关系式是y=3x-4，在这个问题中两次运用到整体思想方法。
解：（1）设y+b=k（x+a）=kx+ak-b，所以y是x的一次函数
（2）依题意得
解得 ∴y与x的函数的关系式是y=3x-4
7、 数学建模思想
例1：A市和B市分别有某种库存机器12台和6台.现决定支援C村10台,D村8台,已知从A市调运一台机器到C村和D村的运费分别是400元和800元,从B市调运一台机器到C村和D村的运费分别是300元和500元.
(1)设B市运往C村机器x台,求总运费W(元)关于x的函数关系式;
(2)若要求总运费不超过9000元,共有几种调运方案;
(3)求出总运费最低的调运方案,最低运费是多少
分析：借助表格分析，把实际问题转化会数学问题
A村（12台） B村（6台）
C村 10-X X
D村 8-(6-X) 6-X
解：(1)由题意得:
W = 300x + 500(6-x) + 400(10-x) + 800[8-(6-x)]=200x + 8600(0≤x≤6的整数)
∴W与x的函数关系式是W = 200x + 8600(0≤x≤6的整数)
(2)由W = 200x + 8600≤9000 得 x≤2
又因为x必须是自然数，所以x可以取0，1，2这三个数，即共有三种调运方案
（3）∵W = 200x + 8600是一次函数，且k=200>0，W随x的增大而增大，所以当x取最小值时，W最小。即当x=0时，W最小 = 200 × 0 + 8600 = 8600（元）
所以从A市运往C村10台机器，运往D村2台；从B市运往D村6台时总运费最低，最低运费是8600元。
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