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宁夏六盘山市高级中学2021届高三下学期
第一次模拟测试数学（理）试题
学科：理科数学 测试时间：120分钟 满分：150分 命题人：

一.选择题 (本大题共12 小题，每小题5分，共 60分。在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知集合，，图中阴影部分为集合，则的真子集的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 设是虚数单位，若复数()是纯虚数，则的值为　　
A．－3 B．3 C．1 D．－1
3. 下列命题中的假命题是
A．， B．，
C．， D．，
4. 设为两个不重合的平面，能使成立的是
A．内有无数条直线与平行 B．内有两条相交直线与平行
C．内有无数个点到的距离相等 D．垂直于同一平面
5. 函数在上为增函数，则的值可以是
A．0 B． C． D．
的展开式的各项系数和是
A． B． C． D．
7. 2021年，河北新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心．八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援河北，共抗新型冠状病毒肺炎．北京某医院的甲、乙、丙、丁4名医生到河北的A，B，C三个灾区支援，若要求每个灾区至少安排1名医生，则灾区A恰好只有医生甲去支援的概率为
A. B. C. D.
8. 已知，则
A． B． C． D．
9.明代朱载堉创造了音乐上极为重要的“等程律”. 在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法，比如 ，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕=，大吕=，太簇= 据此，可得正项等比数列中
A. B. C. D.
10. 已知函数是上的满足，且的图象关于点对称，当时，，则的值为
A. B. C.0 D.1
11. 如图所示，平面向量的夹角为，，点P关于点A的对称点为点Q，点Q关于点B的对称点为点R，则为 （ ）
A． B．
C．4 D．无法确定
12．已知定义域为的函数满足，且，为自然对数的底数，若关于的不等式≤0恒成立，则实数的取值范围为
A．[1,＋∞） B．[2,＋∞） C．[,＋∞） D．[,＋∞）
二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20 分．把答案填写在答题卡相应位置上)
13. 已知点在不等式组表示的平面区域上运动，则的取值范围是______.
14．数列是等差数列若,,则使前项和成立的最大自然数是________.
15. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经榫卯起来.若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计）,则该球形容器表面积的最小值为_____.
16. 已知,分别是双曲线的左、右焦点，直线为双曲线的一条渐近线，关于直线的对称点在以为圆心，以半焦距为半径的圆上，则双曲线的离心率为 .
解答题(共70 分. 解答应写出文字说明 ， 证明过程或演算步骤)
17.（12分）在中，内角的对边分别为,且.
求B；
若，的面积为，求的周长．

18.（12分）2020年“双11”当天各大线上网站的消费额统计都创下新高，体现了中国在“新冠”疫情之后经济复苏的良好态势.某网站为了调查线上购物时“高消费用户”是否与性别有一定关系，随机调查 200个“双11”当天在该网站消费的用户，得到了如下不完整的列联表：定义“双11”当天消费不高于10000元的用户为“非高消费用户”，消费10000元以上的用户为“高消费用户”.

高消费用户
非高消费用户
总计
男性用户
20


女性用户

40

总计
80



附：，
(1)将列联表填充完整，并判断是否有99%的把握认为线上购物时“高消费用户”与性别有关？
(2)若采用分层抽样的方法从随机调查的200个用户中抽出10个人，再随机抽4人，求高消费用户人数比女性用户人数多l人的概率.
19．(12分)如图，在直角梯形ABCD中，AB?DC，?ABC＝90°，AB＝2DC＝2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B，C不重合)．
(1)证明：平面EMN⊥平面PBC；
(2)是否存在点N，使得二面角的余弦值为，若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由．
20.（12分）已知椭圆的长轴长为4，右焦点为，且恰好是抛物线的焦点.若点为椭圆与抛物线在第一象限的交点，(为坐标原点)重心的横坐标为，且.
（1）求的值和椭圆的标准方程；
（2）若为整数，点为直线上任意一点，连接，过点作的垂线与椭圆交于两点，若，求直线的方程.
21.（12分）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设,若有两个不同的极值点，，且恒成立，求实数的取值范围.
选考题（共10分）考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分.
22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在极坐标系中，点，，曲线．以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系．
（1）在直角坐标系中，求点的直角坐标及曲线的参数方程；
（2）设点为曲线上的动点，求的取值范围．

