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2021年湖南省长沙市开福区部分中学中考数学模拟试卷（一）
一．选择题（每小题3分）
1．若﹣（﹣2）表示一个数的相反数，则这个数是（　　）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
2．下列把2034000记成科学记数法正确的是（　　）
A．2.034×106 B．20.34×105 C．0.2034×106 D．2.034×103
3．下面4个汽车标志图案，其中不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A．a4?a2＝a8 B．a6÷a2＝a3
C．（2ab2）2＝4a2b? D．（a3）2＝a5
5．如图，直线a∥b，CD⊥AB于点D，若∠1＝40°，则∠2为（　　）
A．140° B．130° C．120° D．50°
6．2015年7月份，某市一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，33，30，33，31．则下列关于这列数据表述正确的是（　　）
A．众数是30 B．中位数是31 C．平均数是33 D．极差是35
7．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≠0 B．m≤ C．m＜ D．m＞
8．与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
9．与点（2，﹣3）在同一反比例函数图象上的点是（　　）
A．（﹣1.5，4） B．（﹣1，﹣6） C．（6，1） D．（﹣2，﹣3）
10．如图，菱形ABCD中，AB＝3，E是BC上一个动点（不与点B、C重合），EF∥AB，交BD于点G，设BE＝x，△GED的面积与菱形ABCD的面积之比为y，则y与x的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（满分18分，每小题3分）
11．把多项式ax2﹣4ax+4a因式分解的结果是　 　．
12．计算：﹣+＝　 　．
13．某校九（1）班准备举行一次演讲比赛，甲、乙、丙三人通过抽签方式决定出场顺序，则出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率是　 　．
14．如图，点A、B、C都在⊙O上，∠ACB＝60°，则∠AOB的度数为　 　．
15．将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6…如图所示有序排列，4所在位置为峰1，﹣9所在位置为峰2…．
（1）处在峰5位置的有理数是　 　；
（2）2022应排在A，B，C，D，E中　 　的位置上．
16．如图，△CAB与△CDE均是等腰直角三角形，并且∠ACB＝∠DCE＝90°．连接BE，AD的延长线与BC、BE的交点分别是点G与点F，且AF⊥BE，将△CDE绕点C旋转直至CD∥BE时，若DA＝4.5，DG＝2，则BF的值是　 　．
三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）
17．计算：2sin45°+|﹣1|﹣tan60°+（π﹣2）0．
18．先化简：（﹣）÷，再从﹣3、﹣2、﹣1、0、1中选一个合适的数作为a的值代入求值．
19．如图是某货站传送货物的平面示意图为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角使其由45°改为30°，已知原传送带AB长为4米．
（1）求新传送带AC的长度；（结果保留根号）
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点5米的货物DEFG是否需要挪走，并说明理由（结果精确到0.1米参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
四．解答题
20．近年以来，雾霾天气让环保和健康问题成为焦点，某校为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图．请你根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）本次调查共抽取了多少名学生？
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）求扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角的度数；
（4）若该校共有1200名学生，请你估计该校比较了解雾霾天气知识的学生的人数．
21．对于关于x的方程x2+（2m﹣1）x+4﹣2m＝0，求满足下列条件的m的取值范围，
（1）两个正根；
（2）有两个负根；
（3）两个根都小于﹣1；
（4）两个根都大于；
（5）一个根大于2，一个根小于2；
（6）两个根都在（0，2）内；
（7）两个根有且仅有一个在（0，2）内；
（8）一个根在（﹣2，0）内，另一个根在（1，3）内；
（9）一个正根，一个负根且正根绝对值较大；
（10）一个根小于2，一个根大于4．
五．解答题
