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第五章图形与变换第34节图形的相似与位似
■考点1.
图形的相似
（1）相似图形
我们把形状相同的图形称为相似形．
（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：
①相似图形的形状必须完全相同；
②相似图形的大小不一定相同；
③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．
■考点2.相似多边的定义和性质
（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（3）全等多边形的相似比为1的相似多边形是全等形．
（4）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等．
■考点3.图形的位似
（1）如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．21·世纪
教育网
?注意：①两个图形必须是相似形；但相似图形不一定是位似图形
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．【出处：21教育名师】
（2）性质：①对应角相等，对应边之比等于位似比；②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．位似三角形的对应边的比、周长比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于位似比，但面积的比等于位似比的
平方．
■考点1.
图形的相似
◇典例：
（2019年甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市、陇南市、庆阳市）如图，将图形用放大镜放大，应该属于(
)．
A．平移变换
B．相似变换
C．旋转变换
D．对称变换
【考点】相似图形的定义
【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．
解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．
故选：B．
【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．
◆变式训练
（2004.海淀区）如图，赵师傅透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的菱形图案的一角，那么∠A与放大镜中的∠C的大小关系是（　　）
A．∠A＝∠C
B．∠A＞∠C
C．∠A＜∠C
D．无法比较
【考点】相似图形
【分析】原来的图形和放大的图形是相似的，根据相似三角形的对应角相等，可以判定∠A＝∠C．
解：由于图形放大或缩小后，形状没有发生变化，结合相似三角形的性质，可判定∠A＝∠C．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等．
■考点2.相似多边的定义和性质
◇典例
（2016秋?宛城区校级期末）已知两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为36cm，则较大多边形的周长为（　　）
A．48?cm
B．54?cm
C．56?cm
D．64?cm
【考点】相似多边形的性质．
【分析】设较大多边形的周长为c，再由相似多边形的性质即可得出结论．
解：设较大多边形的周长为c，
∵两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为36cm，
∴，解得c=48cm．
故选A．
【点评】题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
◆变式训练
（2015年成都市）已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对角线A1C1，B1D1相交于点O．以
点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系．以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2B2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An，则点An的坐标为____________．
【考点】菱形的性质；相似多边形的性质；坐标与图形的性质
【分析】由题意，点A1的坐标为（1，0），
点A2的坐标为（3，0），即（3
2－1，0）
点A3的坐标为（9，0），即（3
3－1，0）
点A4的坐标为（27，0），即（3
4－1，0）
………
∴点An的坐标为（3
n－1，0）
解：∵菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，
∴OA1=A1B1?sin30°=2×=1，OB1=A1B1?c.s30°=2×=，
∴A1（1，0）．
∵B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，
∴OA2===3，
∴A2（3，0）．
同理可得A3（9，0）…
∴An（3n﹣1，0）．
故答案为：（3n﹣1，0）
【点评】
本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形的对应角相等是解答此题的关键．
■考点3.图形的位似
◇典例：
（2020年重庆市中考数学试题B卷）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA∶OD=1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）
A．1∶2
B．1∶3
C．1∶4
D．1∶5
【考点】位似图形
【分析】根据位似图形的性质即可得出答案．
解：由位似变换的性质可知，
△ABC与△DEF的相似比为：1∶2
△ABC与△DEF的面积比为：1∶4
故选C．
【点评】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
◆变式训练
（2020年黑龙江省绥化市）在平面直角坐标系中，和的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为，则其对应点的坐标是________．
【考点】位似图形
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，即可求得答案．
解：在同一象限内，
∵ABC与是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比等于，A坐标为（2，4），
∴则点的坐标为：（4，8），
不在同一象限内，
∵ABC与是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比等于，A坐标为（2，4），
∴则点A′的坐标为：（﹣4，﹣8），
