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(共22张PPT)
第26章：反比例函数
人教版·九年级下册
26.1.2
反比例函数的图像和性质（2）
　　问题1
下列反比例函数：①
；②
；③
；④
．
（1）图象位于第一、第三象限的是_________；
（2）图象位于第二、第四象限的是_________．
在回答这个问题之前，我们首先来看下面几个问题：
导入新课
答案：（1）k值分别是①-2；②
；③
；④
．
（1）上述四个函数中，k值分别是多少？
（2）当k＞0时，反比例函数的图象分别位于第几象限？
（3）当k＜0时，反比例函数的图象分别位于第几象限？
（2）第一、第三象限．
（3）第二、第四象限．
前面两个问题的答案是：（1）②④；（2）①③．
导入新课
　　问题2
在反比例函数：①
；②
；
③　　　
；④
的图象上，（x1，y1），
（x2，y2）是其图象上同一象限内的点．
（1）若x1＜x2，则y1＜y2的函数是________；
（2）若x1＜x2，则y1＞y2的函数是________．
　　在回答这个问题之前，我们首先来看下面几个问题：
新课讲解
　　（1）反比例函数
，
的图象位于哪几个象限？y随x的变化趋势是什么？
　　（2）反比例函数
，
的图象位于哪几个象限？y随x的变化趋势是什么？
新课讲解
　　答案：
　　（1）位于第二、第四象限；在每一个象限内，y随x的增大而增大．
　　（2）位于第一、第三象限；在每一个象限内，y随x的增大而减小．
　　最后得出前面两个问题的答案是：
　　（1）①③；（2）②④．
新课讲解
x
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
O
–6
6
y
–6
6
　　问题3
（1）在双曲线
上取点（4，1.5），过该点分别作x轴，y轴的垂线，所得矩形的面积是多少？
新课讲解
x
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
O
–6
6
y
–6
6
　　问题3
（2）在双曲线
上取点（-3，-2），过该点分别作x轴，y轴的垂线，所得矩形的面积是多少？
新课讲解
　　问题3
（3）若点P（a，b）在双曲线
上，过点P分别作x轴，y轴的垂线，所得矩形的面积是多少？
　　（3）所得矩形的面积
，即所得矩形的面积等于比例系数k的绝对值．
新课讲解
　　例1
已知反比例函数的图象经过点A（2，6）．
　　（1）这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？
　　（2）点B（3，4），
，D（2，5）是否在这个函数的图象上？
　　我们首先来看下面几个问题：
新课讲解
　　（1）点A（2，6）在图象上的含义是什么？
　　（2）图象的位置由哪个量确定？我们如何求出这个量？
　　（3）反比例函数y随x的变化情况与哪个量有关？y随x的变化情况有没有限制条件？
　　（4）某点不在图象上的含义是什么？
新课讲解
　　解：（1）因为点A（2，6）在第一象限，
　　所以这个函数的图象位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小．
　　（2）设这个反比例函数的解析式为
，
　　因为点A（2，6）在这个函数的图象上，
　　所以点A的坐标满足
，即
．
　　解得k=12．
新课讲解
　　所以这个反比例函数的解析式为
．
　　把点B，C，D的坐标代入
，可知点B，点C的坐标满足函数关系式，点D的坐标不满足函数关系式，
　　所以点B，点C在函数
的图象上，点D不在这个函数的图象上．
新课讲解
　　（1）图象的另一支位于哪个象限？
常数m的取值范围是什么？
x
y
　　例2　如下图，它是反比例函数
的图象的一支，根据图象，回答下列问题：
　　（2）在这个函数图象的某一支上任取点A（x1，y1），和点B（x2，y2）．如果x1＞x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？
新课讲解
　　我们首先来看下面几个问题：
　　（1）函数图象的一支位于哪个象限？
　　（2）函数图象所在象限与解析式中哪个量有关？
　　（3）函数解析式中的系数由哪个式子表示？
　　（4）在系数范围确定的情况下，在图象的某一支上，y如何随x的大小变化？
新课讲解
　　解：（1）反比例函数的图象的分布只有两种可能，即位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限．
　　因为这个函数的图象的一支在第一象限，
　　所以另一支必位于第三象限．
　　因为该函数的图象位于第一、第三象限，
　　所以m-5＞0．解得m＞5．
新课讲解
　　（2）因为m-5＞0，所以在这个函数图象的任一支上，y都随x的增大而减小，
因此当x1＞x2时，y1＞y2
．
新课讲解
　　例3
　过反比例函数
的图象上任意
