资源简介

2021年四川省成都市高新区中考数学一诊试卷
一、选择题（共10小题）.
1．﹣的相反数是（　　）
A．5 B．﹣5 C． D．﹣
2．如图是由四个完全相同的小正方体组合而成的几何体，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．2021年2月24日，我国首次火星探测任务天问一号探测器成功实施第三次近火制动，进入火星停泊轨道．此次天问一号探测器进入的火星停泊轨道是与火星的最远距离59000公里的椭圆形轨道．将59000用科学记数法表示为（　　）
A．59×103 B．5.9×104 C．0.59×105 D．5.9×105
4．在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）向左平移2个单位长度后得到的点的坐标为（　　）
A．（﹣5，2） B．（﹣3，﹣1） C．（﹣3，4） D．（﹣1，2）
5．下列计算正确的是（　　）
A．m2+2m2＝3m4 B．m5?m2＝m10
C．（3mn）2＝6m2n2 D．4m3÷2m＝2m2
6．如图，AB∥DE，BC∥EF，∠B＝50°，则∠E的度数为（　　）
A．50° B．120° C．130° D．150°
7．2021年8月18日，第三十一届世界大学生夏季运动会将在四川成都举行．为迎接大运会的到来，某校开展了主题为“爱成都?迎大运”的演讲比赛．九年级10名同学参加该演讲比赛的成绩如下表，则这组数据的众数和中位数分别为（　　）
成绩/分 80 85 90 95
人数/人 2 3 4 1
A．85，87.5 B．85，85 C．90，85 D．90，87.5
8．方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴是x＝1，下列说法正确的是（　　）
A．a＞0 B．c＜0 C．2a+b＝0 D．b2﹣4ac＜0
10．如图，四边形ABCD是半径为3的⊙O的内接四边形，连接OA，OC．若∠AOC＝∠ABC，则的长为（　　）
A．π B．2π C．3π D．9π
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11．因式分解：3x2+6x＝　 　．
12．如图，△ABC≌△ABD，∠C＝30°，∠ABC＝85°，则∠BAD的度数为　 　
13．一次函数y＝（2m﹣1）x+m的函数值y随x值的增大而增大，则m的取值范围是　 　．
14．如图，?ABCD的对角线AC与BD交于点O，BD⊥AD，AB＝10，AD＝6，则AC的长为　 　．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（1）计算：（）﹣1﹣+sin30°+|﹣2|；
（2）解不等式组：．
16．先化简，再求值：，从﹣2，﹣1，2中选取一个合适的数作为a的值代入求值．
17．为帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志，某校开展了“一人一球”的体育选修课活动．学生根据自己的喜好选择一门球类项目（A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球），王老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后；制成了两幅不完整的统计图（如图所示）．
（1）王老师调查的学生人数是　 　，请将条形统计图补充完整；
（2）若该校共有学生1500名，请估计有多少学生选修乒乓球？
（3）现有4名学生，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，王老师要从这4人中任选2人了解他们对体育选修课的看法，请用列表或画树状图的方法，求出所选2人都是选修篮球的概率．
18．如图，一艘货轮以40海里/小时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B，货轮继续向北航行30分钟后到达C点，发现灯塔B在它北偏东75°方向，求此时货轮与灯塔B的距离．（结果精确到0.1海里，参考数据：≈1.414，≈1.732）
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，点A的横坐标为4．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点B（，0）作x轴的垂线，与反比例函数图象交于点C，将直线OA向上平移b个单位长度后与y轴交于点D，与直线BC交于点E，与反比例函数图象交于点F．若DE＝DF，求b的值．
