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2021年山东省济宁市泗水县三校联考中考数学一模试卷
一．选择题（每小题3分）
1．﹣5的绝对值是（　　）
A．﹣5 B．5 C． D．﹣
2．如果点P（a，2019）与点Q（2020，b）关于x轴对称，那么a+b的值等于（　　）
A．﹣4039 B．﹣1 C．1 D．4039
3．下面调查统计中，适合采用普查方式的是（　　）
A．华为手机的市场占有率
B．乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品
C．国家宝藏”专栏电视节目的收视率
D．“现代”汽车每百公里的耗油量
4．如图所示的几何体，从上面看得到的图形是（　　）
A． B． C． D．
5．暑假期间，某科幻小说的销售量急剧上升．某书店分别用600元和800元两次购进该小说，第二次购进的数量比第一次多40套，且两次购书时，每套书的进价相同．若设书店第一次购进该科幻小说x套，由题意列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，DC、AE交于点F，则S△DEF：S△ACF＝（　　）
A． B． C． D．
7．定义运算：a★b＝a（1﹣b）．若a，b是方程的两根，则b★b﹣a★a的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．与m有关
8．如图，矩形ABCD中，AB＝2AD＝4cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿线段AB向点B运动，动点Q同时从点A出发，以2cm/s的速度沿折线AD→DC→CB向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是x（s）时，△APQ的面积是y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，点P在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为2，则k的值为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．6
10．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在DC边上，且CE＝2DE，连接AE交BD于点G，过点D作DF⊥AE，连接OF并延长，交DC于点P，过点O作OQ⊥OP分别交AE、AD于点N、H，交BA的延长线于点Q，现给出下列结论：①∠AFO＝45°；②OG＝DG；③DP2＝NH?OH；④sin∠AQO＝；其中正确的结论有（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
二．填空题（满分15分，每小题3分）
11．计算：（﹣）×+|3﹣2|+（）﹣2＝　 　．
12．关于x的不等式组有2个整数解，则a的取值范围为　 　．
13．如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡的坡度为1：0.75，那么该大坝迎水坡AB的长度为　 　米．
14．如图，将矩形纸片ABCD沿EF对折，使得点C与点A重合，若AB＝4cm，BC＝8cm，则线段AF的长为　 　．
15．已知：20＝1，21＝2，22＝4，23＝8，24的个位数是6，25的个位数是2，…，则20+21+22+23+24+…+22021的个位数字是　 　．
三．解答题
16．先化简，再求值：[（2x﹣y）2+x（y﹣4x）+8y2]÷3y，其中x＝3，y＝﹣1．
17．第七次全国人口普查期间，某中学为了提高学生对人口普查的认识，在全校开展了主题为“人口普查，人人有责”的知识竞赛活动，共有1200名学生参加了此次竞赛（满分为100分），学校从中随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表和统计图，请根据图表信息解答以下问题：
组别 分数/分 频数
A 70≤x＜75 2
B 75≤x＜80 6
C 80≤x＜85 10
D 85≤x＜90 a
E 90≤x＜95 16
F 95≤x≤100 4
（1）本次调查随机抽取了　 　个参赛学生的成绩；所抽取参赛学生成绩的中位数所在的“组别”是　 　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）估计全校1200名学生中，知识竞赛成绩达到“优秀（90≤x≤100）”的有　 　名；
（4）成绩前四名的学生中有两名男生和两名女生，若从这四名学生中选两人为该校的人口普查知识宣传员，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．
18．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED是菱形．
19．在抗击新冠肺炎疫情期间，市场上防护口罩出现热销，某药店售出一批口罩．已知3包儿童口罩和2包成人口罩共26个，5包儿童口罩和3包成人口罩共40个．
（1）求儿童口罩和成人口罩的每包各是多少个？
（2）某家庭欲购进这两种型号的口罩共5包，为使其中口罩总数量不低于26个，且不超过34个，
①有哪几种购买方案？
②若每包儿童口罩8元，每包成人口罩25元，哪种方案总费用最少？
20．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形．
21．（1）如图1，正方形ABCD和正方形DEFG（其中AB＞DE），连接CE，AG交于点H，请直接写出线段AG与CE的数量关系　 　，位置关系　 　；