两点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，连接OA，OB，AC与OB的交点为E，
△AOE与梯形ECDB的面积分别为S1，S2，比较它们的大小可得（
）．
A．S1＞S2
B．S1＜S2
C．S1=S2
D．S1，S2的大小关系不能确定
新课讲解
解析：因为S△AOC=S△BOD，
而S△AOC=S△AOE+S△EOC，S△BOD=S△EOC+S梯形ECDB，
所以S△AOE=
S梯形ECDB．
答案：C．
新课讲解
　　1．在函数
的图象上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），已知x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3由小到大的顺序是___________．
y2＜y1＜y3
　　2．如图，点A为反比例函数
的图象上一点，AB⊥x轴，S△ABO=2，
则此反比例函数的解析式为
________．
x
y
A
B
O
巩固练习
x
y
P
O
　　反比例函数
(k为常数，k≠0)中k的几何意义．
　　（1）过反比例函数图象上的任意一点P作x轴、y轴的垂线，两条垂线与x轴、y轴围成的长方形的面积等于
．
课堂小结
　　注意：因为反比例函数
(k为常数，k≠0)中的k有正负之分，所以在利用解析式表示
长方形或三角形的面积时，都应加上
绝对值符号．
　　（2）若点A是反比例函数图象上任意一点，过点A作x轴（或y轴）的垂线，则所作垂线、x轴（或y轴）与线段OA围成的三角形的面积等于
．
x
y
A
P
O
课堂小结(共12张PPT)
第26章：反比例函数
人教版·九年级下册
26.1.1
反比例函数
导入新课
下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，写出它们的解析式．
（1）京沪线铁路全长1
463
km，某次列车的平均速度v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间t（单位：h）的变化而变化；
新课讲解
　　
（2）某住宅小区要种植一个面积为1
000
矩形草坪，草坪的长y（单位：m）随宽x（单位：
m）的变化而变化；
　　（3）已知北京市的总面积为
，人均占有面积S（单位：
/人）随全市总人口n（单位：人）的变化而变化．
新课讲解
　　上述问题中的函数关系式有什么共同特点？
　　上述问题中的函数关系式都有
的形式，其中k是非零常数．
　　归纳：
　　一般地，形如
（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数．
新课讲解
注意：在
中，自变量x是分式
的分母，当x=0时，分式
无意义，所以x的取值范围是x≠0．
在上面的三个问题中，两个变量的积均是一个常数（或定值），这也是识别两个量是否成反比例函数关系的关键．
新课讲解
【例】已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=6．
（1）写出y关于x的函数解析式；
（2）当x=4时，求y的值．
　　分析：（1）由题意，可设
，把x=2，y=6代入即可求得k，进而求得y关于x的函数关系式；
　　（2）在（1）所求得的函数关系式中，把x=4代入即可求得y的值．
新课讲解
解：（1）设y关于x的函数解析式为
．
因为x=2，y=6，所以有
．
解得k=12．
因此
．
（2）把x=4代入
，得
．
新课讲解
　　写出下列函数关系式，并指出它们各是什么函数．
　　（1）平行四边形的面积是24
，它的一边长x
cm和这边上的高h
cm之间的关系是
；
　　（2）小明用10元钱去买同一种菜，买这种菜的数量m
kg与单价n
元/kg之间的关系是
_；
　　（3）老李家一块地收粮食1
000
kg，这块地的亩数S与亩产量t
kg/亩之间的关系是
；
反比例函数
mn=10
St=1
000
xh=24
反比例函数
反比例函数
巩固练习
　　（4）刘飞骑自行车行驶了100千米的路程，他行驶的时间t小时和速度v千米/时之间的关系是
；
　　（5）某小区的绿地总面积是400
，该小区的人口数y和人均绿地面积x
之间的关系是
．
vt=100
xy=400
反比例函数
反比例函数
巩固练习
　　1．反比例函数的概念
　　一般地，形如
（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数．
　　2．两个量的乘积是一个定值，是识别两个量成反比例关系的一个重要特征．
课堂小结
　　3．知识应用
　　（1）识别两个量是否成反比例关系；
　　（2）识别两个变量构成的关系式是否成反比例函数式；
　　（3）能够确定反比例函数关系式．
课堂小结(共30张PPT)
第26章：反比例函数
人教版·九年级下册
26.2
实际问题与反比例函数
　　问题1
