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2020年浙江省绍兴市柯桥区联盟学校中考数学模拟试卷（6月份）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．2020的相反数是（　　）
A．﹣2020 B．2020 C． D．﹣
2．一双没有洗过的手，带有各种细菌约75000万个，75000万用科学记数法表示为（　　）
A．7.5×104 B．7.5×105 C．7.5×108 D．7.5×109
3．如图，由几个小正方体组成的立体图形的左视图是（　　）
A． B． C． D．
4．某校九年级（1）班50名学生中有20名团员，他们都积极报名参加学校开展的“文明劝导活动”．根据要求，该班从团员中随机抽取1名参加，则该班团员京京被抽到的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．下面是一位同学做的四道题①（a+b）2＝a2+b2，②（2a2）2＝﹣4a4，③a5÷a3＝a2，④a3?a4＝a12．其中做对的一道题的序号是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
6．如图，一个函数的图象由射线BA、线段BC、射线CD组成，其中点A（﹣1，2），B（1，3），C（2，1），D（6，5），则此函数（　　）
A．当x＜1时，y随x的增大而增大
B．当x＜1时，y随x的增大而减小
C．当x＞1时，y随x的增大而增大
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
7．如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（　　）
A．3.5cm B．4cm C．4.5cm D．5cm
8．如图，半径为5的⊙P与y轴相交于M（0，﹣4），N（0，﹣10）两点，则圆心P的坐标为（　　）
A．（5，﹣4） B．（4，﹣5） C．（4，﹣7） D．（5，﹣7）
9．超市有一种“喜之郎”果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4cm，底面是个直径为6cm的圆，横截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，那么要制作这样一个包装盒至少纸板（　　）平方厘米．（不计重合部分）
A．253 B．288 C．206 D．245
10．已知A地在B地的西方，且有一以A、B两地为端点的东西向直线道路，其全长为400公里，今在此道路上距离A地12公里处设置第一个广告牌，之后每往东27公里就设置一个广告牌，如图所示．若某车从此道路上距离A地19公里处出发，往东直行320公里后才停止，则此车在停止前经过的最后一个广告牌距离A地多少公里？（　　）
A．309 B．316 C．336 D．339
二、填空题（本题有6小题，每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）
11．因式分解：4x2﹣y2＝　 　．
12．不等式＞x的解集为　 　．
13．如图，⊙O的半径为1，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，若∠BOD＝∠BCD，则的长为　 　．
14．如图，平面直角坐标系中有正方形ABCD和正方形EFGH，若点A和点E的坐标分别为（﹣2，3），（1，﹣1），则两个正方形的位似中心的坐标是　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，cos∠BOC＝，顶点C的坐标为（a，4），反比例函数y＝的图象与菱形对角线AO交于D点，连接BD，当BD⊥x轴时，k的值是　 　．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，BC＝，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B'DE的位置，B'D交AB于点F．若△AB'F为直角三角形，则AE的长为　 　．
三、解答题（本题有8小题，第17-20题各8分，第21题10分，第22-23题各12分，第24题14分，共80分）
17．（1）计算：2tan60°﹣﹣（﹣2）0+（）﹣1；
（2）解方程：＝2．
18．《如果想毁掉一个孩子，就给他一部手机!》这是微信圈一篇热传的文章．国际上，法国教育部宣布从新学期起小学和初中禁止学生使用手机．为了解学生手机使用情况，某学校开展了“手机伴我健康行”主题活动，他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图①，②的统计图，已知“查资料”的人数是40人．