故答案为：（4，8）或（﹣4，﹣8）．
【点评】此题考查了位似图形的性质，此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
（2003.陕西）要做甲乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为：50cm、60cm、80cm，三角形框架乙的一边长为20cm，那么符合条件的三角形框架一共有（　　）
A．1种
B．2种
C．3种
D．4种
【考点】相似图形
【分析】根据相似图形的定义，直接判断，求得正确结果．
解：三角形相似，那么它们边长的比相同，均为5：6：8，乙那个20cm的边可以当最短边，最长边和中间大小的边．
故选：C．
【点评】本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．
（1997.河北）下列命题：
①所有的等腰三角形都相似，
②有一对锐角相等的两个直角三角形相似，
③四个角对应相等的两个梯形相似，
④所有的正方形都相似．
其中正确命题的个数为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】相似图形
【分析】根据相似图形的性质以及定义分别判断得出即可．
解：①所有的等腰三角形形状不一定相同，故不一定都相似，故此选项错误，
②有一对锐角相等的两个直角三角形相似，根据已知可得出三角形对应角相等，故此选项正确，
③四个角对应相等的两个梯形相似，在梯形内，做一腰的平行线，得一小梯形，显然不相似，故此选项错误，
④所有的正方形都相似，此选项正确．
故正确的有2个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相似图形的判定，根据相似图形的形状必须完全相同进而判断是解题关键．
（2020年浙江省绍兴市）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（　　）
A．20cm
B．10cm
C．8cm
D．3.2cm
【考点】位似变换
【分析】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解.
解：设投影三角尺的对应边长为xcm,
∵三角尺与投影三角尺相似,
∴8：x＝2：5,
解得x＝20.
故选:A.
【点评】本题主要考查了位似变换的应用.
（2015.兰州）如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B坐标为（5，0），则点A的坐标为（　　）
A．（2，5）
B．（2.5，5）
C．（3，5）
D．（3，6）
【考点】坐标与图形性质，位似变换
【分析】利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出A点坐标．
解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内，将线段CD放大得到线段AB，
∴B点与D点是对应点，则位似比为：5：2，
∵C（1，2），
∴点A的坐标为：（2.5，5）
故选：B．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题关键．
（2013.梧州）若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的周长扩大为原来的　
　倍．
【考点】相似图形
【分析】由题意一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，根据相似三角形的性质及对应边长成比例来求解．
解：∵一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，
∴扩大后的三角形与原三角形相似，
∵相似三角形的周长的比等于相似比，
∴这个三角形的周长扩大为原来的5倍，
故答案为：5．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比．
（2019年辽宁省本溪市）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（4，2），B（5，0），以点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为　
　．
【考点】坐标与图形性质，位似变换
【分析】根据位似变换的性质计算即可．
解：以点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，点A的坐标是A（4，2），
则点A的对应点A1的坐标为（4×，2×）或（﹣4×，﹣2×），即（2，1）或（﹣2，﹣1），
故答案为：（2，1）或（﹣2，﹣1）．
【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
（2019年广西百色市）如图，△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），则△A'B'C'的面积为　
　．
【考点】坐标与图形性质，位似变换
【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
解：∵△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），
∴A′（4，4），C′（12，2），
∴△A'B'C'的面积为：6×8﹣×2×4﹣×6×6﹣×2×8＝18．
故答案为：18．
【点评】此题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
（2016.郴州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，0），B（2，1），C（0，1），以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的2倍，记所得矩形为OA1B1C1，B为对应点为B1，且B1在OB的延长线上，则B1的坐标为　
　．
【考点】坐标与图形性质，矩形的性质，位似变换
【分析】利用以原点为位似中心的位似图形的坐标之间的关系求解．
解：∵B点坐标为（2，1），
而B为对应点为B1，且B1在OB的延长线上，
∴B1的坐标为（2×2，1×2），即B1（4，2）．
故答案为（4，2）．
【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
（2016.绵阳）△OAB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（4，6），B（3，0），以O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，得到△OA′B′，则点A的对应点A′的坐标为　
　．
【考点】坐标与图形性质，位似变换
【分析】根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k进行解答．
解：∵以原点O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，A（4，6），