20．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，D为圆上一点，且B，D两点位于AC异侧，连接BD，交AC于E，点F为BD延长线上一点，连接AF，使得∠DAF＝∠ABD．
（1）求证：AF为⊙O的切线；
（2）当点D为EF的中点时，求证：AD2＝AO?AE；
（3）在（2）的条件下，若sin∠BAC＝，AF＝2，求BF的长．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．若+|b+2|＝0，则a+b的值为　 　．
22．关于x的方程+＝2的解为正数，则m的取值范围是　 　．
23．数学家刘徽首创割圆术，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求出圆周率．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为　 　．
24．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝12，F是边AD上一点，连接BF，将△ABF沿BF折叠使点A落在G点，连接AG并延长交CD于点E，连接GD．若△DEG是以DG为腰的等腰三角形，则AF的长为　 　．
25．如图，反比例函数y＝﹣的图象与直线y＝x+b（b＞0）交于A，B两点（点A在点B右侧），过点A作x轴的垂线，垂足为点C，连接AO，BO，图中阴影部分的面积为12，则b的值为　 　．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．2021年春节，不少市民响应国家号召原地过年．为保障市民节日消费需求，某商家宣布“今年春节不打烊”，该商家以每件80元的价格购进一批商品，规定每件商品的售价不低于进价且不高于100元，经市场调查发现，该批商品的日销售量y（件）与每件售价x（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：
每件售价x（元） … 85 90 95 …
日销售量y（件） … 230 180 130 …
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件商品的售价定为多少元时，该批商品的日销售利润最大？日销售最大利润是多少？
27．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D，E分别为边BC，AC上的点，连接DE，过D作DF⊥DE交AC边于点F（F不与点C重合），点G为射线DF上一点，连接EG，使∠BAC＝∠DEG＝α．
（1）连接CG，求证：△DEF∽△CGF；
（2）当α＝45°时，请探究AE，BD与CG三者满足的数量关系，并证明；
（3）如图2，点M，N分别为EG和AC的中点，连接MN．若tanα＝2，BD＝CD，AC＝10，请直接写出MN的最小值．
28．抛物线y＝﹣x2+mx+2n（m，n为常数，且n＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点 C．
（1）若点B的横坐标为4，抛物线的对称轴为x＝．
ⅰ）求该抛物线的函数表达式；
ⅱ）如图1，在直线BC上方的抛物线上取点D，连接AD，交BC于点E，若＝7，求点D的坐标．
（2）如图2，当m＝n﹣2时，过点A作BC的平行线，与y轴交于点F，将抛物线在直线BC上方的图象沿BC折叠，若折叠后的图象（图中虚线部分）与直线AF有且只有一个公共点，求n的值．
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．﹣的相反数是（　　）
A．5 B．﹣5 C． D．﹣
解：﹣的相反数是，故选：C．
2．如图是由四个完全相同的小正方体组合而成的几何体，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
解：从正面看，如图所示，
，
故选：A．
3．2021年2月24日，我国首次火星探测任务天问一号探测器成功实施第三次近火制动，进入火星停泊轨道．此次天问一号探测器进入的火星停泊轨道是与火星的最远距离59000公里的椭圆形轨道．将59000用科学记数法表示为（　　）
A．59×103 B．5.9×104 C．0.59×105 D．5.9×105
解：59000＝5.9×104，
故选：B．
4．在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）向左平移2个单位长度后得到的点的坐标为（　　）