22．为加强校园文化建设，某校准备打造校园文化墙，需用甲、乙两种石材经市场调查，甲种石材的费用y（元）与使用面积x（m2）间的函数关系如图所示，乙种石材的价格为每平方米50元．
（1）求y与x间的函数解析式；
（2）若校园文化墙总面积共600m2，其中使用甲石材xm2，设购买两种石材的总费用为w元，请直接写出w与x间的函数解析式；
（3）在（2）的前提下，若甲种石材使用面积多于300m2，且不超过乙种石材面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种石材的面积才能使总费用最少？最少总费用为多少元？
23．勾股定理是数学史上非常重要的一个定理．早在2000多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有几百种证明方法．在欧几里得编的《原本》中证明勾股定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关问题：
如图，分别以Rt△ABC的三边为边长，向外作正方形ABDE、BCFG、ACHI．
（1）连接BI、CE，求证：△ABI≌△AEC；
（2）过点B作AC的垂线，交AC于点M，交IH于点N．
①试说明四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等；
②请直接写出图中与正方形BCFG的面积相等的四边形．
（3）由第（2）题可得：
正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积＝　 　的面积，即在Rt△ABC中，AB2+BC2＝　 　．
六．解答题
24．如图1，我们将经过抛物线顶点的所有非竖直的直线，叫做该抛物线的“风车线”，若抛物线的顶点为P（a，b），则它的所有“风车线”可以统一表示为：y＝k（x﹣a）+b，即当x＝a时，y始终等于b．
（1）若抛物线y＝﹣2（x+1）2+3与y轴交于点A，求该抛物线经过点A的“风车线”的解析式；
（2）若抛物线可以通过y＝﹣x2平移得到，且它的“风车线”可以统一表示为y＝kx+3k﹣2，求该抛物线的解析式；
（3）如图2，直线m：y＝x+3与直线n：y＝﹣2x+9交于点A，抛物线y＝﹣2（x﹣2）2+1的“风车线”与直线m、n分别交于B、C两点，若△ABC的面积为12，求满足条件的“风车线”的解析式．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx+c交x轴于点A，B，点B的坐标为（4，0），与y轴于交于点C（0，﹣2）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，求点D的坐标及∠ADB的度数；
（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l交x轴于点H，△ABD的外接圆圆心为M（如图1），
①求点M的坐标及⊙M的半径；
②过点B作⊙M的切线交于点P（如图2），设Q为⊙M上一动点，则在点运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．
参考答案
一．选择题（满分30分，每小题3分）
1．若﹣（﹣2）表示一个数的相反数，则这个数是（　　）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
解：﹣（﹣2）＝2，2的相反数是：﹣2．
故选：D．
2．下列把2034000记成科学记数法正确的是（　　）
A．2.034×106 B．20.34×105 C．0.2034×106 D．2.034×103
解：数字2034000科学记数法可表示为2.034×106．
故选：A．
3．下面4个汽车标志图案，其中不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
解：A、是轴对称图形，故错误；
B、是轴对称图形，故错误；
C、是轴对称图形，故错误；
D、不是轴对称图形，故正确．
故选：D．
4．下列运算正确的是（　　）
A．a4?a2＝a8 B．a6÷a2＝a3
C．（2ab2）2＝4a2b? D．（a3）2＝a5
解：A．a4?a2＝a6，故本选项不合题意；
B．a6÷a2＝a4，故本选项不合题意；
C．（2ab2）2＝4a2b4，正确；
D．（a3）2＝a6，故本选项不合题意；
故选：C．
5．如图，直线a∥b，CD⊥AB于点D，若∠1＝40°，则∠2为（　　）
A．140° B．130° C．120° D．50°
解：∵∠1＝40°，
∴∠DCB＝40°，
∵CD⊥AB于点D，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ABC＝50°，
∵a∥b，
∴∠2＝180°﹣∠DBC＝180°﹣50°＝130°，
故选：B．
6．2015年7月份，某市一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，33，30，33，31．则下列关于这列数据表述正确的是（　　）
A．众数是30 B．中位数是31 C．平均数是33 D．极差是35
解：A、31出现了3次，出现的次数最多，则众数是31，故本选项错误；
B、把这些数从小到大排列为30，31，31，31，33，33，35，最中间的数是31，则中位数是31，故本选项正确；
