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二次根式单元复习
第16章 二次根式
2020-2021学年度沪科版八年级下册
加 、减、乘、除
二 次 根 式
三个概念
两个性质
两个公式
四种运算
最简二次根式
同类二次根式
有理化因式
1、
2、
2、
1、

--不要求，只需了解
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复习导入
例1 求下列二次根式中字母a的取值范围:
解:(1)由题意得
(3)∵(a+3)2≥0，∴a为全体实数.
(4)由题意得 ∴a≥0且a≠1.
考点一 二次根式的相关概念有意义的条件
方法总结
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数大于或等于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零.
针对训练
1.下列各式： 中，一定是二次根式的个数有 （ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
B
2.求下列二次根式中字母的取值范围:
解得 －5≤x＜3.
解：(1) 由题意得
∴x=4.
(2) 由题意得
例2 若 求 的值.
解：∵
∴x－1=0,3x+y－1=0,解得x=1,y=－2.
则
【解析】根据题意及二次根式与完全平方式的非负性可知 和 均为0.
考点二 二次根式的性质
初中阶段主要涉及三种非负数： ≥0，|a|≥0，a2≥0.如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.这是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之一.
方法总结
例3 实数a,b在数轴上的位置如图所示，请化简：
b
a
0
解：由数轴可以确定a<0,b>0，
∴
∴原式=-a-(-a)+b=b.
解析:化简此代数式的关键是能准确地判断a,b的符号，然后利用绝对值及二次根式的性质化简.
4.若12
针对训练
3.若实数a,b满足 则 .
1
5.将下列各数写成一个非负数的平方的形式：
考点三 二次根式的运算及应用
例4 计算：
解：
方法总结
二次根式的混合运算的运算顺序与整式的运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，在具体运算中可灵活运用运算律和乘法公式简化运算.
例5 把两张面积都为18的正方形纸片各剪去一个面积为2的正方形，并把这两张正方形纸片按照如图所示叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体纸盒．求这个纸盒的侧面积（接缝忽略不计）．
解：
8. 计算：
解：(1)原式
(2)原式
针对训练
6.下列运算正确的是 （　　）
C
7. 若等腰三角形底边长为 ，底边的高为
则三角形的面积为 .
9. 交警为了估计肇事汽车在出事前的速度，总结出经验公式 ，其中v是车速（单位：千米每小时），d是汽车刹车后车轮滑动的距离（单位：米），f是摩擦系数．在某次交通事故调查中，测得d=20米，f=1.2，请你帮交警计算一下肇事汽车在出事前的速度．
解：根据题意得 （千米/时）．
答：肇事汽车在出事前的速度是 千米/时．
例6 先化简，再求值： ，其中
.
解：
当 时，
原式
解析：先利用分式的加减运算化简式子，然后代入数值计算即可.
考点四 二次根式的化简求值
例7 有这样一道题：“计算 的值，其中x=2018”.小卿把“x=2018”错抄成“x=2081” ，但是她的计算结果仍然是正确的，这是为什么？
解：∵
∴无论x取何值，原式的值都为-2.
10. 先化简，再求值： ,其中
解：原式
当 时，
原式
针对训练
考点五 本章解题思想方法
分类讨论思想
例8 已知a是实数，求 的值.
解： 分三种情况讨论：
?当a≤－2时，原式=(－a－2)－[－(a－1)]
=－a－2+a－1=－3;
?当－2＜a≤1时，原式=(a+2)+(a－1)= 2a+1;
?当a＞1时，原式=(a+2)－(a－1)=3.
整体思想
例9 已知 ，求 的值.
解：∵
∴
类比思想
例10 阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ，善于思考的小明进行了以下探索：
设 （其中a、b、m、n均为整数），则有 这样小明就找到了一种把类似 的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若 ，
用含m、n的式子分别表示a，b，得
a=_______;b=______;
(2)利用所探索的结论，用完全平方式表示出：
(3)请化简：
m2+3n2
2mn
解：
加、减、乘、除运算
二次根式
性质
最简二次根式
课堂小结
谢谢聆听

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