则点A的对应点A′的坐标为（﹣2，﹣3）或（2，3），
故答案为：（﹣2，﹣3）或（2，3）．
【点评】本题考查了位似变换：位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
选择题
（2013.莆田）下列四组图形中，一定相似的是（　　）
A．正方形与矩形
B．正方形与菱形
C．菱形与菱形
D．正五边形与正五边形
【考点】相似图形
【分析】根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形．
解：A、正方形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意，
B、正方形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意，
C、菱形与菱形，对应边比值相等，但是对应角不一定相等，故不符合题意，
D、正五边形与正五边形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了相似形的定义，熟悉各种图形的性质和相似图形的定义是解题的关键．
（2012.柳州）小张用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是（　　）
A．FG
B．FH
C．EH
D．EF
【考点】相似图形
【分析】观察图形，先找出对应顶点，再根据对应顶点的连线即为对应线段解答．
解：由图可知，点A、E是对应顶点，
点B、F是对应顶点，
点D、H是对应顶点，
所以，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是EF．
故选：D．
【点评】本题考查了相似图形，根据对应点确定对应线段，所以确定出对应点是解题的关键．
（（2007.舟山））如图，用放大镜将图形放大，应该属于（　　）
A．相似变换
B．平移变换
C．对称变换
D．旋转变换
【考点】相似图形
【分析】本题考查对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换，根据概念结合图形，采用排除法选出正确答案．
解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选A．
【点评】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．
（2010.烟台）手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】相似图形
【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除不符合要求答案．
解：A：形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故A选项不符合要求，
B：形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合要求，
C：形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合要求，
D：两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故D选项符合要求，
故选：D．
【点评】本题考查的是相似形的定义，联系图形，即形状相同，大小不一定相同的图形叫做相似形．全等形是相似形的一个特例．
（2009.台湾）如图，过P点的两直线将矩形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个矩形，其中P在AC上，且AP：PC＝AD：AB＝4：3，下列对于矩形是否相似的判断，何者正确（　　）
A．甲、乙不相似
B．甲、丁不相似
C．丙、乙相似
D．丙、丁相似
【考点】相似图形
【分析】根据矩形的性质以及已知条件AP：PC＝AD：AB＝4：3，求得结果，采用排除法，得出正确答案．
解：∵AP：PC＝AD：AB＝4：3，AD∥BC，
∴＝＝＝，
∴甲与丁相似，故选项B错误，
∵当＝，
AM＝EP，
∴甲与丙一定不相似，∴丙和丁不相似，故选项D错误，
∵＝，＝，DM＝PF，
∴当＝，MP＝AE，
∴甲与乙一定不相似，故选项A正确，
无法确定丙、乙是否相似，故选项C错误，
故选：A．
【点评】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．
（2011.东莞）将下图中的箭头缩小到原来的，得到的图形是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】相似图形
【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除错误答案．
解：∵图中的箭头要缩小到原来的，
∴箭头的长、宽都要缩小到原来的，
选项B箭头大小不变，
选项C箭头扩大，选项D的长缩小、而宽没变．
故选：A．
【点评】本题主要考查了相似形的定义，联系图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．
（2020年重庆市中考数学试题A卷）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（
）
A．
B．2
C．4
D．
【考点】位似变换
【分析】把A、C的横纵坐标都乘以2得到D、F的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段DF的长．
解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，
而A（1，2），C（3，1），
∴D（2，4），F（6，2），
∴DF＝=，
故选：D．
【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或?k．
（2019年湖南省邵阳市）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是（　　）
A．△ABC∽△A′B′C′
B．点C、点O、点C′三点在同一直线上
C．AO：AA′＝1：2
D．AB∥A′B′
【考点】位似变换
【分析】直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．
解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′，点C、点O、点C′三点在同一直线上，AB∥A′B′，
AO：OA′＝1：2，故选项C错误，符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键．
（2015年辽宁省锦州市）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为（　　）
A．
（2，2），（3，2）
B．
（2，4），（3，1）
C．
（2，2），（3，1）
D．
（3，1），（2，2）
　