A．（﹣5，2） B．（﹣3，﹣1） C．（﹣3，4） D．（﹣1，2）
解：将点P（﹣3，2）向左平移2个单位长度得到的点坐标为（﹣3﹣2，2），即（﹣5，2），
故选：A．
5．下列计算正确的是（　　）
A．m2+2m2＝3m4 B．m5?m2＝m10
C．（3mn）2＝6m2n2 D．4m3÷2m＝2m2
解：A、原式＝3m2，故A选项错误．
B、原式＝m7，故B选项错误．
C、原式＝9m2n2，故C选项错误．
D、原式＝2m2，故D选项正确．
故选：D．
6．如图，AB∥DE，BC∥EF，∠B＝50°，则∠E的度数为（　　）
A．50° B．120° C．130° D．150°
解：∵AB∥DE，
∴∠1＝∠B＝50°，
∵BC∥EF，
∴∠E＝180°﹣∠1＝180°﹣50°＝130°．
故选：C．
7．2021年8月18日，第三十一届世界大学生夏季运动会将在四川成都举行．为迎接大运会的到来，某校开展了主题为“爱成都?迎大运”的演讲比赛．九年级10名同学参加该演讲比赛的成绩如下表，则这组数据的众数和中位数分别为（　　）
成绩/分 80 85 90 95
人数/人 2 3 4 1
A．85，87.5 B．85，85 C．90，85 D．90，87.5
解：在这一组数据中90是出现次数最多的，故众数是90．
而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数是85、90，
那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是87.5．
故选：D．
8．方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
解：，
①+②得，x＝2，
把x＝2代入①得，6+2y＝7，解得，
故原方程组的解为：．
故选：D．
9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴是x＝1，下列说法正确的是（　　）
A．a＞0 B．c＜0 C．2a+b＝0 D．b2﹣4ac＜0
解：A、根据开口向下，a＜0，故A错误．不符合题意．
B、抛物线交y轴的正半轴，故c＞0，故B错误，不符合题意．
C、对称轴x＝1，，故2a+b＝0，故C正确，符合题意．
D、抛物线与x轴有两个交点，b2﹣4ac＞0，故D错误，不符合题意．
故选：C．
10．如图，四边形ABCD是半径为3的⊙O的内接四边形，连接OA，OC．若∠AOC＝∠ABC，则的长为（　　）
A．π B．2π C．3π D．9π
解：∵四边形内接于⊙O，∠AOC＝2∠ADC，
∴∠ADC+∠ABC＝∠AOC+∠ABC＝180°．
又∠AOC＝∠ABC，
∴∠AOC＝120°．
∵⊙O的半径为3，
∴劣弧AC的长为＝2π．
故选：B．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11．因式分解：3x2+6x＝　3x（x+2）　．
解：原式＝3x2+6x
＝3x（x+2）．
故答案为：3x（x+2）．
12．如图，△ABC≌△ABD，∠C＝30°，∠ABC＝85°，则∠BAD的度数为　65°．　
解：∵∠C＝30°，∠ABC＝85°．
∴∠CAB＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝65°，
∵△ABC≌△ABD，
∴∠BAD＝∠CAB＝65°．
故答案为：65°．
13．一次函数y＝（2m﹣1）x+m的函数值y随x值的增大而增大，则m的取值范围是　m＞　．
解：∵y随x的增大而增大，
∴2m﹣1＞0．
解得：m＞．
故答案为：m＞．
14．如图，?ABCD的对角线AC与BD交于点O，BD⊥AD，AB＝10，AD＝6，则AC的长为　　．
解：∵BD⊥AD，AB＝10，AD＝6．
∴BD＝＝8．
∵四边形ABCD是平行四边形．
∴DO＝BD＝4． AC＝2AO．
∵△ADO是直角三角形．
∴AO＝＝＝．
∴
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（1）计算：（）﹣1﹣+sin30°+|﹣2|；
（2）解不等式组：．
解：（1）（）﹣1﹣+sin30°+|﹣2|．
＝3﹣2++2﹣
＝．
（2）．
解不等式①，得：x≥﹣1，
解不等式②，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜3．
16．先化简，再求值：，从﹣2，﹣1，2中选取一个合适的数作为a的值代入求值．
解：原式＝?
＝﹣?