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，“玩游戏”对应的百分比为　 　，圆心角度数是　 　度；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有学生2100人，估计每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数．
19．一辆汽车行驶时的耗油量为0.1升/千米，如图是油箱剩余油量y（升）关于加满油后已行驶的路程x（千米）的函数图象．
（1）根据图象，直接写出汽车行驶400千米时，油箱内的剩余油量，并计算加满油时油箱的油量；
（2）求y关于x的函数关系式，并计算该汽车在剩余油量5升时，已行驶的路程．
20．目前，各大城市都在积极推进公共自行车建设，努力为人们绿色出行带来方便．图（1）所示的是一辆自行车的实物图．图（2）是自行车的车架示意图．CE＝30cm，DE＝20cm，AD＝25cm，DE⊥AC于点E，座杆CF的长为15cm，点A，E，C，F在同一直线上，且∠CAB＝75°，公共自行车车轮的半径约为30cm，且AB与地面平行．
（1）求车架中AE的长；
（2）求车座点F到地面的距离．（结果精确到1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
21．在Rt△ABC中，∠B＝90°，CE平分∠BCA交AB于点E，在AC上取一点O，以OC为半径的圆恰好经过点E，且分别交AC，BC于点D，F，连结DE，EF．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AD＝2，OC＝3；
①求△AEC的面积；
②求EF的长．
22．如图，AB∥CD，AB＝5cm，AC＝4cm，线段AC上有一动点E，连接BE，ED，∠BED＝∠A＝60°，设A，E两点间的距离为xcm，C，D两点间的距离为ycm．
小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．
（1）列表：如表的已知数据是根据A，E两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组对应值：
x/cm 0 0.5 1 1.5 2 2.3 2.5
y/cm 0 0.39 0.75 1.07 1.33 1.45
　 　
x/cm 2.8 3.2 3.5 3.6 3.8 3.9
y/cm 1.53 1.42 1.17 1.03 0.63 0.35
请你补全表格；
（2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象；
（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：　 　；
（4）解决问题：当AE＝2CD时，CD的长度大约是　 　cm．
23．如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ＝OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF、ON于点B、点C，连接AB、PB．
（1）如图1，当P、Q两点都在射线ON上时，请直接写出线段AB与PB的数量关系；
（2）如图2，当P、Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，∠MON＝60°，连接AP，设＝k，当P和Q两点都在射线ON上移动时，k是否存在最小值？若存在，请直接写出k的最小值；若不存在，请说明理由．
24．如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为6，点A、C分别在x、y正半轴上，点B在第一象限．点P是x正半轴上的一动点，且OP＝t，连结PC，将线段PC绕点P顺时针旋转90度至PQ，连结CQ，取CQ中点M．
（1）当t＝2时，求Q与M的坐标；
（2）如图2，连结AM，以AM、AP为邻边构造平行四边形APNM．记平行四边形APNM的面积为S．
①用含t的代数式表示S（0＜t＜6）．
②当N落在△CPQ的直角边上时，求∠CPA的度数；
（3）在（2）的条件下，连结AQ，记△AMQ的面积为S'，若S＝S'，则t＝　 　（直接写出答案）．
2020年浙江省绍兴市柯桥区联盟学校中考数学模拟试卷（6月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．2020的相反数是（　　）