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以得出即可．
解：∵线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），
以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴端点的坐标为：（2，2），（3，1）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键．
（2020年河北省）在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是（
）
A．四边形
B．四边形
C．四边形
D．四边形
【考点】作图-位似变换
【分析】以O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形，根据图像可判断出答案．
解：如图所示，四边形的位似图形是四边形．
故选：A
【点评】此题考查了位似图形的作法，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，确定位似图形．
填空题
（（2008.西宁））如图，用放大镜将图形放大，应属于哪一种变换：　
　（请选填：对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换）．
【考点】相似图形
【分析】本题考查轴对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换，根据概念结合图形，得出正确结果．
解：由一个图形到另一个图形，在改变的过程中形状不变，大小产生变化，属于相似变化．
【点评】本题主要考查相似变换的定义，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．比较容易选错的答案是位似变换．
（（2004.海淀区））某课外活动小组的同学在研究某种植物标本（如图所示）时，测得叶片①最大宽度是8cm，最大长度是16cm，叶片②最大宽度是7cm，最大长度是14cm，叶片③最大宽度约为6.5cm，请你用所学数学知识估算叶片③的完整叶片的最大长度，结果约为　
　cm．
【考点】相似图形
【分析】根据这三种叶片都是同一种植物的叶片，那么这三个叶片应该相似．依据相似形的性质即可解决．
解：根据叶片①②的最大长度和宽度，可得出这种植物的叶片的最大宽度：最大长度＝1：2．由此可得出完整的叶片③的最大长度应是6.5×2＝13cm．
故答案为：13．
【点评】本题考查的是相似形的识别，关键是联系实际，根据相似比来求出所求的值．
（2020年辽宁省盘锦市）如图，三个顶点的坐标分别为，以点为位似中心，相似比为，将缩小，则点的对应点的坐标是____________．
【考点】位似变换
【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，把B点的横纵坐标分别乘以或即可得到点B′的坐标．
解：∵以点为位似中心，相似比为，将缩小，
∴点的对应点B′的坐标是（2，4）或（-2，-4）．
故答案为：（2，4）或（-2，-4）．
【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
（2020年山东省德州市）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为．若点恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数的解析式为________．
【考点】位似变换，坐标与图形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式
【分析】直接利用位似图形的性质以及结合A点坐标直接得出点A′的坐标．利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式．
解：∵以原点O为位似中心，将线段OA放大为原来的2倍，得到OA'，A（-2，1），
∴点A的对应点A′的坐标是：（-4，2）或（4，-2）．
设反比例函数的解析式为()，
∴，
∴反比例函数的解析式为：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了位似变换、坐标与图形的性质以及待定系数法求反比例函数的解析式，正确把握位似图形的性质是解题关键．
（2020年湖南省郴州市）在平面直角坐标系中，将以点为位似中心，为位似比作位似变换，得到．已知，则点的坐标是__________．
【考点】位似变换
【分析】直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标即可．
解：∵将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A（2，3），
∴点A1的坐标是：，
即A1．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
（2019年广西河池市）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝3，则＝　
　．
【考点】位似变换
【分析】直接利用位似图形的性质进而分析得出答案．
解：∵以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝3，
∴＝＝＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出对应边的比值是解题关键．
（2019年山东省烟台市）如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A（﹣2，﹣1），B（﹣2，﹣3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，﹣1），B1（1，﹣5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为　
　．
【考点】坐标与图形性质，位似变换
【分析】分别延长B1B、O1O、A1A，它们相交于点P，然后写出P点坐标即可．
解：如图，P点坐标为（﹣5，﹣1）．
故答案为（﹣5，﹣1）．
【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形的性质有
两个图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点，对应边平行或共线．
（2019年山东省滨州市（a卷））在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是　
　．
【考点】坐标与图形性质，位似变换
【分析】根据位似变换的性质、坐标与图形性质计算．
解：以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，点A的坐标为（﹣2，4），
∴点C的坐标为（﹣2×，4×）或（2×，﹣4×），即（﹣1，2）或（1，﹣2），
故答案为：（﹣1，2）或（1，﹣2）．
【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