某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数，其图象如下图所示．
V
p
O
1
2
3
50
100
150
200
A(1.5，64)
导入新课
　　（1）观察图象经过已知点_________；
　　（2）写出这个函数的解析式；
　　（3）当气球的体积是0.8
m3时，气球内的气压是多少千帕？
（1.5，64）
120
kPa．
导入新课
　　例1
市煤气公司要在地下修建一个容积为104
m3的圆柱形煤气储存室．
　　（1）储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）有怎样的函数关系？
新课讲解
　　（2）公司决定把储存室的底面积S定为500
m2，施工队施工时应该向地下掘进多深？
　　（3）当施工队按（2）中的计划掘进到地下15
m时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为15
m．相应地，储存室的底面积应改为多少（结果保留小数点后两位）？
新课讲解
解：（1）根据圆柱的体积公式，得
．
所以S关于d的函数解析式为
．
（2）把S=500代入
，得
，
解得d=20(m)．
　　如果把储存室的底面积定为500
m2，施工时应向地下掘进20
m深．
新课讲解
（3）根据题意，把d=15代入
，得
，
解得
．
当储存室的深度为15
m时，底面积应改为
．
新课讲解
　　有200个工件需要一天内加工完成，设当工作效率为每人每天加工p个工件时，需要q个工人．
　　（1）求出q关于p的函数关系式．
　　（2）若每人每天的工作效率提高20%，则工人数减少百分之几？
提示：（1）
(p＞0)；
新课讲解
　　（2）每人每天的工作效率变成(1+20%)p，代入
得到此时的工人数是
．
则工人数减少
×100%≈17%．
新课讲解
　　例2
码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．
　　（1）轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v（单位：吨／天）与卸货天数t之间有怎样的函数关系？
　　（2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？
新课讲解
　　分析：根据“平均装货速度×装货天数=货物的总量”，可以求出轮船装载货物的总量；
　　再根据“平均卸货速度=货物的总量÷卸货天数”，得到v关于t的函数解析式．
新课讲解
　　解：（1）设轮船上的货物总量为k吨，根据已知条件得k=30×8=240，
　　所以v关于t的函数解析式为
．
　　（2）把t=5代入
，得v=
=48(吨)．
　　从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸完，那么平均每天卸载48吨．
新课讲解
　　对于函数
，当t＞0时，t越小，v越大．这样若货物不超过5天卸载完，则平均每天至少要卸载48吨．
新课讲解
　　某蓄水池的排水管道每小时排水8
m3，6
h可以将满池的水全部排空．
　　（1）蓄水池的容积是多少？
　　（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到
Q
m3，将满池的水全部排空所需的时间为t（h），求Q与t之间的函数关系式．
新课讲解
　　（3）如果准备在5
h内将满池的水全部排空，那么每小时排水量至少是多少？
　　（4）已知排水管的最大排水量为12
m3/h，那么最少多长时间能把满池的水全部排空？
　　答案：（1）48
m3；（2）Q=
(t＞0)；（3）当t=5时，Q=
=9.6
m3；（4）当Q=12时，t=4
h．
新课讲解
　　公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．
给我一个支点，我可以撬动地球！
——阿基米德
新课讲解
　　后来人们把它归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂．
支点
阻力
动力
阻力臂
动力臂
新课讲解
　　例3
小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1
200
N和0.5
m．
　　（1）动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5
m时，撬动石头至少需要多大的力？
　　（2）若想使动力F不超过（1）中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？
新课讲解
解：（1）根据“杠杆原理”，得Fl=1
200×0.5，
所以F关于l的函数解析式为
．
当l=1.5
m时，
．
　　对于函数
，当l=1.5
m时，F=400
N，此时杠杆平衡．因此，撬动石头至少需要400
N的力．
新课讲解