C、这组数据的平均数是（30+31+31+31+33+33+35）÷7＝32，故本选项错误；
D、极差是：35﹣30＝5，故本选项错误；
故选：B．
7．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≠0 B．m≤ C．m＜ D．m＞
解：根据题意得，△＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4m2＝﹣4m+1≥0，
解得：m≤，
故选：B．
8．与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
解：A、＝4，与 被开方数相同，是同类二次根式；
B、＝2 ，与 被开方数不同，不是同类二次根式；
C、＝，与 被开方数不同，不是同类二次根式；
D、，与 不是同类二次根式．
故选：A．
9．与点（2，﹣3）在同一反比例函数图象上的点是（　　）
A．（﹣1.5，4） B．（﹣1，﹣6） C．（6，1） D．（﹣2，﹣3）
解：设反比例数为y＝，
∵反比例数为y＝的图象过点（2，﹣3），
∴k＝xy＝2×（﹣3）＝﹣6，
四个答案中只有A的横纵坐标的积等于﹣6，
故选：A．
10．如图，菱形ABCD中，AB＝3，E是BC上一个动点（不与点B、C重合），EF∥AB，交BD于点G，设BE＝x，△GED的面积与菱形ABCD的面积之比为y，则y与x的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
解：连接BF，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，
∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝AD＝3，
∵EF∥AB，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴AF＝BE＝x，
∴＝，
∵AD∥BC，
∴△GBE∽△GDF，
∴＝，
∴＝，
∵AD∥BC，
∴，
∴S△GED＝S△BED﹣S△BEG＝＝，
∴＝，
即y＝（0＜x＜3），
∵，
∴y＝（0＜x＜3）是开口向下的抛物线，
故选：A．
二．填空题（满分18分，每小题3分）
11．把多项式ax2﹣4ax+4a因式分解的结果是　a（x﹣2）2　．
解：ax2﹣4ax+4a
＝a（x2﹣4x+4）
＝a（x﹣2）2．
故答案为：a（x﹣2）2．
12．计算：﹣+＝　3　．
解：原式＝﹣+2
＝3．
故答案为：3．
13．某校九（1）班准备举行一次演讲比赛，甲、乙、丙三人通过抽签方式决定出场顺序，则出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率是　　．
解：画出树状图得：
∵共有6种等可能的结果，其中出场顺序恰好是甲、乙、丙的只有1种结果，
∴出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率为，
故答案为：．
14．如图，点A、B、C都在⊙O上，∠ACB＝60°，则∠AOB的度数为　120°　．
解：∵点A、B、C都在⊙O上，∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，
故答案为：120°．
15．将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6…如图所示有序排列，4所在位置为峰1，﹣9所在位置为峰2…．
（1）处在峰5位置的有理数是　24　；
（2）2022应排在A，B，C，D，E中　A　的位置上．
解：（1）观察发现：峰n中，A位置的绝对值可以表示为：5n﹣3；
B位置的绝对值可以表示为：5n﹣2；
C位置（峰顶）的绝对值可以表示为：5n﹣1；
D位置的绝对值可以表示为：5n；
E位置的绝对值可以表示为：5n+1；
∴处在峰5位置的有理数是5×5﹣1＝24；
（2）根据规律，∵2022＝5×405﹣3，
∴2022应排在A的位置．
故答案为：（1）24；（2）A．
16．如图，△CAB与△CDE均是等腰直角三角形，并且∠ACB＝∠DCE＝90°．连接BE，AD的延长线与BC、BE的交点分别是点G与点F，且AF⊥BE，将△CDE绕点C旋转直至CD∥BE时，若DA＝4.5，DG＝2，则BF的值是　　．
解：如图，
∵CD∥BE，
∴∠CDG＝∠AFB＝90°，
∴∠AGC+∠DCG＝90°，∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝∠AGC，∠ADC＝∠CDG＝90°，
∴△ADC∽△CDG，
∴
∴CD2＝DA?DG，
∵DA＝4.5，DG＝2，
∴DC＝3．
∵CD∥BE，∠DFE＝90°
∴∠FDC＝90°
∴∠CDF＝∠DCE＝∠AFE＝90°，
∴四边形DCEF是矩形，
又∵CD＝CE，
∴四边形DCEF是正方形，
∴DF＝CD＝3，
∴GF＝DF﹣DG＝3﹣2＝1，
∵CD∥BE，
∴△BFG∽△CDG，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）
17．计算：2sin45°+|﹣1|﹣tan60°+（π﹣2）0．
解：原式＝2×+﹣1﹣+1
＝
＝．
18．先化简：（﹣）÷，再从﹣3、﹣2、﹣1、0、1中选一个合适的数作为a的值代入求值．
解：原式＝?
