资源简介

18.1 勾股定理
第18章 勾股定理
第1课时 勾股定理
2020-2021学年度沪科版八年级下册
1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一 些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想.（重点）
2.会用勾股定理进行简单的计算 .（难点）
学习目标
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了A、B、C面积之间的数量关系进而发现直角三角形三边的某种数量关系．
数学家毕达哥拉斯的小故事
毕达哥拉斯
A
B
C
看似平淡无奇的现象有时却隐藏着深刻的道理
新课导入
A
B
C
发现: 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.即我们惊奇地发现，等腰直角三角形的三边之间有一种特殊的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和.
思考：你能发现图中的等腰直角三角形有什么性质吗？
活动：探究勾股定理与图形的面积
探究新知
一般直角三角形也有上述性质吗？
A
B
C
图1-1
A
B
C
图1-2
图中每个小方格的面积均为1，请分别计算出图①、②中A、B、C的面积，看看能得出什么结论.
图①
图②
A
B
A
B
C
C
A的
面积
B的
面积
C的
面积
图①
图②
16
9
25
4
9
13
正方形面积间的关系：SA+SB=SC
　　
怎样得到正方形C的面积？与同伴交流交流．
A
B
C
图1-1
图①
A
B
C
a
b
c
正方形面积间的关系：SA+SB=SC
猜想：直角三角形三边之间的关系，即：两直角边的平方和等于斜边的平方.
设：直角三角形的三边长分别是a、b、c
SA+SB=SC
a2+b2=c2
命题1 如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
a
b
c
我们的猜想
我国汉代的数学家赵爽指出：四个全等的直角三角形如下拼成一个中空的正方形.
赵爽弦图
c
b
a
黄
实
朱实
赵爽
请同学们拿出已准备的四个全等直角三角形动手拼一拼！
a
b
a
b
c
a
b
c
c2
b2
a2
=
+
这种用拼图的验证勾股定理的方法叫做弦图法
温馨提示：上述这种验证勾股定理的方法是用面积法
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲。因为，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.
a
b
c
S大正方形＝c2
S小正方形＝（b-a）2
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形
赵爽弦图
证明：
b-a
在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.
(a、b、c为正数)
勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
公式变形：
勾
股
弦
即：勾2+股2=弦2
前提条件
知识要点
例1 求下列直角三角形中未知边的长:
8
x
17
16
20
x
12
5
x
温馨提示：已知直角三角形的两边长，求第三边长时，应选用勾股定理变形公式直接代入计算较为快捷准确！
x=15
x=12
x=13
例2 已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,则BC= .
5 或
4
3
A
C
B
4
3
C
A
B
温馨提示：当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下，一定要进行分类讨论，否则容易丢解.
在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.
a、b、c为正数
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
公式变形：
勾股定理
a
b
c
归纳总结
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
勾
股
勾2+股2=弦2
小贴士
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a=b=5,求c;
（2）若a=1,c=2,求b.
解：
(1)据勾股定理得
(2)据勾股定理得
利用勾股定理进行计算
C
A
B
探究新知
（1）若a：b=1：2 ，c=5,求a;
（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.
【变式题1】在Rt△ABC中， ∠C=90°.
解：
(1)设a=x,b=2x,根据勾股定理建立方程得
x2+(2x)2=52，
解得
(2)
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得
(2x)2-x2=152，
解得
已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.
归纳
【变式题2】 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图?，
当BC为斜边时，如图?，
4
3
A
C
B
4
3
C
A
B
图?
图?
当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.
归纳
例2 已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.
解：由勾股定理可得
AB2=AC2+BC2=25，
即 AB=5.
根据三角形面积公式，
∴ AC×BC= AB×CD.
∴ CD= .
A
D
B
C
3
4
由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．
归纳
练一练
求下列图中未知数x、y的值：
解：由勾股定理可得
81+ 144=x2，
解得x=15.
解：由勾股定理可得
y2+ 144=169，
解得 y=5
1.下列说法中,正确的是 （ ）
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
C
2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .
8 cm
10 cm
36 cm?
课堂练习
3.在△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=15，b=8，则c= .
（2）若c=13，b=12，则a= .
4.若直角三角形中，有两边长是6和8，则第三边长
的平方为_________.
17
5
28或100
5.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三角形的面积.
解：设另一条直角边长是x cm.
由勾股定理得152+ x2 =172，
即x2=172-152=289–225=64，
∴ x=±8（负值舍去），
∴另一直角边长为8 cm，
直角三角形的面积是
(cm2).
6.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周长．
解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°．
在Rt△ADB中，∵∠B+∠BAD=90°，∠B=45°，
∴∠B=∠BAD=45°，
∴BD=AD=1，∴AB= ．
在Rt△ADC中，∵∠C=30°，
∴AC=2AD=2，
∴CD= ，∴BC=BD+CD=1+ ，
∴AB+AC+BC= ．
┑
解：∵AE＝BE，
∴S△ABE＝ AE·BE＝ AE2.
又∵AE2＋BE2＝AB2，
∴2AE2＝AB2，
∴S△ABE＝ AB2＝ ；
同理可得S△AHC＋S△BCF＝ AC2＋ BC2.
又∵AC2＋BC2＝AB2，
∴阴影部分的面积为 AB2＝ .
7.如图，以Rt△ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，求△ABE及阴影部分的面积.
勾股定理
内容
在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.
注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论
课堂小结
谢谢聆听

展开更多......

收起↑