A．﹣2020 B．2020 C． D．﹣
【分析】根据a的相反数是﹣a，可直接得结论．
【解答】解：2020的相反数是﹣2020．
故选：A．
2．一双没有洗过的手，带有各种细菌约75000万个，75000万用科学记数法表示为（　　）
A．7.5×104 B．7.5×105 C．7.5×108 D．7.5×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：75000万＝750000000＝7.5×108吨．
故选：C．
3．如图，由几个小正方体组成的立体图形的左视图是（　　）
A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
【解答】解：从物体左面看，左边2列，右边是1列．
故选：A．
4．某校九年级（1）班50名学生中有20名团员，他们都积极报名参加学校开展的“文明劝导活动”．根据要求，该班从团员中随机抽取1名参加，则该班团员京京被抽到的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】让1除以团员总数即为该班团员京京被抽到的概率．
【解答】解：全部是20名团员，抽取1名，所以被抽到的概率是．故选C．
5．下面是一位同学做的四道题①（a+b）2＝a2+b2，②（2a2）2＝﹣4a4，③a5÷a3＝a2，④a3?a4＝a12．其中做对的一道题的序号是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】根据完全平方公式、积的乘方、同底数幂的除法和乘法判断即可．
【解答】解：①（a+b）2＝a2+2ab+b2，原式错误；
②（2a2）2＝4a4，原式错误；
③a5÷a3＝a2，原式正确；
④a3?a4＝a7．原式错误；
故选：C．
6．如图，一个函数的图象由射线BA、线段BC、射线CD组成，其中点A（﹣1，2），B（1，3），C（2，1），D（6，5），则此函数（　　）
A．当x＜1时，y随x的增大而增大
B．当x＜1时，y随x的增大而减小
C．当x＞1时，y随x的增大而增大
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
【分析】根据函数图象和题目中的条件，可以写出各段中函数图象的变化情况，从而可以解答本题．
【解答】解：由函数图象可得，
当x＜1时，y随x的增大而增大，故选项A正确，选项B错误，
当1＜x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大，故选项C、D错误，
故选：A．
7．如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（　　）
A．3.5cm B．4cm C．4.5cm D．5cm
【分析】设AB＝xcm，则DE＝（6﹣x）cm，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可．
【解答】解：设AB＝xcm，则DE＝（6﹣x）cm，
根据题意，得＝π（6﹣x），
解得x＝4．
故选：B．
8．如图，半径为5的⊙P与y轴相交于M（0，﹣4），N（0，﹣10）两点，则圆心P的坐标为（　　）
A．（5，﹣4） B．（4，﹣5） C．（4，﹣7） D．（5，﹣7）
【分析】由M（0，﹣4），N（0，﹣10），即可得MN的值，然后连接PM，过点P作PE⊥MN于E，根据垂径定理可得ME的值，然后由勾股定理，即可求得PE的值，则可得圆心P的坐标．
【解答】解：∵M（0，﹣4），N（0，﹣10），
∴MN＝6，
连接PM，过点P作PE⊥MN于E，
∴ME＝NE＝MN＝3，
∴OE＝OM+EM＝4+3＝7，
在Rt△PEM，PE＝＝＝4，
∴圆心P的坐标为（4，﹣7）．
故选：C．
9．超市有一种“喜之郎”果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4cm，底面是个直径为6cm的圆，横截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，那么要制作这样一个包装盒至少纸板（　　）平方厘米．（不计重合部分）
A．253 B．288 C．206 D．245
【分析】图，“喜之郎”果冻礼盒是一长方体．2个底面为矩形A′B′C′D′（如图3），2个侧面为矩形ABCD（如图2），2个侧面是以AB为高，AE为底的矩形．
【解答】解：建立如图（2）所示的平面直角坐标系，过切点K作KH⊥OC于点H．
依题意知 K（x，2）．