＝
＝
＝，
当a＝﹣3，﹣1，0，1时，原式没有意义，舍去，
当a＝﹣2时，原式＝﹣．
19．如图是某货站传送货物的平面示意图为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角使其由45°改为30°，已知原传送带AB长为4米．
（1）求新传送带AC的长度；（结果保留根号）
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点5米的货物DEFG是否需要挪走，并说明理由（结果精确到0.1米参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
解：（1）如图，
在Rt△ABM中，AM＝ABsin45°＝2．
在Rt△ACM中，
∵∠ACM＝30°，
∴AC＝2AM＝4．
即新传送带AC的长度约为4米；
（2）结论：货物DEFG不用挪走．
解：在Rt△ABM中，BM＝ABcos45°＝2．
在Rt△ACM中，CM＝AM＝2．
∴CB＝CM﹣BM＝2﹣2≈2.08．
∵DC＝DB﹣CB≈5﹣2.08＝2.92＞2，
∴货物DEFG不应挪走．
四．解答题
20．近年以来，雾霾天气让环保和健康问题成为焦点，某校为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图．请你根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）本次调查共抽取了多少名学生？
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）求扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角的度数；
（4）若该校共有1200名学生，请你估计该校比较了解雾霾天气知识的学生的人数．
解：（1）20÷10%＝200（人），
答：本次调查共抽取了200人；
（2）D等级人数：200×35%＝70（人），
B等级人数：200﹣20﹣80﹣70＝30（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）360°×＝54°，
答：扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角的度数为54°；
（4）1200×＝180（人），
答：该校比较了解雾霾天气知识的学生的人数为180人．
21．对于关于x的方程x2+（2m﹣1）x+4﹣2m＝0，求满足下列条件的m的取值范围，
（1）两个正根；
（2）有两个负根；
（3）两个根都小于﹣1；
（4）两个根都大于；
（5）一个根大于2，一个根小于2；
（6）两个根都在（0，2）内；
（7）两个根有且仅有一个在（0，2）内；
（8）一个根在（﹣2，0）内，另一个根在（1，3）内；
（9）一个正根，一个负根且正根绝对值较大；
（10）一个根小于2，一个根大于4．
解：若原方程有两实数根，则（2m﹣1）2﹣4×1×（4﹣2m）≥0，
整理得：4m2+4m﹣15≥0，
即（2m+5）（2m﹣3）≥0，
解得：m≥或m≤﹣．
设f（x）＝x2+（2m﹣1）x+4﹣2m，
则该二次函数的图象开口向上，对称轴为x＝﹣＝﹣m+，
且该二次函数的图象与x轴交点的横坐标等于方程x2+（2m﹣1）x+4﹣2m＝0的根．
（1）若方程两个正根，如图1，
结合图象可得：，
解得：m，
∵m≥或m≤﹣，
∴m≤﹣．
（2）若方程有两个负根，如图2，
结合图象可得：，
解得：＜m＜2，
∵m≥或m≤﹣，
∴≤m＜2．
（3）若方程两个根都小于﹣1，如图3，
结合图象可得：，
该不等式组无解．
（4）若方程两个根都大于，如图4，
结合图象可得：，
解得：m＜0．
∵m≥或m≤﹣，
∴m≤﹣．
（5）若方程一个根大于2，一个根小于2，如图5，
结合图象可得：f（2）＝4+2（2m﹣1）+4﹣2m＝2m+6＜0，
解得：m＜﹣3．
∵m≥，或m≤﹣，
∴m＜﹣3．
（6）若方程两个根都在（0，2）内，如图6，
结合图象可得：，
解得：﹣＜m＜．
∵m≥或m≤﹣，
∴m不存在．
（7）若方程两个根有且仅有一个在（0，2）内，如图7，