＝﹣，
当a＝﹣2，2时，分式无意义，
当a＝﹣1时，原式＝﹣．
17．为帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志，某校开展了“一人一球”的体育选修课活动．学生根据自己的喜好选择一门球类项目（A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球），王老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后；制成了两幅不完整的统计图（如图所示）．
（1）王老师调查的学生人数是　50　，请将条形统计图补充完整；
（2）若该校共有学生1500名，请估计有多少学生选修乒乓球？
（3）现有4名学生，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，王老师要从这4人中任选2人了解他们对体育选修课的看法，请用列表或画树状图的方法，求出所选2人都是选修篮球的概率．
解：（1）该班总人数＝10÷20%＝50（人）．
D人数＝50﹣10﹣4﹣16﹣8＝12（人），
条形图如图所示：
故答案为：50；补全条形图如图．
（2）1500×＝240（人），
答：估计有240学生选修乒乓球．
（3）画树状图为：A：篮球，B：足球，C：排球．
共有12种等可能的结果数，其中所选2人都是选修篮球有2种可能，
所以选出的2人至少有1人选修羽毛球概率＝．
18．如图，一艘货轮以40海里/小时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B，货轮继续向北航行30分钟后到达C点，发现灯塔B在它北偏东75°方向，求此时货轮与灯塔B的距离．（结果精确到0.1海里，参考数据：≈1.414，≈1.732）
解：如图所示：过点C作CD⊥AB于点D，
∵货轮以40海里/小时的速度在海面上航行，向北航行30分钟后到达C点
∴AC＝40×＝20海里，
∵∠A＝45°，∠1＝75°，
∴∠ACD＝45°，∠DCB＝60°，
则∠B＝30°，
则DC＝ACsin45°＝20×＝10海里，
故BC＝2CD＝20≈28.3海里．
答：此时货轮与灯塔B的距离约为28.3海里．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，点A的横坐标为4．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点B（，0）作x轴的垂线，与反比例函数图象交于点C，将直线OA向上平移b个单位长度后与y轴交于点D，与直线BC交于点E，与反比例函数图象交于点F．若DE＝DF，求b的值．
解：（1）∵点A的横坐标为4．
∴当x＝4时，y＝．
∴点A（4，2）．
将点A坐标代入y＝．
∴k＝8．
∴．
（2）设直线DF表达式为：y＝．
根据题意得：D（0，b）、B（，）
∵DE＝DF．
∴点E是DF的中点．
∴利用中点坐标公式点F（3，）．
∵点F在反比例函数上．
∴．
∴b＝．
20．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，D为圆上一点，且B，D两点位于AC异侧，连接BD，交AC于E，点F为BD延长线上一点，连接AF，使得∠DAF＝∠ABD．
（1）求证：AF为⊙O的切线；
（2）当点D为EF的中点时，求证：AD2＝AO?AE；
（3）在（2）的条件下，若sin∠BAC＝，AF＝2，求BF的长．
【解答】（1）证明：连接CD．
∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠ABD＝∠ACD，∠DAF＝∠ABC，
∴∠DAF＝∠ACD，
∴∠DAF+∠DAC＝90°，
∴∠FAC＝90°，
∴AF为⊙O的切线．
（2）证明：∵∠FAE＝90°，DF＝DE，
∴AD＝DE＝DF，
∴∠DAE＝∠AED，
∵OA＝OD，
∴∠DAE＝∠ADO，
∴∠ADO＝∠AED，
∵∠OAD＝∠DAE，
∴△ADO∽△AED，
∴＝，
∴AD2＝AO?AE．
（3）解：过点B作BJ⊥EC于J．
∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°，
∴sin∠BAC＝＝，
∴可以假设BC＝a，AC＝3a，
∵BJ⊥AC，
∴∠AJB＝90°，
∴∠BAC+∠ABJ＝90°，∠ABJ+∠CBJ＝90°，
∴∠CBJ＝∠BAC，
∴sin∠CBJ＝sin∠BAC＝＝，
∴CJ＝a，
∴BJ＝＝＝a，
∵DA＝DE，
∴∠DAE＝∠AED＝∠CEB，
∵∠DAE＝∠CBE，
∴∠CEB＝∠CBE，
∴CE＝CB＝a，
∴EJ＝EC﹣CJ＝a﹣a＝a，AE＝AC﹣EC＝2a，