易求开口向上抛物线的解析式：y＝x2，
所以 2＝x2，
解得 x＝或x＝﹣（舍去），
∴OH＝HG＝，
∴BC＝BO+OH+HG+GC＝3+++3＝6+3，
∴S矩形ABCD＝AB?BC＝4×（6+3）＝24+12（平方厘米）．
如图3，S矩形A′B′C′D′＝6BC＝6×（6+3）（平方厘米）．
所以，2S矩形ABCD+2S矩形A′B′C′D′+2AB?AE＝178+80（平方厘米）．
2×（24+12）+2×（36+18）+2×4×6＝168+60≈253（平方厘米）．
故选：A．
10．已知A地在B地的西方，且有一以A、B两地为端点的东西向直线道路，其全长为400公里，今在此道路上距离A地12公里处设置第一个广告牌，之后每往东27公里就设置一个广告牌，如图所示．若某车从此道路上距离A地19公里处出发，往东直行320公里后才停止，则此车在停止前经过的最后一个广告牌距离A地多少公里？（　　）
A．309 B．316 C．336 D．339
【分析】由于在此道路上距离A地12公里处设置第一个广告牌，之后每往东27公里就设置一个广告牌，所以第n个广告牌距离A地12+27（n﹣1），设此车停止时前面有x个广告牌，根据题意列出不等式12+27（x﹣1）≤320+19，将不等式的最大整数解代入12+27（x﹣1），计算即可．
【解答】解：设此车停止时前面有x个广告牌，根据题意得
12+27（x﹣1）≤320+19，
x≤13，
即此车停止时前面有13个广告牌，并且超过第13个广告牌3公里，
所以此车在停止前经过的最后一个广告牌距离A地320+19﹣3＝336公里，
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．因式分解：4x2﹣y2＝　（2x+y）（2x﹣y）　．
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝（2x+y）（2x﹣y），
故答案为：（2x+y）（2x﹣y）
12．不等式＞x的解集为　x＜1　．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：去分母，得：3﹣x＞2x，
移项，得：﹣x﹣2x＞﹣3，
合并同类项，得：﹣3x＞﹣3，
系数化为1，得：x＜1，
故答案为：x＜1．
13．如图，⊙O的半径为1，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，若∠BOD＝∠BCD，则的长为　π　．
【分析】根据圆周角定理、圆内接四边形的性质求出∠BOD，根据弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：由圆周角定理得，2∠BAD＝∠BOD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD＝180°﹣∠BAD，
∴180°﹣∠BAD＝2∠BAD，
解得，∠BAD＝60°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝120°，
∴的长＝＝π，
故答案为：π．
14．如图，平面直角坐标系中有正方形ABCD和正方形EFGH，若点A和点E的坐标分别为（﹣2，3），（1，﹣1），则两个正方形的位似中心的坐标是　（，0）或（4，﹣）　．
【分析】分两种情况讨论，一种是点A和E是对应顶点，B和F是对应顶点；另一种是点A和G是对应顶点，C和E是对应顶点．
【解答】解：（1）当点A和E是对应顶点，B和F是对应顶点时，位似中心就是AE与BF的交点，
如图所示：连接AE，交x轴于点N，
点N即为两个正方形的位似中心，
∵点A和点E的坐标分别为（﹣2，3），（1，﹣1），
∴AB＝3，EF＝1，BF＝1﹣（﹣2）＝3，
∵AB∥EF，
∴△ABN∽△EFN，
∴＝，
∴＝，
解得：BN＝，
∴ON＝﹣2＝，
∴两个正方形的位似中心的坐标是：（，0）．
（2）当点A和G是对应顶点，C和E是对应顶点时，位似中心就是AG与CE的交点，
如图所示：连接AG，DF，BH，CE并延长交于点M，
设AG所在直线解析式为：y＝kx+b，把A（﹣2，3），G（2，0）代入得：
故，
解得：，
故y＝﹣x+；
设BH所在直线解析式为：y＝mx+n，把B（﹣2，0），H（2，﹣1）代入得：
，
故y＝﹣x﹣，
，
解得：，
故M（4，﹣），
综上所述：两个正方形的位似中心的坐标是：（，0）或（4，﹣）．
故答案为：（，0）或（4，﹣）．
15．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，cos∠BOC＝，顶点C的坐标为（a，4），反比例函数y＝的图象与菱形对角线AO交于D点，连接BD，当BD⊥x轴时，k的值是　﹣　．
