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2020-2021学年人教版七年级数学下册培优训练
平行线与三角板以及折叠类问题的综合
一．选择题
1．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝60°15′，则∠2的大小为（　　）
A．60°15′ B．39°45′ C．29°85′ D．29°45′
2．如图，已知平行线a，b，一个直角三角板的直角顶点在直线a上，另一个顶点在直线b上，若∠1＝70°，则∠2的大小为（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
3．如图，已知m∥n，将含30°的直角三角板如图放置，若∠1＝40°，则∠2＝（　　）
A．40° B．30° C．20° D．10°
4．如图，直线a∥b∥c，直角三角板的直角顶点落在直线b上．若∠1＝35°，则∠2等于（　　）
A．115° B．125° C．135° D．145°
5．如图，长方形ABCD（四个角都是90°）沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF＝50°，则∠DAE等于（　　）
A．20° B．25° C．30° D．40°
6．如图，将长方形纸片ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠GHC＝110°，则∠AGE等于（　　）
A．55° B．45° C．40° D．25°
7．如图，将一副三角板按如图放置，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝45°，∠E＝60°，则下列结论正确的有（　　）个．
①∠1＝∠3；
②∠CAD+∠2＝180°；
③如果∠2＝30°，则有AC∥DE；
④如果∠2＝30°，则有BC∥AD．
A．4 B．3 C．2 D．1
8．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图2：当∠CAE＝60°时，BC∥DE．则∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其它所有可能符合条件的度数为（　　）
A．75°和105° B．90°和135°
C．90°，105°和150° D．90°，120°和150°
二．填空题
9．如图，一块直角三角板的两锐角的顶点刚好落在平行线11，l2上，已知∠C是直角，则∠1+∠2的度数等于　 　．
10．如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线a上，若∠1＝30°，则∠2等于　 　．
11．一副三角板按如图所示放置，AB∥DC，则∠CAE的度数为　 　．
12．如图，把一把直尺放在含30度角的直角三角板上，量得∠1＝56°，则∠2的度数是　 　．
13．如图，将一副三角板按如图所示放置，∠CAB＝∠DAE＝90°，∠C＝45°，∠E＝30°，则下列结论中：①∠1＝∠3＝45°；②若AD平分∠CAB，则有BC∥AE；③若AB平分∠DAE，则有BC∥AE；④若∠3＝2∠2，则∠C＝∠4；其中结论正确的选项有　 　．
三．解答题
14．如图1是一张长方形的纸带，将这张纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3．
（1）若∠DEF＝20°，请你求出图3中∠CFE度数；
（2）若∠DEF＝a，请你直接用含a的式子表示图3中∠CFE的度数．
15．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．
如图2：当角∠CAE＝60°时，BC∥DE．
求其它所有可能符合条件的角∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）的度数，画出对应的图形并证明．