结合图象可得：f（0）?f（2）＜0，
∴（4﹣2m）（2m+6）＜0，
即（2m﹣4）（2m+6）＞0，
解得：m＞2或m＜﹣3．
∵m≥或m≤﹣，
∴m＞2或m＜﹣3．
（8）若方程一个根在（﹣2，0）内，另一个根在（1，3）内，如图8，
结合图象可得：，
即，
不等式组无解．
（9）若方程一个正根，一个负根且正根绝对值较大，如图9，
结合图象可得：，
不等式组无解．
（10）若方程一个根小于2，一个根大于4，如图10，
结合图象可得：，
即，
解得：m＜﹣3．
∵m≥或m≤﹣，
∴m＜﹣3．
五．解答题
22．为加强校园文化建设，某校准备打造校园文化墙，需用甲、乙两种石材经市场调查，甲种石材的费用y（元）与使用面积x（m2）间的函数关系如图所示，乙种石材的价格为每平方米50元．
（1）求y与x间的函数解析式；
（2）若校园文化墙总面积共600m2，其中使用甲石材xm2，设购买两种石材的总费用为w元，请直接写出w与x间的函数解析式；
（3）在（2）的前提下，若甲种石材使用面积多于300m2，且不超过乙种石材面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种石材的面积才能使总费用最少？最少总费用为多少元？
解：（1）①0≤x≤300时，
设y＝kx+b（k≠0），
过（0，0），（300，24000），
，
解得，
∴y＝80x，
②x＞300时，
设y＝kx+b（k≠0），
过（300，24000），（500，30000），
，
解得，
∴y＝30x+15000，
∴y＝；
（2）当0≤x≤300时，w＝80x+50（600﹣x）＝30x+30000；
当x＞300时，w＝30x+15000+50（600﹣x），
即w＝﹣20x+45000；
∴；
（3）设甲种石材为 am2，则乙种石材（600﹣a）m2，
，
∴300＜x≤400，
由（2）知w＝﹣20x+45000，
∵k＝﹣20＜0，
∴W随x的增大而减小，
即甲400m2，乙200m2时，
Wmin＝﹣20×400+45000＝37000．
答：甲种石材400m2，乙种石材200m2时，总费用最少，最少总费用为37000元．
23．勾股定理是数学史上非常重要的一个定理．早在2000多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有几百种证明方法．在欧几里得编的《原本》中证明勾股定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关问题：
如图，分别以Rt△ABC的三边为边长，向外作正方形ABDE、BCFG、ACHI．
（1）连接BI、CE，求证：△ABI≌△AEC；
（2）过点B作AC的垂线，交AC于点M，交IH于点N．
①试说明四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等；
②请直接写出图中与正方形BCFG的面积相等的四边形．
（3）由第（2）题可得：
正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积＝　正方形ACHI　的面积，即在Rt△ABC中，AB2+BC2＝　AC2　．
【解答】（1）证明：∵四边形ABDE、四边形ACHI是正方形，
∴AB＝AE，AC＝AI，∠BAE＝∠CAI＝90°，
∴∠EAC＝∠BAI，
在△ABI和△AEC中，，
∴△ABI≌△AEC（SAS）；
（2）①证明：∵BM⊥AC，AI⊥AC，
∴BM∥AI，
∴四边形AMNI的面积＝2△ABI的面积，
同理：正方形ABDE的面积＝2△AEC的面积，
又∵△ABI≌△AEC，
∴四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等．
②解：四边形CMNH与正方形BCFG的面积相等，理由如下：
连接BH，过H作HP⊥BC于P，如图所示：
易证△CPH≌△ABC（AAS），四边形CMNH是矩形，
∴PH＝BC，
∵△BCH的面积＝CH×NH＝BC×PH，
∴CH×NH＝BC2，
∴四边形CMNH与正方形BCFG的面积相等；
（3）解：由（2）得：正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积＝正方形ACHI的面积；