（2）如图2，矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG，AB＝2DE，AD＝DE，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°），连接AG，CE交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG，CE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG＝6，AB＝2DE＝8，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°），直线AG，CE交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段AE的长．
22．如图1，抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点（﹣1，0）与y轴交于点B（0，3），在线段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P．
（1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；
（2）连接PA、PB，求△PAB面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
（3）如图2，点E（2，0），将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A+E'B的最小值．
参考答案
一．选择题（每题3分，满分30分）
1．﹣5的绝对值是（　　）
A．﹣5 B．5 C． D．﹣
解：﹣5的绝对值是5，
故选：B．
2．如果点P（a，2019）与点Q（2020，b）关于x轴对称，那么a+b的值等于（　　）
A．﹣4039 B．﹣1 C．1 D．4039
解：∵点P（a，2019）与点Q（2020，b）关于x轴对称，
∴a＝2020，b＝﹣2019，
∴a+b＝1，
故选：C．
3．下面调查统计中，适合采用普查方式的是（　　）
A．华为手机的市场占有率
B．乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品
C．国家宝藏”专栏电视节目的收视率
D．“现代”汽车每百公里的耗油量
解：A、对华为手机的市场占有率的调查范围广，适合抽样调查，故此选项不符合题意；
B、对乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品的调查情况适合普查，故此选项符合题意；
C、对国家宝藏”专栏电视节目的收视率的调查范围广，适合抽样调查，故此选项不符合题意；
D、对“现代”汽车每百公里的耗油量的调查范围广适合抽样调查，故此选项不符合题意；
故选：B．
4．如图所示的几何体，从上面看得到的图形是（　　）
A． B． C． D．
解：从上边看是一个六边形，中间为圆．
故选：D．
5．暑假期间，某科幻小说的销售量急剧上升．某书店分别用600元和800元两次购进该小说，第二次购进的数量比第一次多40套，且两次购书时，每套书的进价相同．若设书店第一次购进该科幻小说x套，由题意列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
解：若设书店第一次购进该科幻小说x套，
由题意列方程正确的是，
故选：C．
6．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，DC、AE交于点F，则S△DEF：S△ACF＝（　　）
A． B． C． D．
解：∵S△BDE：S△CDE＝1：3，
∴BE：EC＝1：3，
∴BE：BC＝1：4．
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴DE：AC＝BE：BC＝1：4，
∵DE∥AC，
∴△DEF∽△ACF，
∴S△DEF：S△ACF＝＝，
故选：D．
7．定义运算：a★b＝a（1﹣b）．若a，b是方程的两根，则b★b﹣a★a的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．与m有关
解：∵a，b是方程x2﹣x+m＝0（m＜0）的两根，
∴a+b＝1，
∴b★b﹣a★a＝b（1﹣b）﹣a（1﹣a）＝b（a+b﹣b）﹣a（a+b﹣a）＝ab﹣ab＝0．
故选：A．
8．如图，矩形ABCD中，AB＝2AD＝4cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿线段AB向点B运动，动点Q同时从点A出发，以2cm/s的速度沿折线AD→DC→CB向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是x（s）时，△APQ的面积是y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
解：当点Q在AD上运动时，0≤x≤1，
y＝?AP?AQ＝?x?2x＝x2；
当点Q在CD上运动时，1＜x≤3，
y＝?AP?AD＝?x?2＝x；
当点Q在CB上运动时，3＜x≤4，
y＝?AP?QB＝?x?（8﹣2x）＝﹣x2+4x，
故选：A．
9．如图，点P在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为2，则k的值为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．6
解：依据比例系数k的几何意义可得，△PAO的面积＝|k|，
即|k|＝2，
解得，k＝±4，
由于函数图象位于第一、三象限，
故k＝4，
故选：C．
10．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在DC边上，且CE＝2DE，连接AE交BD于点G，过点D作DF⊥AE，连接OF并延长，交DC于点P，过点O作OQ⊥OP分别交AE、AD于点N、H，交BA的延长线于点Q，现给出下列结论：①∠AFO＝45°；②OG＝DG；③DP2＝NH?OH；④sin∠AQO＝；其中正确的结论有（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝DO＝CO＝BO，AC⊥BD，