16．在一副三角板ABC和DEF中，点C与F重合，∠ACB＝∠D＝90°，∠A＝30°，∠E＝45°．
（1）如图①，若AB∥CD，求∠DCB的度数，并说明理由；
（2）如图②，若点B在CD上时，判断DE与AC的位置关系，并说明理由；
（3）如图③，若AB∥EC，求∠DCB的度数，并说明理由．
17．综合与实践．
问题情境：
如图1，是一副三角尺，三角尺ABC中，∠C＝90°，∠A＝∠B＝45°，三角尺DEF中，∠F＝90°，∠D＝30°，∠E＝60°．数学活动课上，同学们用一副三角尺展开了探究活动，同学们发现可以用平行线的知识计算三角尺摆放过程中出现的一些角度，和探究一些角之间的数量关系．
如图2，将两个三角尺如图摆放，使点A与点F重合，点E在AC上，AB与DE相交于点G，求∠BGD的度数．
智慧小组的解法如下：
解：过点G作GH∥DF
∵GH∥DF
∴∠D＝∠HGD（依据1）
∵∠C+∠DFE＝90°+90°＝180°
∴BC∥DF
又∵GH∥DF
∴GH∥BC（依据2）
∴∠B＝∠BGH
∴∠BGD＝∠BGH+∠HGD＝∠B+∠D＝45°+30°＝75°
反思交流：
（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：　 　；
依据2：　 　；
（2）如图3，将两个三角尺如图摆放，使点C与点F重合，点A在DF上，点E在BC上，AB与DE相交于点G，请用平行线的知识求∠AGD的度数．
（3）如图4，将三角尺ABC的直角顶点放在直线MN上，使AB∥MN，三角尺DEF的顶点E也在直线MN上，DF与AB相交于P，则∠DEM与∠DPB有怎样的数量关系？说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：如图，
由直尺两边平行，可得：∠1＝∠3＝60°15'，
∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣60°15'＝29°45'，
故选：D．
2．解：∵a∥b，∠1＝70°
∴∠3＝70°，
∵直角三角板的直角顶点在直线a上，
∴∠2＝90°﹣∠3＝20°，
故选：B．
3．解：∵∠C＝90°，∠1＝40°，
∴∠3＝180°﹣∠C﹣∠1＝50°，
∵m∥n，
∴∠4＝∠3＝50°，
∵∠A＝30°，
∴∠2＝20°，
故选：C．
4．解：如图所示，∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝35°，
又∵∠3+∠4＝90°，
∴∠4＝55°，
∴∠5＝180°﹣∠4＝125°，
又∵b∥c，
∴∠2＝∠5＝125°，
故选：B．
5．解：根据翻折不变性设∠DAE＝∠FAE＝x度，
又∵∠BAF＝50°，
∠BAD＝90°，
∴x+x+50°＝90°，
解得x＝20
∴∠EAD＝20°．
故选：A．
6．解：∵AD∥BC
∴∠DGH+∠GHC＝180°，且∠GHC＝110°
∴∠DGH＝70°
∵将长方形纸片ABCD沿GH折叠，
∴∠DGH＝∠EGH＝70°
∴∠AGE＝180°﹣∠DGH﹣∠EGH＝40°
故选：C．
7．解：∵∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3，
故①正确；
∵∠CAD+∠2＝∠1+∠2+∠3+∠2＝90°+90°＝180°，
故②正确；
∵∠2＝30°，
∴∠1＝60°＝∠E，
∴AC∥DE，
故③正确；
∵∠2＝30°，
∴∠3＝60°≠∠B，
∴BC与AD不平行，
故④不正确；
故选：B．
8．解：当AC∥DE时，∠CAE＝∠E＝90°；
当BC∥AD时，∠CAE＝180°﹣∠C﹣∠DAE＝180°﹣30°﹣45°＝105°；
当BC∥AE时，∵∠EAB＝∠B＝60°，
∴∠CAE＝∠CAB+∠EAB＝90°+60°＝150°；
故选：C．
二．填空题
9．解：如图，∵AD∥BE，
∴∠DAB+∠ABE＝180°，
又∵∠C是直角，
∴∠CAB+∠ABC＝90°，