（2018年辽宁省抚顺市）如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A（8，0），O（0，0），B（8，﹣6），点M为OB的中点．以点O为位似中心，把△AOB缩小为原来的，得到△A′O′B′，点M′为O′B′的中点，则MM′的长为　
　．
【考点】位似变换，坐标与图形的性质
【分析】分两种情形画出图形，即可解决问题；
解：如图，在Rt△AOB中，OB==10，
①当△A′OB′在第三象限时，MM′=．
②当△A″OB″在第二象限时，MM′=，
故答案为或．
【点评】本题考查位似变换，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
（2018年青海省）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则______．
【考点】位似变换
【分析】直接利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案．
解：四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，
，
则．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
、解答题
（2007.常州）如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．
①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于　
　，
②当菱形的“接近度”等于　
　时，菱形是正方形．
（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．
你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．
【考点】菱形的性质，正方形的性质，相似图形
【分析】（1）根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，相似图形的“接近度”相等．所以若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于|m﹣n|，当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形，
（2）不合理，举例进行说明．
解：（1）①∵内角为70°，
∴与它相邻内角的度数为110°．
∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|110﹣70|＝40．
②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．
（2）不合理．
例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a﹣b|却不相等．
合理定义方法不唯一．
如定义为，
越接近1，矩形越接近于正方形，
越大，矩形与正方形的形状差异越大，
当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．
【点评】正确理解“接近度”的意思，矩形的“接近度”|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．这是解决问题的关键．
（2020年辽宁省丹东市）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点，，的坐标分别为，，，先以原点为位似中心在第三象限内画一个，使它与位似，且相似比为2：1，然后再把绕原点逆时针旋转90°得到．
（1）画出，并直接写出点的坐标；
（2）画出，直接写出在旋转过程中，点到点所经过的路径长．
【考点】弧长的计算，作图-旋转变换，作图-位似变换
【分析】（1）连接AO、BO、CO，并延长到2AO、2BO、2CO，长度找到各点的对应点，顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C绕点O逆时针旋转90°后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，再根据勾股定理列式求出OA，然后利用弧长公式列式计算即可得解．
解：（1）如图所示，A1(-2，-4)；
（2）如图所示，
∵OA=
∴的长为：．
【点评】本题考查了平移变换作图和轴对称图形的作法及画位似图形．注意：画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
（2020年辽宁省朝阳市）如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，请按如下要求画图：
（1）以坐标原点O为旋转中心，将顺时针旋转90°，得到，请画出；
（2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出的位似图形，使它与的位似比为．
【考点】作图-旋转变换，作图-位似变换
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于原点O对称的点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用位似的性质，找出点A2、B2、C2的位置，然后画出图形即可．
解：（1）位置正确；用直尺画图；
（2）位置正确；用直尺画图．
【点评】本题考查了位似图形的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握所学的性质正确的做出图形．
（2020年宁夏）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是．
（1）画出关于x轴成轴对称的；
（2）画出以点O为位似中心，位似比为1∶2的．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标,作图-位似变换
【分析】（１）将的各个点关于x轴的对称点描出，连接即可．
（２）在同侧和对侧分别找到2OA=OA2，2OB=OB2，2OC=OC2所对应的A2，B2，C2的坐标，连接即可．
解：（1）由题意知：的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1），
则关于x轴成轴对称的的坐标为A1（1，-3），B1（4，-1），C1（1，-1），
连接A1C1，A1B1，B1C1
得到．
如图所示为所求；
（2）由题意知：位似中心是原点，
则分两种情况：
第一种，和在同一侧
则A2（2，6），B2（8，2），C2（2，2），
连接各点，得．
第二种，在的对侧
A2（－2，－6），B2（－8，－2），C2（－2，－2），
连接各点，得．
综上所述：如图所示为所求；
【点评】本题主要考查了位似中心、位似比和轴对称相关知识点，正确掌握位似中心、位似比的概念及应用是解题的关键．
12第五章图形与变换第34节图形的相似与位似
■考点1.