　　（2）对于函数
，F随l的增大而减小．
　　因此，只要求出F=200
N时对应的l的值，就能确定动力臂l至少应加长的量．
当
时，由
得
，
3-1.5=1.5(m)．
　　对于函数
，当l＞0时，l越大，F越小．
　　因此，若想用力不超过400
N的一半，则动力臂至少要加长1.5
m．
新课讲解
　　某空调厂的装配车间计划组装9
000台空调．
　　（1）从空调厂组装空调开始，每天组装的台数m（单位：台/天）与生产时间t（单位：天）之间有怎样的函数关系式？
　　（2）原计划用2个月时间（每月按30天计算）完成，由于气温提前升高，厂家决定这批空调提前10天上市，那么装配车间每天至少要组装多少台空调？
新课讲解
答案：（1）m=
(t＞0)；（2）180．
新课讲解
　　电学知识告诉我们，用电器的功率P（单位：W）、两端的电压U（单位：V）及用电器的电阻R（单位：Ω）有如下关系：PR=U2．这个关系也可写为　　　或
．
新课讲解
　　例4
　一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110～220
Ω．已知电压为220
V，这个用电器的电路图如图所示．
　　（1）功率P与电阻R有怎样的函数关系？
　　（2）这个用电器功率的范围是多少？
U
R
新课讲解
　　解：（1）根据电学知识，当U=220时，得
．①
　　（2）根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小．　　
　　把电阻的最小值R=110代入①式，得到功率的最大值
　　　　　　　　；
　　把电阻的最大值R=220代入①式，得到功率的最小值
．
因此用电器功率的范围为220～440
W．
新课讲解
　　（1）蓄电池的电压是多少？
　　（2）请写出这个反比例函数的解析式；
　　（3）完成下表：
　　已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）和电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如下图所示．
R（Ω）
3
4
6
8
9
10
I（A）
　　（4）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10
A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？
R/Ω
I/A
O
4
9
巩固练习
答案：（1）36
V；
（2）
(R＞0)；
（3）依次是12，9，6，4.5，4，3.6；
（4）≥3.6
Ω．
巩固练习
　　1．一般地，建立反比例函数的解析式有以下两种方法：
　　（1）待定系数法：若题目提供的信息中明确此函数为反比例函数，则可设反比例函数的解析式为
，然后求出k的值即可．
　　（2）列方程法：若题目所给信息中变量之间的函数关系不明确，在这种情况下，通常是列出关于函数（y）和自变量（x）的方程，进而解出方程，便得到函数解析式．
课堂小结
2．常见的典型数量关系：
（1）当路程s一定时，时间t与速度v成反比例，即
；
　　（2）当三角形的面积S一定时，三角形的底边a与高h成反比例，即
；
　　（3）在物理知识中：
　　①当功W一定时，力F与物体在力F的作用下移动的距离s成反比例，即
；　　
课堂小结
　　
②当压力F一定时，压强p与受力面积S成反比例，即
；
　　③在电路中，当电压U一定时，电流I与电阻R成反比例，即
．
　　④杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂．
课堂小结(共23张PPT)
第26章：反比例函数
人教版·九年级下册
26.1.2
反比例函数的图像和性质（1）
　　问题1
一次函数y=2x-3的图象是什么？它经过哪些象限？你能画出它的图象吗？说一说一次函数y=2x-3具有什么性质？
　　答：一次函数y=2x-3的图象是一条直线；它经过第一、三、四象限；过点（0，-3）、（2，1）作直线，所得直线就是一次函数y=2x-3的图象；函数y随x的增大而增大……
　　上节课我们学习了反比例函数，你知道反比例函数　　
的图象是什么吗？这节课我们就一起来探讨反比例函数的图象和性质．
　　问题2
猜一猜反比例函数
的图象经过哪些象限？
　　答：从比例系数k=6=xy，得x，y同号且不为零，说明该函数图象经过第一、三象限，且该函数图象与坐标轴没有交点．
　　从上图可以看出，只描出三五个点不能看出函数图象的形状．
　　追问1
我们描出三五个点能看出图象是什么
形状吗？
x
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
O
–6
6
y
–6
6
（1，6）
（2，3）
（3，2）
　　追问2　在（1，6）与（2，3）两点之间的点如（1.5，4）在什么位置？这三点共线吗？
　　点（1.5，4）的位置比点（1，6）低，比点（2，3）高，这三点不共线．
