资源简介 18.2 勾股定理的逆定理 第2课时 勾股定理逆定理的应用 第18章 勾股定理 2020-2021学年度沪科版八年级下册 1.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.(重点) 2.将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.(难点) 学习目标 1.勾股定理的逆定理的内容: 如果三角形的三边长a,b,c满足 ,那么这个三角形是直角三角形. a2+b2=c2 3.在△ABC中,AB=7,BC=24,AC=25.则 =90?. ∠B 2.三角形三边长分别为8,15,17,那么最短边上 的高为( ) B 复习导入 1 2 勾股定理的逆定理的应用 例1 如图,某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处,且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗? N E P Q R 探究新知 问题1 认真审题,弄清已知是什么?要解决的 问题是什么? 1 2 N E P Q R 16×1.5=24 12×1.5=18 30 “远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离已知,如图. 问题2 由于我们现在所能得到的都是线段长,要求角,由此你联想到了什么? 实质是要求出两艘船航 向所成角. 勾股定理逆定理 解:根据题意得 PQ=16×1.5=24(海里), PR=12×1.5=18(海里), QR=30海里. ∵242+182=302,即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°. ∴∠2=45°,即“海天”号沿西北方向航行. N E P Q R 1 2 解决实际问题的步骤:?构建几何模型(从整体到局部);?标注有用信息,明确已知和所求;?应用数学知识求解. 归纳 【变式题】 如图,南北方向PQ以东为我国领海,以西为公海,晚上10时28分,我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近,便立即通知下在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向,经检测,AC=10海里,BC=8海里,AB=6海里,若该船只的速度为12.8海里/时,则可疑船只最早何时进入我领海? 东 北 P A B C Q D 分析:根据勾股定理的逆定可得△ABC是直角三角形,然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求PD,然后再利用勾股定理便可求CD. 解:∵AC=10,AB=6,BC=8, ∴AC2=AB2+BC2, 即△ABC是直角三角形. 设PQ与AC相交于点D,根据三 角形面积公式有 BC·AB= AC·BD, 即6×8=10BD,解得BD= 在Rt△BCD中, 又∵该船只的速度为12.8海里/时, 6.4÷12.8=0.5(小时)=30(分钟), ∴需要30分钟进入我领海,即最早晚上10时58分进入我领海. 东 北 P A B C Q D 例2 一个零件的形状如图?所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图?所示,这个零件符合要求吗? D A B C 4 3 5 13 12 D A B C 图? 图? 在△BCD中, ∴△BCD 是直角三角形,∠DBC是直角. ∴这个零件符合要求. 解:在△ABD中, ∴△ABD 是直角三角形,∠A是直角. D A B C 4 3 5 13 12 图? 引例 判断以线段a,b,c为边组成的三角形是否是直角三角形,其中a= ,b=1, c= . 小明的解法是: 请问小明的解法对吗?如对,请说明其依据是什么?如不对,错在哪里?写出正确的解答过程. 合作探究 活动:探究用勾股定理的逆定理的应用 ∴a2 +b2 ≠c2 答:不对,错在没有分清最长边. 正确解答如下: 判断a,b,c能否构成直角三角形,必须判断两较小边的平方和是否等于最长边的平方和.不能简单地看某两边的平方和是否等于第三边的平方,否则容易作出误判. 勾股定理逆定理使用“误区” 勾股定理及其逆定理使用方法 解题时,注意勾股定理及其逆定理运用的区别.勾股定理是在直角三角形中运用的,而勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否是直角三角形的. 知识要点 例1 已知:如图,四边形ABCD中,∠B=900,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积? A D B C 3 4 13 12 连接AC,把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度,再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形. 提示 例2 已知:如图,四边形ABCD中,∠B=900,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积? A D B C 3 4 13 12 连接AC. 解: 例3 如图,南北方向PQ以东为我国领海,以西为公海,晚上10时28分,我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近,便立即通知下在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向,经检测,AC=10海里,BC=8海里,AB=6海里,若该船只的速度为12.8海里/小时,则可疑船只最早何时进入我领海? 东 北 P A B C Q D 分析:根据勾股定理的逆定可得出△ABC是直角三角形,然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求出PD的值,然后再利用勾股定理便可求出CD的长. 东 北 P A B C Q D 解:∵AC=10,AB=6,BC=8, ∴AC2=AB2+BC2, 即△ABC是直角三角形。 设PQ与AC相交于点D,根据三角形 面积公式有BC·AB=AC·BD 即6×8=10BD,解得BD=24/5 在Rt△BCD中, 又∵该船只的速度为12.8海里/小时, ∴需要6.4÷12.8=0.5(小时)=30(分钟)进入我领海, 即最早晚上10时58分进入我领海. 解题反思: 找出CD是为该船只进入我领海的最短路线,也就是解题的关键所在.在解决航海的问题上,南北方向和东西方向是互相垂直的,可知PQ⊥AC,又由△ABC三边的数量关系可判定△ABC是直角三角形,于是本题便构造成直角三角形应用勾及其逆定理. 