图形的相似
（1）相似图形
我们把形状相同的图形称为相似形．
（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：
①相似图形的形状必须完全相同；
②相似图形的大小不一定相同；
③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．
■考点2.相似多边的定义和性质
（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（3）全等多边形的相似比为1的相似多边形是全等形．
（4）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等．
■考点3.图形的位似
（1）如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．21·世纪
教育网
?注意：①两个图形必须是相似形；但相似图形不一定是位似图形
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．【出处：21教育名师】
（2）性质：①对应角相等，对应边之比等于位似比；②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．位似三角形的对应边的比、周长比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于位似比，但面积的比等于位似比的平方．
■考点1.
图形的相似
◇典例：
（2019年甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市、陇南市、庆阳市）如图，将图形用放大镜放大，应该属于(
)．
A．平移变换
B．相似变换
C．旋转变换
D．对称变换
【考点】相似图形的定义
【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．
解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．
故选：B．
【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．
◆变式训练
（2004.海淀区）如图，赵师傅透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的菱形图案的一角，那么∠A与放大镜中的∠C的大小关系是（　　）
A．∠A＝∠C
B．∠A＞∠C
C．∠A＜∠C
D．无法比较
■考点2.相似多边的定义和性质
◇典例
（2016秋?宛城区校级期末）已知两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为36cm，则较大多边形的周长为（　　）
A．48?cm
B．54?cm
C．56?cm
D．64?cm
【考点】相似多边形的性质．
【分析】设较大多边形的周长为c，再由相似多边形的性质即可得出结论．
解：设较大多边形的周长为c，
∵两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为36cm，
∴，解得c=48cm．
故选A．
【点评】题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
◆变式训练
（2015年成都市）已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对角线A1C1，B1D1相交于点O．以
点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系．以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2B2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An，则点An的坐标为____________．
■考点3.图形的位似
◇典例：
（2020年重庆市中考数学试题B卷）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA∶OD=1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）
A．1∶2
B．1∶3
C．1∶4
D．1∶5
【考点】位似图形
【分析】根据位似图形的性质即可得出答案．
解：由位似变换的性质可知，
△ABC与△DEF的相似比为：1∶2
△ABC与△DEF的面积比为：1∶4
故选C．
【点评】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
◆变式训练
（2020年黑龙江省绥化市）在平面直角坐标系中，和的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为，则其对应点的坐标是________．
（2003.陕西）要做甲乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为：50cm、60cm、80cm，三角形框架乙的一边长为20cm，那么符合条件的三角形框架一共有（　　）
A．1种
B．2种
C．3种
D．4种
（1997.河北）下列命题：
①所有的等腰三角形都相似，
②有一对锐角相等的两个直角三角形相似，
③四个角对应相等的两个梯形相似，
④所有的正方形都相似．
其中正确命题的个数为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
（2020年浙江省绍兴市）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（　　）
A．20cm
B．10cm
C．8cm
D．3.2cm
（2015.兰州）如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B坐标为（5，0），则点A的坐标为（　　）
A．（2，5）
B．（2.5，5）
C．（3，5）
D．（3，6）
（2013.梧州）若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的周长扩大为原来的　
　倍．
（2019年辽宁省本溪市）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（4，2），B（5，0），以点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为　
　．
（2019年广西百色市）如图，△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），则△A'B'C'的面积为　
　．
（2016.郴州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，0），B（2，1），C（0，1），以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的2倍，记所得矩形为OA1B1C1，B为对应点为B1，且B1在OB的延长线上，则B1的坐标为　