即在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2；
故答案为：正方形ACHI，AC2．
六．解答题
24．如图1，我们将经过抛物线顶点的所有非竖直的直线，叫做该抛物线的“风车线”，若抛物线的顶点为P（a，b），则它的所有“风车线”可以统一表示为：y＝k（x﹣a）+b，即当x＝a时，y始终等于b．
（1）若抛物线y＝﹣2（x+1）2+3与y轴交于点A，求该抛物线经过点A的“风车线”的解析式；
（2）若抛物线可以通过y＝﹣x2平移得到，且它的“风车线”可以统一表示为y＝kx+3k﹣2，求该抛物线的解析式；
（3）如图2，直线m：y＝x+3与直线n：y＝﹣2x+9交于点A，抛物线y＝﹣2（x﹣2）2+1的“风车线”与直线m、n分别交于B、C两点，若△ABC的面积为12，求满足条件的“风车线”的解析式．
解：（1）对于y＝﹣2（x+1）2+3，令x＝0，则y＝1，故点A（0，1），
顶点P的坐标为（﹣1，3），
则“风车线”的表达式为y＝k（x+1）+3，
将点A的坐标代入上式并解得：k＝﹣2，
故“风车线”的解析式为y＝﹣2（x+1）+3＝﹣2x+1；
（2）y＝kx+3k﹣2＝k（x+3）﹣2，故点P的坐标为（﹣3，﹣2），
故平移后的抛物线表达式为y＝﹣（x+3）2﹣2；
（3）∵抛物线的表达式为y＝﹣2（x﹣2）2+1，则点P（2，1），
则“风车线”的表达式为y＝k（x﹣2）+1，
联立，解得，故点A（2，5），
故AP＝5﹣1＝4，
则△ABC的面积＝S△APB+S△APC＝×4×（xC﹣xB）＝12，
解得：xC﹣xB＝6，
设点B的横坐标为t，则点C的横坐标为t+6，
点B在直线m上，则点B（t，t+3），
同理点C（t+6，﹣2t﹣3），
将点B、C的坐标分别代入y＝k（x﹣2）+1，得，
解得或，
故“风车线”的表达式为y＝k（x﹣2）+1＝﹣（x﹣2）+1＝﹣x+3或y＝1．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx+c交x轴于点A，B，点B的坐标为（4，0），与y轴于交于点C（0，﹣2）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，求点D的坐标及∠ADB的度数；
（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l交x轴于点H，△ABD的外接圆圆心为M（如图1），
①求点M的坐标及⊙M的半径；
②过点B作⊙M的切线交于点P（如图2），设Q为⊙M上一动点，则在点运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．
解：（1）c＝﹣2，将点B的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣4b﹣2，解得：b＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）当x＝5时，y＝x2﹣x﹣2＝3，故D的坐标为（5，3），
令y＝0，则x＝4（舍去）或﹣1，故点A（﹣1，0），
如图①，连接BD，作BN⊥AD于N，
∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），
∴AD＝3，BD＝，AB＝5，
∵S△ABD＝＝，
∴BN＝，
∴sin∠BDN＝＝＝，
∴∠BDN＝45°；
∴∠ADB＝∠BDN＝45°；
（3）①如图②，连接MA，MB，
∵∠ADB＝45°，
∴∠AMB＝2∠ADB＝90°，
∵MA＝MB，MH⊥AB，
∴AH＝BH＝HM＝，
∴点M的坐标为（，）⊙M的半径为；
②如图③，连接MQ，MB，
∵过点B作⊙M的切线交1于点P，
∴∠MBP＝90°，
∵∠MBO＝45°，
∴∠PBH＝45°，
∴PH＝HB＝5，
∵＝，＝，
∵∠HMQ＝∠QMP，
∴△HMQ∽△QMP，
∴＝，
∴在点Q运动过程中的值不变，其值为．

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