【分析】先求出OC＝5，再利用菱形的性质得到AC＝OB＝OC＝5，AC∥OB，则B（﹣5，0），A（﹣8，4），接着利用待定系数法确定直线OA的解析式为y＝﹣x，则可确定D（﹣5，），然后把D点坐标代入y＝中可得到k的值．
【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，
∵顶点C的坐标为（a，4），
∴OE＝﹣a，CE＝4，
∵cos∠BOC＝＝，
∴OE＝3，CO＝5，
∵四边形OBAC为菱形，
∴AC＝OB＝OC＝5，AC∥OB，
∴B（﹣5，0），A（﹣8，4），
设直线OA的解析式为y＝mx，
把A（﹣8，4）代入得﹣8m＝4，解得m＝﹣，
∴直线OA的解析式为y＝﹣x，
当x＝﹣5时，y＝﹣x＝，
即D（﹣5，），
把D（﹣5，）代入y＝中，
∴k＝﹣5×＝﹣，
故答案为﹣．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，BC＝，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B'DE的位置，B'D交AB于点F．若△AB'F为直角三角形，则AE的长为　6或 　．
【分析】分两种情形：①当∠AFB′＝90°时．由直角三角形的性质得出AB＝2AC＝8，求出BD＝CD＝BC＝2，由折叠的性质得：∠BFD＝90°，B'E＝BE，证明BE＝DE＝B'E，证出△BDF∽△BAC，得出＝，解得：BF＝3，设BE＝DE＝x，在Rt△EDF中，DE＝2EF，得出方程x＝2（ 3﹣x），解方程即可；
②当∠AB′F＝90°时，作EH⊥AB′交AB′的延长线于H．设AE＝x．证明Rt△ADC≌Rt△ADB′（HL），得出AC＝AB′＝4，在Rt△EHB′中，B′H＝B′E＝（8﹣x），EH＝B′H＝（8﹣x），在Rt△AEH中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：①如图1中，当∠AFB′＝90°时．
在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，AC＝4，
∴AB＝2AC＝8，
∵BD＝CD，
∴BD＝CD＝BC＝2，
由折叠的性质得：∠BFD＝90°，B'E＝BE，
∴∠BDF＝60°，
∴∠EDB＝∠EDF＝30°，
∴∠B＝∠EDB＝30°，
∴BE＝DE＝B'E，
∵∠C＝∠BFD＝90°，∠DBF＝∠ABC＝90°，
∴△BDF∽△BAC，
∴＝，即＝，
解得：BF＝3，
设BE＝DE＝x，
在Rt△EDF中，DE＝2EF，
∴x＝2（ 3﹣x），
解得：x＝2，
∴AE＝8﹣2＝6．
②如图2中，当∠AB′F＝90°时，
作EH⊥AB′交AB′的延长线于H．设AE＝x．
∵AD＝AD，CD＝DB′，
∴Rt△ADC≌Rt△ADB′（HL），
∴AC＝AB′＝4，
∵∠AB′E＝∠AB′F+∠EB′F＝90°+30°＝120°，
∴∠EB′H＝60°，
在Rt△EHB′中，B′H＝B′E＝（8﹣x），EH＝B′H＝（8﹣x），
在Rt△AEH中，∵EH2+AH2＝AE2，
∴[（8﹣x）]2+[4+（8﹣x）]2＝x2，
解得：x＝，
综上所述，满足条件的AE的值为6或 ．
故答案为：6或 ．
三．解答题
17．（1）计算：2tan60°﹣﹣（﹣2）0+（）﹣1；
（2）解方程：＝2．
【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）原式＝2﹣2﹣1+3
＝2；
（2）去分母得：x+1＝2x﹣14，
解得：x＝15，
经检验x＝15是分式方程的解．
18．《如果想毁掉一个孩子，就给他一部手机!》这是微信圈一篇热传的文章．国际上，法国教育部宣布从新学期起小学和初中禁止学生使用手机．为了解学生手机使用情况，某学校开展了“手机伴我健康行”主题活动，他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图①，②的统计图，已知“查资料”的人数是40人．
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，“玩游戏”对应的百分比为　35%　，圆心角度数是　126　度；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有学生2100人，估计每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数．