　．
（2016.绵阳）△OAB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（4，6），B（3，0），以O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，得到△OA′B′，则点A的对应点A′的坐标为　
　．
选择题
（2013.莆田）下列四组图形中，一定相似的是（　　）
A．正方形与矩形
B．正方形与菱形
C．菱形与菱形
D．正五边形与正五边形
（2012.柳州）小张用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是（　　）
A．FG
B．FH
C．EH
D．EF
（（2007.舟山））如图，用放大镜将图形放大，应该属于（　　）
A．相似变换
B．平移变换
C．对称变换
D．旋转变换
（2010.烟台）手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是（　　）
A．
B．
C．
D．
（2009.台湾）如图，过P点的两直线将矩形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个矩形，其中P在AC上，且AP：PC＝AD：AB＝4：3，下列对于矩形是否相似的判断，何者正确（　　）
A．甲、乙不相似
B．甲、丁不相似
C．丙、乙相似
D．丙、丁相似
（2011.东莞）将下图中的箭头缩小到原来的，得到的图形是（　　）
A．
B．
C．
D．
（2020年重庆市A卷）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（
）
A．
B．2
C．4
D．
（2019年湖南省邵阳市）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是（　　）
A．△ABC∽△A′B′C′
B．点C、点O、点C′三点在同一直线上
C．AO：AA′＝1：2
D．AB∥A′B′
（2015年辽宁省锦州市）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为（　　）
A．
（2，2），（3，2）
B．
（2，4），（3，1）
C．
（2，2），（3，1）
D．
（3，1），（2，2）
　
（2020年河北省）在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是（
）
A．四边形
B．四边形
C．四边形
D．四边形
填空题
（（2008.西宁））如图，用放大镜将图形放大，应属于哪一种变换：　
　（请选填：对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换）．
（（2004.海淀区））某课外活动小组的同学在研究某种植物标本（如图所示）时，测得叶片①最大宽度是8cm，最大长度是16cm，叶片②最大宽度是7cm，最大长度是14cm，叶片③最大宽度约为6.5cm，请你用所学数学知识估算叶片③的完整叶片的最大长度，结果约为　
　cm．
（2020年辽宁省盘锦市）如图，三个顶点的坐标分别为，以点为位似中心，相似比为，将缩小，则点的对应点的坐标是____________．
（2020年山东省德州市）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为．若点恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数的解析式为________．
（2020年湖南省郴州市）在平面直角坐标系中，将以点为位似中心，为位似比作位似变换，得到．已知，则点的坐标是__________．
（2019年广西河池市）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝3，则＝　
　．
（2019年山东省烟台市）如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A（﹣2，﹣1），B（﹣2，﹣3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，﹣1），B1（1，﹣5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为　
　．
（2019年山东省滨州市（a卷））在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是　
　．
（2018年辽宁省抚顺市）如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A（8，0），O（0，0），B（8，﹣6），点M为OB的中点．以点O为位似中心，把△AOB缩小为原来的，得到△A′O′B′，点M′为O′B′的中点，则MM′的长为　
　．
（2018年青海省）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则______．
、解答题
（2007.常州）如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．
①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于　
　，
②当菱形的“接近度”等于　
　时，菱形是正方形．
（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．
你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．
（2020年辽宁省丹东市）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点，，的坐标分别为，，，先以原点为位似中心在第三象限内画一个，使它与位似，且相似比为2：1，然后再把绕原点逆时针旋转90°得到．
（1）画出，并直接写出点的坐标；
（2）画出，直接写出在旋转过程中，点到点所经过的路径长．
（2020年辽宁省朝阳市）如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，请按如下要求画图：
（1）以坐标原点O为旋转中心，将顺时针旋转90°，得到，请画出；
（2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出的位似图形，使它与的位似比为．
（2020年宁夏）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是．
（1）画出关于x轴成轴对称的；
（2）画出以点O为位似中心，位似比为1∶2的．
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