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求函数解析式的基本方法
四川省巴中市第二中学 伏学武 636000 电话 13881660109
[摘要] 众所周知,函数的解析式对于研究函数的性质起着极大的作用。因此,求函数的解析式是一个极其重要的问题。高中教材中没有全面系统地阐述求函数解析式的方法,学生们碰到这一间题常常一筹莫展。现就求函数解析式的基本方法总结如下,共大家参考。
[关键词] 求函数解析式 基本方法
一、配凑法
已知f[g(x)]=F(x)，求f(x)的解析式。当已知的表达式比较简单时，可用配凑法。
　　例1.已知f(x+1)=x2+2x，求f(x)。
　　分析：函数的解析式y=f(x)是自变量x确定y值的关系式，其实质是对应法则f：x→y，因此解决这类问题的关键是弄清对“x”而言，“y”是怎样的规律。
　　解：∵f(x+1)=x2+2x=(x+1)2-1
　　 ∴f(x)=x2-1
小结：此种解法为配凑法，通过观察、分析，将右端“x2+2x”变为接受对象“x+1”的表达式，即变为含(x+1)的表达式，这种解法对变形能力、观察能力有一定的要求。
二、换元法
已知f[g(x)]=F(x)，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t，由此能解出x=h(t)，将x=h(t)代入f[g(x)]=F(x)中，求得f(t)的解析式，再用x替换t，便得f(x)的解析式。。
例2. 已知，求。
解：令，
∴。
注意：换元后要确定新元t的取值范围。
三、待定系数法
已知函数解析式的类型，如一次函数、二次函数等，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法。
例3.已知一次函数f(x)满足f[f(x)]=4x+3,求f(x).
解：∵f(x) 一次函数 ∴设f(x)=ax+b
从而f[f(x)]= af(x)+b= a(ax+b)+b=a2x+ab+b
又已知f[f(x)]=4x+3，比较得：
∴f(x)=2x+1或 f(x)=－2x－3
小结：我们只要明确所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，设法求出其系数即可得到结果。类似的已知f(x)为一次函数时，可设f(x)=ax+b(a≠0)；f(x)为反比例函数时，可设f(x)=(k≠0)；f(x)为二次函数时，根据条件可设
　　①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
　　②顶点式：f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)
　　③双根式：f(x)=a(x1)(x-x2)(a≠0)
四、方程组法
根据题意，通过建立方程组求函数解析式的方法。
例4. 已知定义在R上的函数满足，求的解析式。
解：， ①
②
得，
∴。
评注：方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程。
五、赋值法
通过对某变量取特殊值求函数解析式的方法，主要适用于抽象函数。
例5. 已知函数的定义域为R，并对一切实数x，y都有，求的解析式。
解：令，
令，即，
∴
六、函数性质法
利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等求函数解析式的方法。
例6. f(x)是R上的偶函数，其图象关于直线x=2对称，且当x∈(-2，2)时，f(x)=-x2+1，则当x∈(-6，-2)时，求f(x)的解析式。
　　分析：解此题的关键是根据条件，把要求区间上的自变量取值转化到已知区间上。
　　解：∵f(x)的图象关于直线x=2对称 ∴f(x)=f(4-x)
　　∵f(x)为偶函数 ∴f(x)=f(-x)
　　∴f(4-x)=f(-x)，　即f(4+x)=f(x)
　　∴f(x)的周期T=4
　　设x∈(-6，-2) ，则x+4∈(-2，2)
　　∴f(x)=f(x+4)=-(x+4)2+1=-x2-8x-15
　　故当x∈(-6，-2)时，f(x)=-x2-8x-15
小结：当然法无定法，我们还具体问题具体分析，灵活的应用各种方法，才可能达到事半功倍的效果。
　
　

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