【分析】（1）由扇形统计图其他的百分比求出“玩游戏”的百分比，乘以360即可得到结果；
（2）求出3小时以上的人数，补全条形统计图即可；
（3）由每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的百分比乘以2100即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：1﹣（40%+18%+7%）＝35%，
则“玩游戏”对应的圆心角度数是360°×35%＝126°，
故答案为：35%，126；
（2）根据题意得：40÷40%＝100（人），
∴3小时以上的人数为100﹣（2+16+18+32）＝32（人），
补全图形如下：
；
（3）根据题意得：2100×＝1344（人），
则每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数约有1344人．
19．一辆汽车行驶时的耗油量为0.1升/千米，如图是油箱剩余油量y（升）关于加满油后已行驶的路程x（千米）的函数图象．
（1）根据图象，直接写出汽车行驶400千米时，油箱内的剩余油量，并计算加满油时油箱的油量；
（2）求y关于x的函数关系式，并计算该汽车在剩余油量5升时，已行驶的路程．
【分析】（1）由图象可知：汽车行驶400千米，剩余油量30升，行驶时的耗油量为0.1升/千米，则汽车行驶400千米，耗油400×0.1＝40（升），故加满油时油箱的油量是40+30＝70升．
（2）设y＝kx+b（k≠0），把（0，70），（400，300）坐标代入可得：k＝﹣0.1，b＝70，求出解析式，当y＝5 时，可得x＝650．
【解答】解：（1）由图象可知：汽车行驶400千米，剩余油量30升，
∵行驶时的耗油量为0.1升/千米，则汽车行驶400千米，耗油400×0.1＝40（升）
∴加满油时油箱的油量是40+30＝70升．
（2）设y＝kx+b（k≠0），
把（0，70），（400，30）坐标代入可得：k＝﹣0.1，b＝70
∴y＝﹣0.1x+70，
当y＝5 时，x＝650
即已行驶的路程的为650千米．
20．目前，各大城市都在积极推进公共自行车建设，努力为人们绿色出行带来方便．图（1）所示的是一辆自行车的实物图．图（2）是自行车的车架示意图．CE＝30cm，DE＝20cm，AD＝25cm，DE⊥AC于点E，座杆CF的长为15cm，点A，E，C，F在同一直线上，且∠CAB＝75°，公共自行车车轮的半径约为30cm，且AB与地面平行．
（1）求车架中AE的长；
（2）求车座点F到地面的距离．（结果精确到1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
【分析】（1）由DE⊥AC及DE，AD的长，利用勾股定理即可求出AE的长；
（2）作FG⊥AB于G，延长FG交地平线于点Q，由AE，CE，CF的长可得出FA的长，通过解直角三角形可求出FG的长，再结合FQ＝FG+GQ即可求出结论．
【解答】解：（1）∵DE⊥AC，DE＝20，AD＝25，
∴AE＝＝＝15（cm）；
（2）在图（2）中，作FG⊥AB于G，延长FG交地平线于点Q．
∵AE＝15，CE＝30，CF＝15，
∴FA＝FC+CE+EA＝15+30+15＝60．
∵sin∠CAB＝，
∴FG＝FA?sin∠CAB≈60×0.97＝58.2（cm），
∴FQ＝FG+GQ＝58.2+30＝88.2≈88（cm）．
答：车座点F到地面的距离约为88cm．
21．在Rt△ABC中，∠B＝90°，CE平分∠BCA交AB于点E，在AC上取一点O，以OC为半径的圆恰好经过点E，且分别交AC，BC于点D，F，连结DE，EF．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AD＝2，OC＝3；
①求△AEC的面积；
②求EF的长．
【分析】（1）证明∠ECO＝∠CEO，∠FCO＝∠CEO，进而求解；
（2）①证明△AEO∽△ABC，则，求出BC＝，利用S△AEC＝ AE?BC＝，即可求解；
②证明△AED∽△ECF，则，即EF＝．
【解答】解：（1）如图，连结OE，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ECO＝∠FCO，
∵OC＝OE，
∴∠ECO＝∠CEO，
∴∠FCO＝∠CEO，
∴OE∥BC，
又∵∠B＝90°，
∴∠OEA＝90°，
即AB是⊙O的切线；
（2）①∵OE∥BC，
∴△AEO∽△ABC，
∴，
∴BC＝，
∵∠OEA＝90°，
在Rt△AEO中，OA＝5，OE＝3，
∴AE＝＝＝4，
∴S△AEC＝ AE?BC＝；
②∵OE∥BC，
∴，
∴BE＝，
∴CE＝，