x
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
O
–6
6
y
–6
6
（1，6）
（2，3）
（3，2）
（1.5，4）
x
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
O
–6
6
y
–6
6
追问3　如何将这些点连接起来？
　　用平滑的曲线“从左到右”将同一象限内的点连接起来，得到两条曲线．
　　最后得出反比例函数的图象是双曲线．反比例函数　　
，也可称为双曲线
．
问题3
你能画出下列反比例函数的图象吗？
（1）
；（2）
；
（3）
．
　　要求：尽量取整数点和关于原点对称的几对点，并将这4个函数画在同一个坐标系中．
x
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
O
–6
6
y
–6
6
　　问题4
将双曲线
沿直线y=x对折，你发现了什么？将双曲线
沿直线y=-x对折，你发现了什么？
x
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
O
–6
6
y
–6
6
　　问题4
将双曲线
沿直线y=x对折，你发现了什么？将双曲线
沿直线y=-x对折，你发现了什么？
　　发现：双曲线
沿直线y=x对折后互相重合，双曲线
沿直线y=-x对折后也互相重合
　　结论：双曲线是轴对称图形，它有两条对称轴，分别是直线y=x和直线y=-x．
　　问题5
点（1，6）和点（6，1）的位置有什么关系？在双曲线上你还能找出类似的对应点吗？点（1，6）和点（-1，-6）具有什么位置关系？在双曲线上你还能找出类似的对应点吗？
　　答：点（1，6）和点（6，1）关于直线y=x对称，还能找出很多类似的对应点；点（1，6）和点（-6，-1）关于直线y=-x对称，还能找出很多类似的对应点．
x
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
O
–6
6
y
–6
6
　　问题6
点（1，6）和点（-1，-6）有什么位置关系？在双曲线上你还能找出类似的对应点吗？
　　答：这两点关于原点对称，像这样的对应点还有很多，这说明双曲线关于原点对称，即双曲线是中心对称图形．
x
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
O
–6
6
y
–6
6
　　问题7
从左向右观察双曲线上的点（1，6）、（2，3）、
（3，2），横坐标在怎样变化？纵坐标又是怎样变化的？从左向右观察双曲线上的点（-3，-2）、（-2，-3）、（1，6），横坐标在怎样变化？纵坐标又是怎样变化的？
　　横坐标在增大，而纵坐标在减小（y值随x值的增大而减小）；横坐标在增大，而纵坐标先减小后增大．（看图象）
x
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
O
–6
6
y
–6
6
　　问题8
对于反比例函数
，
　　（1）当k＞0时，图象的双支分别位于哪些象限？y值随x值的变化怎样变化？
　　（2）又若k＜0呢？
　　
x
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
O
–6
6
y
–6
6
　　（1）当k＞0时，x，y同号，所以双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y值随x值的增大而减小；
x
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
O
–6
6
y
–6
6
　　（2）当k＜0时，x，y异号，所以双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y值随x值的增大而增大．
　　例
已知反比例函数
，当x＜0时，y
随x的增大而减小，求正整数m的值．
　　解：因为反比例函数
，
　　　　当x＜0时，y随x的增大而减小，
　　　　所以3-2m＞0．解得
．
　　　　所以正整数m的值是1．
　　一次函数y=x+m(m≠0)与反比例函数
在同一平面直角坐标系中的图象大致是（
）．
B
x
y
x
y
x
y
x
y
B
A
C
D
O
O
O
O
　　1．一般地，反比例函数
的图象是双曲线，它具有以下性质：
　　（1）当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；
　　（2）当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
　　2．反比例函数的图象是轴对称图形，对称轴是直线y=x或y=-x；
　　反比例函数的图象也是中心对称图形，对称中心是坐标原点．

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