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宁夏六盘山市高级中学2021届高三下学期第二次
模拟测试数学（文）试题
学科：文科数学 测试时间：120分钟 满分：150分 命题教师：
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.设为虚数单位），则复数的虚部为( )
A． B．4 C． D．
3.单位向量满足，则的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4.若自治区人民医院有5名医护人员，其中有男性2名，女性3名．现要抽调两人前往河北进行支援，则抽调的两人刚好为一男一女的概率为( )
A． B． C． D．
5.2020年5月5日工信部部长在“两会部长通道”表示，中国每周大概增加1万多个5G基站，4月份增加5G用户700多万人，5G通信将成为社会发展的关键动力，如图是某机构对我国未来十年5G用户规模的发展预测图，关于下列说法，其中正确的是（ ）
A．2022年我国5G用户数规模最大
B．2029年我国5G用户规模年增长率最高
C．从2020年到2026年，我国的5G用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降
D．这十年我国的5G用户数规模，后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差
6.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入，，依次输入的值为1，2，3，则输出的（ ）
A.10 B.11
C.16 D.17
7.函数是定义在上的奇函数，当时，，则( )
A．1 B．
C． D．2021
8.如图，在正方体中，分别为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是( )
A． B． C． D．
9.已知函数，则下列说法错误的是( )
A．的最小正周期是 B．的图象关于的对称
C．在上为减函数 D．的一条对称轴是
10.已知双曲线的右焦点为，若以为坐标原点）为直径的圆被双曲线的一条渐近线所截得的弦长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为( )
A． B．2 C． D．
11．线段的黄金分割点定义：若点在线段上，且满足，则称点为线段的黄金分割点.在中，，，若角的平分线交边于点，则点为边的黄金分割点，利用上述结论，可以求出( )
A． B． C． D．
12．已知点，如果直线的斜率之积为，记，则（ ）
A． B．2 C． D．
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.点满足，则由点构成的平面区域的面积是　　．
14. 记为正项等比数列的前项和，若，则的值为 .
15. 能够说明 “若 ,则 ”是假命题的一组非零实数的值依次为 , ．
16.三棱锥的一条棱长为，其余棱长均为1，当三棱锥的体积最大时，它的外接球的表面积为　　．
三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（12分）
已知数列的前项和为，点，均在函数的图象上．
（1）求数列的通项公式；
（2）设．
（12分）
现有两个全等的等腰直角三角板，直角边长为2，将它们的一直角边重合，若将其中一个三角板沿直角边折起形成三棱锥，如图所示，其中，点，，分别是，，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．
（12分）
某医疗机构承担了某城镇的新冠疫苗接种任务，现统计了前8天每天（用表示）的接种人数（单位：百）相关数据，并制作成如图所示的散点图：
（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的回归方程（系数精确到0.01）；
（2）根据该模型，求第10天接种人数的预报值；并预测哪一天的接种人数会首次突破2500人.
参考数据：
参考公式：最小二乘估计公式分别为.
（12分）
如图，为抛物线上四个不同的点，直线与直线相交于点，直线过点.
（1）记的纵坐标分别为，求的值；
（2）记直线的斜率分别为，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
（12分）
已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在的最小值．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．选修：坐标系与参数方程 （10分）
在花语中，四叶草象征幸运．已知在极坐标系下，方程?＝2sin2è对应的曲线如图所示，我们把这条曲线形象地称为“四叶草”．
（1）当“四叶草”中的时，求以极点为圆心的单位圆与“四叶草”交点的极坐标；
（2）已知A为“四叶草”上的点，求点A到直线距离的最小值以及此时点A的极坐标．
23．选修不等式证明选讲（10分）
已知：，其中．
（1）求证：；
（2）若，求的最小值．
参考答案（仅供参考）
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
B
D
C
B
A
A
D
D
C
C
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．　2　．14．120 15．1,-1（答案不唯一,为正数，为负数均满足）16．．
三．解答题（共7小题，满分80分）
17．（12分）
解：在上，则．（1分）
又时（5分）
又时符合，．（6分）
（2）（9分）
（12分）
18．（12分）
（1）证明：根据已知得，又为的中点，所以，（2分）
因为，为的中点，所以，（4分）
又，平面，平面，所以平面，（5分）
又因为，所以平面．（6分）
（2）解：因为，，所以平面，
取中点，连接，，则平面，（8分）
所以对于三棱锥的体积，以三角形为底，为高，
所以，（10分）
所以．（12分）
19．（12分）
解：（1）由题意得
，所以关于的回归方程为。（6分）
（2）第10天接种人数的预报值即2145人。
由题意知，解得，
故预计从第13天开始，接种人数会突破2500人。（12分）
20．（12分）
解：（1）设直线的方程为，代入，得，所以
（2）由（1）同理可得
设直线的方程，代入，得，所以
又,同理
所以 所以存在实数，使得.
21．（12分）
解：（1）当时，
又得切点，， 所以切线方程为即
（2）法一
令由得
所以在上为单调增函数，又
所以在上恒成立。即
当时，知在上为减函数，从而
当时，知在上为增函数，从而
综上，当时；当时.
法二：
由得
当时，知在上为减函数，从而
当时，知在上为增函数，从而
综上，当时；当时.
22．（10分）
解：（1）以极点为圆心的单位圆，为与联立，得到，
所以，由于，所以或，故极坐标为．
（2）直线，其直角坐标方程为，
当点为时，取得的最小值为1．
23.（10分）
解所证不等式等价于，即，
也就是，，，，
，故原不等式成立．
，
当且仅当或时，取到最小值1．

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