23.[不等式选讲]（10分）
已知函数.
（1）求的最小值m；
（2）若均为正实数，且满足，求证：．
2020-2021学年第二学期高三第一次模拟答案
选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
B
B
C
D
C
D
C
D
B
B
填空题
13____[-1,2]__________ 14_______4040_____
15________________ 16_____2__________
解答题
17.，
，整理得，
，
，
．
的面积为，
，
，
，
由，可得，
，
的周长为．
18.（本小题满分12分）
解：（1）完整列联表如下：
高消费用户
非高消费用户
总计
男性用户
20
80
100
女性用户
60
40
100
总计
80
120
200
……………………………………………………………………………………………（2分）
由列联表知，
故有的把握认为线上购物时“高消费用户”与性别有关.
……………………………………………………………………………………………（4分）
（2）采用分层抽样的方法从随机调查的200个用户中抽出10个人的结果如下：
高消费用户
非高消费用户
男性用户
1
4
女性用户
3
2
……………………………………………………………………………………………（6分）
记“高消费用户人数比女性用户人数多1人”为事件，
男性高消费用户只被抽出1人，故高消费用户人数比女性用户人数多1人恰为男性高消费用户，
即事件即：男性高消费用户必抽，女性非高消费用户必不抽，在女性高消费用户和男性非高消费用户中7选3即可，……………………………………………………………（8分）
故，
故高消费用户人数比女性用户人数多1人的概率为. ………………………………（12分）
19解析：(1)证明：因为PE⊥EB，PE⊥ED，EB∩ED＝E，
所以PE⊥平面EBCD，
又PE?平面PEB，所以平面PEB⊥平面EBCD，
而BC?平面EBCD，BC⊥EB，所以平面PBC⊥平面PEB，
由PE＝EB，PM＝MB知，EM⊥PB，于是EM⊥平面PBC.
又EM?平面EMN，所以平面EMN⊥平面PBC.
(2)假设存在点N满足题意，取E为原点，
直线EB，ED，EP分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系E xyz，不妨设PE＝EB＝2，
显然平面BEN的一个法向量为n1＝(0,0,1)，
设BN＝m(0则＝(1,0,1)，＝(2，m,0)．
设平面EMN的一个法向量为n2＝(x，y，z)，
则由·n2＝·n2＝0，
即，即，
故可取n2＝(m，－2，－m)，
所以cos〈n1，n2〉＝
＝＝，
依题意＝，
解得m＝1∈(0,2)，此时N为BC的中点．
综上知，存在点N，
使得二面角B EN M的余弦值为，
此时N为BC的中点．
20.解：（1）因为椭圆的长轴长为4，所以，，又椭圆的右焦点恰好是抛物线的焦点，所以.
设，则由题意得，解得，
又在抛物线上，所以，即，解得或.
从而或，又，所以或，
所以椭圆的标准方程为或
（2）因为为整数，所以，，
所以椭圆的标准方程为，直线即直线.
设，则，
因为直线过点，且与垂直，所以直线，
设，，
联立方程，得，消去，整理得，
由根与系数的关系，得，
所以，
又，所以，解得，
所以直线的方程为或.
21.（12分）（1）因为，所以.
当时，因为，所以，此时的单调递增区间为.
当时，令，得.
当时，，当时，.
此时，的单调递增区间为，的单调递减区间为.
（2）因为，所以.
依题意，，解得.
因为，是的极值点，所以，则.
.
所以，由，可得.①
因为，.所以①等价于.
令，则，
因为，所以.
所以在单调递增，且.
所以，.
所以的取值范围是.
选做题
解析：
解析：（1）
（2）方法一：
方法二：

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