∵∠AOD＝∠NOF＝90°，
∴∠AON＝∠DOF，
∵∠OAD+∠ADO＝90°＝∠OAF+∠DAF+∠ADO，
∵DF⊥AE，
∴∠DAF+∠ADF＝90°＝∠DAF+∠ADO+∠ODF，
∴∠OAF＝∠ODF，
∴△ANO≌△DFO（ASA），
∴ON＝OF，
∴∠AFO＝45°，故①正确；
如图，过点O作OK⊥AE于K，
∵CE＝2DE，
∴AD＝3DE，
∵tan∠DAE＝，
∴AF＝3DF，
∵△ANO≌△DFO，
∴AN＝DF，
∴NF＝2DF，
∵ON＝OF，∠NOF＝90°，
∴OK＝KN＝KF＝FN，
∴DF＝OK，
又∵∠OGK＝∠DGF，∠OKG＝∠DFG＝90°，
∴△OKG≌△DFG（AAS），
∴GO＝DG，故②正确；
③∵∠DAO＝∠ODC＝45°，OA＝OD，∠AOH＝∠DOP，
∴△AOH≌△DOP（ASA），
∴AH＝DP，
∵∠ANH＝∠FNO＝45°＝∠HAO，∠AHN＝∠AHO，
∴△AHN∽△OHA，
∴，
∴AH2＝HO?HN，
∴DP2＝NH?OH，故③正确；
∵∠NAO+∠AON＝∠ANQ＝45°，∠AQO+∠AON＝∠BAO＝45°，
∴∠NAO＝∠AQO，
∵OG＝GD，
∴AO＝2OG，
∴AG＝＝OG，
∴sin∠NAO＝sin∠AQO＝＝，故④正确，
故选：D．
二．填空题（满分15分，每小题3分）
11．计算：（﹣）×+|3﹣2|+（）﹣2＝　1　．
解：原式＝﹣+2﹣3+4
＝﹣2+2﹣3+4
＝1．
故答案为1．
12．关于x的不等式组有2个整数解，则a的取值范围为　0≤a＜1　．
解：解不等式8+2x＞0，得：x＞﹣4，
解不等式x﹣a≤﹣2，得：x≤a﹣2，
∵不等式组有两个整数解，
∴不等式组的整数解为﹣3、﹣2，
∴﹣2≤a﹣2＜﹣1，
解得0≤a＜1，
故答案为：0≤a＜1．
13．如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡的坡度为1：0.75，那么该大坝迎水坡AB的长度为　15　米．
解：如图，过点B作BC垂直于水平面于点C，
∵BC：AC＝1：0.75，
∴12：AC＝1：0.75，
∴AC＝9（米），
∴AB＝＝＝15（米），
答：该大坝迎水坡AB的长度为15米．
故答案为：15．
14．如图，将矩形纸片ABCD沿EF对折，使得点C与点A重合，若AB＝4cm，BC＝8cm，则线段AF的长为　5cm　．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4cm，AD＝BC＝8cm，∠C＝90°，
∵将矩形纸片ABCD沿EF对折，使得点C与点A重合，
∴DF＝GF，AG＝CD＝4cm，∠G＝∠C＝90°，
设AF＝xcm，则DF＝（8﹣x）cm，
在Rt△AGF中，由勾股定理得：AF2＝AG2+GF2，
∴x2＝42+（8﹣x） 2，
解得：x＝5，
即线段AF的长为5cm，
故答案为：5cm．
15．已知：20＝1，21＝2，22＝4，23＝8，24的个位数是6，25的个位数是2，…，则20+21+22+23+24+…+22021的个位数字是　3　．
解：因为21＝2，22＝4，23＝8，24的个位数是6，25的个位数是2，…，且2021＝5×404+1，
所以20+21+22+23+24+…+22021的个位数字之和是：1+（2+4+8+6）×404+2＝8083，
所以20+21+22+23+24+…+22021的个位数字是3．
故答案是：3．
三．解答题
16．先化简，再求值：[（2x﹣y）2+x（y﹣4x）+8y2]÷3y，其中x＝3，y＝﹣1．
解：原式＝（4x2﹣4xy+y2+xy﹣4x2+8y2）÷3y
＝（﹣3xy+9y2）÷3y
＝﹣x+3y，
当x＝3，y＝﹣1时，
原式＝﹣3﹣3＝﹣6．
17．第七次全国人口普查期间，某中学为了提高学生对人口普查的认识，在全校开展了主题为“人口普查，人人有责”的知识竞赛活动，共有1200名学生参加了此次竞赛（满分为100分），学校从中随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表和统计图，请根据图表信息解答以下问题：
组别 分数/分 频数
A 70≤x＜75 2
B 75≤x＜80 6
C 80≤x＜85 10
D 85≤x＜90 a
E 90≤x＜95 16
F 95≤x≤100 4
（1）本次调查随机抽取了　50　个参赛学生的成绩；所抽取参赛学生成绩的中位数所在的“组别”是　D　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）估计全校1200名学生中，知识竞赛成绩达到“优秀（90≤x≤100）”的有　480　名；
（4）成绩前四名的学生中有两名男生和两名女生，若从这四名学生中选两人为该校的人口普查知识宣传员，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．
解：（1）10÷20%＝50（个），则a＝50﹣2﹣6﹣10﹣16﹣4＝12，
所抽取参赛学生成绩的中位数是第25个、第26个参赛学生成绩的平均数，
∴所抽取参赛学生成绩的中位数所在的“组别”是D，
故答案为：50，D；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）1200×＝480（名），
即估计全校1200名学生中，知识竞赛成绩达到“优秀（90≤x≤100）”的有480名，
故答案为：480；
（4）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，恰好选中一名男生和一名女生的结果有8个，
∴恰好选中一名男生和一名女生的概率为＝．
18．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED是菱形．
【解答】证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵矩形ABCD，
∴AO＝OC＝OB＝OD＝AC＝BD，
∴四边形OCED是菱形．