又∵∠AED+∠OED＝∠OED+∠OEC＝90°，
∴∠AED＝∠OEC＝∠ECF，
∵∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠EFC＝180°，
∴∠ADE＝∠EFC，
∴△AED∽△ECF，
∴，
∴EF＝．
22．如图，AB∥CD，AB＝5cm，AC＝4cm，线段AC上有一动点E，连接BE，ED，∠BED＝∠A＝60°，设A，E两点间的距离为xcm，C，D两点间的距离为ycm．
小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．
（1）列表：如表的已知数据是根据A，E两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组对应值：
x/cm 0 0.5 1 1.5 2 2.3 2.5
y/cm 0 0.39 0.75 1.07 1.33 1.45
　1.50（答案不唯一）　
x/cm 2.8 3.2 3.5 3.6 3.8 3.9
y/cm 1.53 1.42 1.17 1.03 0.63 0.35
请你补全表格；
（2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象；
（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：　当0≤x≤2.8时，y随x的增大而增大，当2.8＜x≤3.9时，y随x的增大而减小（答案不唯一）　；
（4）解决问题：当AE＝2CD时，CD的长度大约是　1.50（答案不唯一）　cm．
【分析】（1）通过取点、画图、测量可得；
（2）依据表格中的数据描点、连线即可得；
（3）观察图象即可求解；
（4）画出函数图象：y＝x，该函数图象和原函数图象交点，即为所求．
【解答】解：（1）通过画图得：当x＝2.5时，y≈1.50cm，
故答案为：1.50（答案唯一）；
（2）画出该函数的图象如下：
（3）随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势是：当0≤x≤2.8时，y随x的增大而增大，当2.8＜x≤3.9时，y随x的增大而减小（其中2.8是概略数值，答案不唯一）；
故答案为：当0≤x≤2.8时，y随x的增大而增大，当2.8＜x≤3.9时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；
（4）当AE＝2CD时，即x＝2y，则y＝x，
画出函数图象：y＝x，该函数图象和原函数图象交点，即为所求，
两个函数交点的纵坐标为：1.50，
故CD＝y＝1.50，
故答案为：1.50cm（答案不唯一）．
23．如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ＝OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF、ON于点B、点C，连接AB、PB．
（1）如图1，当P、Q两点都在射线ON上时，请直接写出线段AB与PB的数量关系；
（2）如图2，当P、Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，∠MON＝60°，连接AP，设＝k，当P和Q两点都在射线ON上移动时，k是否存在最小值？若存在，请直接写出k的最小值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）结论：AB＝PB．连接BQ，只要证明△AOB≌△PQB即可解决问题；
（2）存在．证明方法类似（1）；
（3）连接BQ．只要证明△ABP∽△OBQ，即可推出＝，由∠AOB＝30°，推出当BA⊥OM时，的值最小，最小值为0.5，由此即可解决问题；
【解答】解：（1）连接：AB＝PB．
理由：如图1中，连接BQ．
∵BC垂直平分OQ，
∴BO＝BQ，
∴∠BOQ＝∠BQO，
∵OF平分∠MON，
∴∠AOB＝∠BQO，
∵OA＝PQ，
∴△AOB≌△PQB，
∴AB＝PB．
（2）存在，
理由：如图2中，连接BQ．
∵BC垂直平分OQ，
∴BO＝BQ，
∴∠BOQ＝∠BQO，
∵OF平分∠MON，∠BOQ＝∠FON，
∴∠AOF＝∠FON＝∠BQC，
∴∠BQP＝∠AOB，
∵OA＝PQ，
∴△AOB≌△PQB，
∴AB＝PB．
（3）连接BQ．
易证△ABO≌△PBQ，
∴∠OAB＝∠BPQ，AB＝PB，
∵∠OPB+∠BPQ＝180°，
∴∠OAB+∠OPB＝180°，∠AOP+∠ABP＝180°，
∵∠MON＝60°，
∴∠ABP＝120°，
∵BA＝BP，