∴∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°，
故答案为：90°．
10．解：给各角标上序号．
∵∠1+∠3+∠4＝180°，∠1＝30°，∠3＝90°，
∴∠4＝60°．
∵a∥b，
∴∠2＝∠4＝60°．
故答案为：60°．
11．解：由图可知，
∠1＝45°，∠2＝30°，
∵AB∥DC，
∴∠BAE＝∠1＝45°，
∴∠CAE＝∠BAE﹣∠2＝45°﹣30°＝15°，
故答案为：15°．
12．解：
∵把一把直尺放在含30度角的直角三角板上，
∴a∥b，
∴∠1＝∠3＝56°，
∴∠4＝180°﹣∠3＝180°﹣56°＝124°，
∴∠5＝360°﹣∠4﹣90°﹣30°＝360°﹣124°﹣90°﹣30°＝116°，
∴∠2＝∠5＝116°，
故答案为：116°．
13．解：①如图，∵∠CAB＝∠DAE＝90°，即∠1+∠2＝∠3+∠2+90°；
∴∠1＝∠3≠45°，
故①不正确；
②∵AD平分∠CAB
∴∠1＝∠2＝45°，∵∠1＝∠3
∴∠3＝45°，又∵∠C＝∠B＝45°，
∴∠3＝∠B
∴BC∥AE；
故②正确；
③∵AB平分∠DAE，
∴∠2＝∠3＝45°
∴∠3＝∠B，
∴BC∥AE；
故③正确；
④∵∠3＝2∠2，∠1＝∠3，
∴∠1＝2∠2，∠1+∠2＝90°，
∴3∠2＝90°，∴∠2＝30°，
∴∠3＝60°，又∠E＝30°，
设DE与AB交于点F，则∠AFE＝90°，
∵∠B＝45°，∴∠4＝45°，
∴∠C＝∠4．
故④正确．
故答案为②③④．
三．解答题
14．解：（1）∵长方形对边AD∥BC，
∴CF∥DE，
∴图1中，∠CFE＝180°﹣∠DEF＝180°﹣20°＝160°，
∵长方形对边AD∥BC，
∴∠BFE＝∠DEF＝20°，
∴图2中，∠BFC＝160°﹣20°＝140°，
由翻折的性质得，图3中∠CFE+∠BFE＝∠BFC，
∴图3中，∠CFE+20°＝140°，
∴图3中，∠CFE＝120°．
（2）∵长方形对边AD∥BC，
∴CF∥DE，
∴图1中，∠CFE＝180°﹣∠DEF＝180°﹣a，
∵长方形对边AD∥BC，
∴∠BFE＝∠DEF＝a，
∴图2中，∠BFC＝180°﹣2a，
由翻折的性质得，图3中∠CFE+∠BFE＝∠BFC，
∴图3中，∠CFE+a＝180°﹣2a，
∴图3中，∠CFE＝180°﹣3a．
15．解：当AC∥DE时，如图所示：
则∠CAE＝∠E＝90°；
当BC∥AD时，如图所示：
则∠CAE＝180°﹣∠C﹣∠DAE＝180°﹣30°﹣45°＝105°；
当BC∥AE时，
∵∠EAB＝∠B＝60°，
∴∠CAE＝∠CAB+∠EAB＝90°+60°＝150°；
综上所述：∠CAE的度数为90°或105°或150°．
16．解：（1）∵AB∥CD，
∴∠DCB＝∠ABC＝60°．
（2）DE∥AC．理由如下：
∵∠CDE＝∠ACB＝90°，
∴DE⊥CD，AC⊥BC，
∵CD与CB重合，
∴DE⊥BC，AC⊥BC，
∴DE∥AC；
（3）∵AB∥EC，
∴∠ABC＝∠BCE＝60°，
又∵∠DCE＝45°，
∴∠DCB＝∠BCE﹣∠DCE＝15°．
17．解：（1）依据1：两直线平行，内错角相等；
依据2：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行．
故答案为：两直线平行，内错角相等；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行；
（2）过点G作GH∥DF，如图2所示，
∴∠HGA＝∠CAG＝45°，∠HGD＝∠D＝30°，
∴∠AGD＝∠HGA﹣∠HGD＝45°﹣30°＝15°；
（3）∠DEM﹣∠DPB＝30°，理由如下：
过点D作DH∥MN，如图3所示，
则∠HDE＝∠DEM，
∵AB∥MN，
∴DH∥AB，
∴∠HDP＝∠DPB，
∵∠HDE﹣∠HDP＝∠EDF，且∠EDF＝30°，
∴∠DEM﹣∠DPB＝30°．

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