19．在抗击新冠肺炎疫情期间，市场上防护口罩出现热销，某药店售出一批口罩．已知3包儿童口罩和2包成人口罩共26个，5包儿童口罩和3包成人口罩共40个．
（1）求儿童口罩和成人口罩的每包各是多少个？
（2）某家庭欲购进这两种型号的口罩共5包，为使其中口罩总数量不低于26个，且不超过34个，
①有哪几种购买方案？
②若每包儿童口罩8元，每包成人口罩25元，哪种方案总费用最少？
解：（1）设儿童口罩每包x个，成人口罩每包y个，根据题意得，
，
解得，，
∴儿童口罩每包2个，成人口罩每包10个；
（2）①设购买儿童口罩m包，则购买成人口罩（5﹣m）包，根据题意得，
，
解得，2≤m≤3，
∵m为整数，
∴m＝2或m＝3，
∴共有两种购买方案：方案一：购买儿童口罩2包，则购买成人口罩3包；方案二：购买儿童口罩3包，则购买成人口罩2包．
②方案一的总费用为：2×8+3×25＝91元；
方案二的总费用为：3×8+2×25＝74元．
∵91＞74，
∴方案二的总费用最少．
20．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形．
【解答】证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
（2）由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形．
21．（1）如图1，正方形ABCD和正方形DEFG（其中AB＞DE），连接CE，AG交于点H，请直接写出线段AG与CE的数量关系　相等　，位置关系　垂直　；
（2）如图2，矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG，AB＝2DE，AD＝DE，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°），连接AG，CE交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG，CE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG＝6，AB＝2DE＝8，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°），直线AG，CE交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段AE的长．
解：（1）如图1，
在正方形ABCD和正方形DEFG中，∠ADC＝∠EDG＝90°，
∴∠ADE+∠EDG＝∠ADC+∠ADE，
即∠ADG＝∠CDE，
∵DG＝DE，DA＝DC，
∴△GDA≌△EDC（SAS），
∴AG＝CE，∠GAD＝∠ECD，
∵∠COD＝∠AOH，
∴∠AHO＝∠CDO＝90°，
∴AG⊥CE，
故答案为：相等，垂直；
（2）不成立，CE＝2AG，AG⊥CE，理由如下：
如图2，由（1）知，∠EDC＝∠ADG，
∵AD＝2DG，AB＝2DE，AD＝DE，
∴，＝＝，
∴＝，
∴△GDA∽△EDC，
∴＝，即CE＝2AG，
∵△GDA∽△EDC，
∴∠ECD＝∠GAD，
∵∠COD＝∠AOH，
∴∠AHO＝∠CDO＝90°，
∴AG⊥CE；
（3）①当点E在线段AG上时，如图3，
在Rt△EGD中，DG＝3，ED＝4，则EG＝5，
过点D作DP⊥AG于点P，
∵∠DPG＝∠EDG＝90°，∠DGP＝∠EGD，
∴△DGP∽△EGD，
∴＝，即，
∴PD＝，PG＝，
则AP＝＝＝，
则AE＝AG﹣GE＝AP+GP﹣GE＝+﹣5＝；
②当点G在线段AE上时，如图4，
过点D作DP⊥AG于点P，
∵∠DPG＝∠EDG＝90°，∠DGP＝∠EGD，
同理得：PD＝，AP＝，
由勾股定理得：PE＝＝，
则AE＝AP+PE＝+＝；
综上，AE的长为．
22．如图1，抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点（﹣1，0）与y轴交于点B（0，3），在线段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P．
（1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；
（2）连接PA、PB，求△PAB面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
（3）如图2，点E（2，0），将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A+E'B的最小值．
解：（1）∵抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点C（﹣1，0）与y轴交于点B（0，3），
则有，解得，
∴抛物线y＝﹣x2+x+3，
令y＝0，得到﹣x2+x+3＝0，
解得：x＝4或﹣1，
∴A（4，0），B（0，3），
设直线AB解析式为y＝kx+b，则，解得，
∴直线AB解析式为y＝﹣x+3；
（2）如图1中，设P（x，﹣x2+x+3），则点N（x，﹣x+3），
则设△PAB面积为S，
则S＝S△PNA+S△PNB＝×PN×OA＝×4×（﹣x2+x+3+x﹣3）＝﹣x2+6x，
∵＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为6，此时P（2，4.5）；
（3）如图2中，在y轴上取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．
∵OE′＝2，OM′?OB＝×3＝4，
∴OE′2＝OM′?OB，
∴，
∵∠BOE′＝∠M′OE′，
∴△M′OE′∽△E′OB，
∴，
∴M′E′＝BE′，
∴AE′+BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），
最小值＝AM′＝＝．

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