∴∠BAP＝∠BPA＝30°，
∵BO＝BQ，
∴∠BOQ＝∠BQO＝30°，
∴△ABP∽△OBQ，
∴＝，
∵∠AOB＝30°，
∴当BA⊥OM时，的值最小，最小值为0.5，
∴k＝0.5．
24．如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为6，点A、C分别在x、y正半轴上，点B在第一象限．点P是x正半轴上的一动点，且OP＝t，连结PC，将线段PC绕点P顺时针旋转90度至PQ，连结CQ，取CQ中点M．
（1）当t＝2时，求Q与M的坐标；
（2）如图2，连结AM，以AM、AP为邻边构造平行四边形APNM．记平行四边形APNM的面积为S．
①用含t的代数式表示S（0＜t＜6）．
②当N落在△CPQ的直角边上时，求∠CPA的度数；
（3）在（2）的条件下，连结AQ，记△AMQ的面积为S'，若S＝S'，则t＝　或　（直接写出答案）．
【分析】（1）过点Q作QD⊥x轴于点D，证△COP≌△PDQ（AAS），得OP＝QD＝2，OC＝PD＝6，则OD＝OP+PD＝8，得Q（8，2），再由中点坐标公式得M（4，4）；
（2）①由全等三角形的性质得OP＝OQ＝t，OC＝PD＝6，则OD＝t+6，得Q（t+6，t），再由中点坐标公式得M（，），由平行四边形面积公式即可得出答案；
②分两种情况：当N在PC上时，连接OB、PM，先证△COM≌△AOM（SAS），得CM＝AM，再证PM＝AM，然后证AM⊥PQ，得∠PMA＝∠QMA＝45°，最后由等腰三角形的性质得∠MPA＝67.5°，即可得出答案；
当N在PQ上时，连接PM、OM，同理可证MA＝MP，∠AMP＝45°，∠MPA＝67.5°，则∠CPA＝67.5﹣45＝22.5°；
（3）过点M作MH⊥x轴于点H，过点Q作QG⊥x轴于点G，分两种情况：①当0＜t＜6时，即点AP在点A左侧时；②当t＞6时，即点P在点A右侧时；由面积关系得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）过点Q作QD⊥x轴于点D，如图1所示：
∵OP＝t，t＝2，
∴OP＝2，
∵正方形的边长为6，
∴OC＝6，
∴C（0，6），
由旋转的性质得：CP＝PQ，∠CPQ＝90°，
∴∠CPO+∠QPD＝90°，
∵∠QPD+∠PQD＝90°，
∴∠CPO＝∠PQD，
在△COP和△PDQ中，
，
∴△COP≌△PDQ（AAS），
∴OP＝QD＝2，OC＝PD＝6，
∴OD＝OP+PD＝8，
∴Q（8，2），
∵M是CQ的中点，C（0，6），
∴M（4，4）；
（2）①∵△COP≌△PDQ，
∴OP＝OQ＝t，OC＝PD＝6，
∴OD＝t+6，
∴Q（t+6，t），
∵C（0，6），
∴M（，），
当0＜t＜6时，S＝AP×yM＝（6﹣t）×＝；
②分两种情况：
a、当N在PC上时，连接OB、PM，如图2﹣1所示：
∵点M的横、纵坐标相等，
∴点M在对角线BD上，
∵四边形OABC是正方形，
∴OC＝OA，∠COM＝∠AOM，
又∵OM＝OM，
∴△COM≌△AOM（SAS），
∴CM＝AM，
在Rt△CPQ中，CP＝PQ，M为CQ的中点，
∴PM⊥CQ，∠CPM＝∠MPQ＝45°，PM＝CQ＝CM＝MQ，
∴PM＝AM，
∵点N在PC上，四边形APNM是平行四边形，
∴NP∥AM，
∵∠CPQ＝90°，
∴NP⊥PQ，
∴AM⊥PQ，
∴∠PMA＝∠QMA＝45°，
又∵PM＝AM，
∴∠MPA＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠CPA＝45°+67.5＝112.5°；
b、当N在PQ上时，连接PM、OM，如图2﹣2所示：
同理可证MA＝MP，∠AMP＝45°，
∴∠MPA＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠CPA＝67.5﹣45＝22.5°；
综上所述，当点N在△CPQ的直角边上时，∠CPA的度数为112.5°或22.5°；
（3）过点M作MH⊥x轴于点H，过点Q作QG⊥x轴于点G，
∵S△AMQ＝S梯形MHGQ﹣S△AHM﹣S△AGQ，
∴S'＝（+t）?﹣（6﹣）?﹣t?t＝3t，
①当0＜t＜6时，即点AP在点A左侧时，如图3所示：
∵S＝S'，
∴＝3t，
解得：t＝﹣3+3，或t＝﹣3﹣3（舍去）；
②当t＞6时，即点P在点A右侧时，如图4所示：
S＝AP×yM＝（t﹣6）×＝，
∵S＝S'，
∴＝3t，
解得：t＝3+3，或t＝3﹣3（舍去）；
综上所述，t的值为或，
故答案为：或．

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