1.A、B、C三地的两两距离如图所示,A地在B地的正东方向,C在B地的什么方向? A B C 5cm 12cm 13cm 解:∵ BC2+AB2=52+122=169, AC2 =132=169, ∴BC2+AB2=AC2, 即△ABC是直角三角形, ∠B=90°. 答:C在B地的正北方向. 练一练 2.如图,是一农民建房时挖地基的平面图,按标准应为长方形,他在挖完后测量了一下,发现AB=DC=8m,AD=BC=6m,AC=9m,请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格? 解:∵AB=DC=8m,AD=BC=6m, ∴AB2+BC2=82+62=64+36=100. 又∵AC2=92=81, ∴AB2+BC2≠AC2, ∴∠ABC≠90°, ∴该农民挖的不合格. 例3 如图,四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积. 解析:连接AC,把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度,再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形. A D B C 3 4 13 12 勾股定理及其逆定理的综合应用 探究新知 解:连接AC. A D B C 3 4 13 12 在Rt△ABC中, 在△ACD中, AC2+CD2=52+122=169=AD2, ∴△ACD是直角三角形, 且∠ACD=90°. ∴S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36. 四边形问题对角线是常用的辅助线,它把四边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时,它与勾股定理是“黄金搭挡”,经常配套使用. 归纳 【变式题1】 如图,四边形ABCD中,AB⊥AD,已知AD=3cm,AB=4cm,CD=12cm,BC=13cm,求四边形ABCD 的面积. 解:连接BD. 在Rt△ABD中, 由勾股定理得 BD2=AB2+AD2, ∴BD=5m. 又∵ CD=12cm,BC=13cm, ∴ BC2=CD2+BD2,∴△BDC是直角三角形. ∴S四边形ABCD=SRt△BCD-SRt△ABD= BD?CD- AB?AD = × (5×12-3×4)=24 (cm2). C B A D 【变式题2】 如图,在四边形ABCD中,AC⊥DC,△ADC的面积为30 cm2,DC=12 cm,AB=3cm,BC=4cm,求△ABC的面积. 解: ∵ S△ACD=30 cm2,DC=12 cm. ∴ AC=5 cm. 又∵ ∴△ABC是直角三角形, ∠B是直角. ∴ D C B A 例4 如图,△ABC中,AB=AC,D是AC边上的一点,CD=1,BC= 5 ,BD=2. (1)求证:△BCD是直角三角形; (2)求△ABC的面积. (1)证明:∵CD=1,BC= 5 ,BD=2, ∴CD2+BD2=BC2, ∴△BDC是直角三角形. (2)解:设腰长AB=AC=x, 在Rt△ADB中,∵AB2=AD2+BD2, ∴x2=(x-1)2+22, 解得 用到了方程的思想 1. 医院、公园和超市的平面示意图如图所示,超市在医院的南偏东25°的方向,且到医院的距离为300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m,则公园在医院的北偏东 的方向. 东 医院 公园 超市 北 65° 课堂练习 2.五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形,其中摆放方法正确的是 ( ) A. B. C. D. D 3.如图,某探险队的A组由驻地O点出发,以12km/h的速度前进,同时,B组也由驻地O出发,以9km/h的速度向另一个方向前进,2h后同时停下来,这时A,B两组相距30km.此时,A,B两组行进的方向成直角吗?请说明理由. 解:∵出发2小时,A组行了12×2=24(km),B组行了9×2=18(km), 又∵A,B两组相距30km, 且有242+182=302, ∴A,B两组行进的方向成直角. 4.如图,在△ABC中,AB=17,BC=16,BC边上的中线AD=15,试说明:AB=AC. 解:∵BC=16,AD是BC边上的中线, ∴BD=CD= BC=8. ∵在△ABD中, AD2+BD2=152+82=172=AB2, ∴△ABD是直角三角形,即∠ADB=90°. ∴△ADC是直角三角形. 在Rt△ADC中, ∴AB=AC. 5.在寻找某坠毁飞机的过程中,两艘搜救艇接到消息,在海面上有疑似漂浮目标A、B.于是,一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O(如图)沿北偏东40°的方向向目标A的前进,同时,另一艘搜救艇也从港口O出发,以12海里/时的速度向着目标B出发,1.5小时后,他们同时分别到达目标A、B.此时,他们相距30海里,请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度? 解:根据题意得OA=16×1.5=24(海里), OB=12×1.5=18(海里), ∵OB2+OA2=242+182=900,AB2=302=900, ∴OB2+OA2=AB2, ∴∠AOB=90°. ∵第一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O(如图)沿北偏东40°的方向向目标A的前进, ∴∠BOD=50°, 即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度. 解:设AB为3xcm,BC为4xcm,AC为5xcm, ∵周长为36cm,即AB+BC+AC=36cm, ∴3x+4x+5x=36,解得x=3. ∴AB=9cm,BC=12cm,AC=15cm. ∵AB2+BC2=AC2, ∴△ABC是直角三角形, 过3秒时,BP=9-3×2=3(cm),BQ=12-1×3=9(cm), 在Rt△PBQ中,由勾股定理得 6.如图,在△ABC中,AB:BC:CA=3:4:5且周长为36cm,点P从点A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动,点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动,如果同时出发,则过3秒时,求PQ的长. 勾股定理的逆定理的应用 应用 航海问题 方法 认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题 与勾股定理结合解决不规则图形等问题 课堂小结 谢谢聆听 展开更多...... 收起↑ 资源预览