∵AF∥BJ，
∴＝，
∴，
∴a＝，
∴AE＝2，EJ＝，BJ＝，
∴EF＝＝＝6，BE＝＝＝2，
∴BF＝EF+BE＝6+2＝8．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．若+|b+2|＝0，则a+b的值为　1　．
解：∵+|b+2|＝0，
∴a﹣3＝0，b+2＝0，
解得：a＝3，b＝﹣2，
则a+b的值为：3﹣2＝1．
故答案为：1．
22．关于x的方程+＝2的解为正数，则m的取值范围是　m＞﹣6且m≠﹣4　．
解：去分母得：2+x+m＝2x﹣4，
解得：x＝6+m，
由分式方程的解为正数，得到6+m＞0，且6+m≠2，
解得：m＞﹣6且m≠﹣4，
故答案为：m＞﹣6且m≠﹣4．
23．数学家刘徽首创割圆术，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求出圆周率．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为　　．
解：设小⊙O的半径为r，则正六边形的边长为，即大⊙O的半径为，
则随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为＝．
故答案为：．
24．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝12，F是边AD上一点，连接BF，将△ABF沿BF折叠使点A落在G点，连接AG并延长交CD于点E，连接GD．若△DEG是以DG为腰的等腰三角形，则AF的长为　或　．
解：如图1中，当GD＝GE时，过点G作GM⊥AD于M，GN⊥CD于N．设AF＝x．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝12，∠BAF＝∠ADE＝90°，
由翻折的性质可知，AF＝FG，BF⊥AG，
∴∠DAE+∠BAE＝90°，∠ABF+∠BAE＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE，
∵∠BAF＝∠ADE＝90°，
∴△BAF∽△ADE，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝x，
∵GM⊥AD，GN⊥CD，
∴∠GMD＝∠GND＝∠MDN＝90°，
∴四边形GMDN是矩形，
∴GM＝DN＝EN＝x，
∵GD＝GE，
∴∠GDE＝∠GED，
∵∠GDA+∠GDE＝90°，∠GAD+∠GED＝90°，
∴∠GDA＝∠GAD，
∴GA＝GD＝GE，
∵GM∥DE，
∴AM＝MD＝6，
在Rt△FGM中，则有x2＝（6﹣x）2+（x）2，
解得x＝或（舍弃），
∴AF＝．
如图2中，当DG＝DE时，
由翻折的性质可知，BA＝BG，
∴∠BAG＝∠BGA，
∵DG＝FE，
∴∠DGE＝∠DEG，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DEG，
∴∠AGB＝∠DGE，
∴B，G，D共线，
∵BD＝＝＝15，BG＝BA＝9，
∴DG＝DE＝6，
∵△BAF∽△ADE，
∴＝，
∴＝，
∴AF＝，
综上所述，AF的值为或．
25．如图，反比例函数y＝﹣的图象与直线y＝x+b（b＞0）交于A，B两点（点A在点B右侧），过点A作x轴的垂线，垂足为点C，连接AO，BO，图中阴影部分的面积为12，则b的值为　3　．
解：过B作BD⊥OE于D，过A⊥y轴于H，设AC交OB于G，如图：
设M为AB的中点，A（x1，y1），B（x2，y2），
由得x2+2bx+24＝0，
∴x1+x2＝﹣2b，
y1+y2＝（x1+b）+（x2+b）＝（x1+x2）＝﹣b，
∴M（﹣b，﹣），
而直线y＝x+b（b＞0）交于坐标轴于E、F，
∴E（﹣2b，0），F（0，b），
∴EF的中点也为M，
∴EM＝FM，BM＝AM，
∴EB＝FA，
又∠FAH＝∠BED，∠AHF＝∠EDB，
∴△EDB≌△AHF（AAS），
∴AH＝ED＝OC，
∵（S△AGO+S△GCO）+（S△GCO+S四边形GCDB）＝|k|+|k|＝12，
且图中阴影部分的面积为12，
∴S△BDE＝2S△GCO
∴ED?BD＝2×OC?GC，
∴BD＝2GC，
∴OD＝2OC，即x2＝2x1
设x1＝m，则x2＝2m，
∴A（m，﹣），B（2m，﹣），
将A（m，﹣），B（2m，﹣）代入y＝x+b得：
，解得m＝2（舍去）或m＝﹣2，
∴b＝﹣﹣×（﹣2）＝3．
故答案为：3．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．2021年春节，不少市民响应国家号召原地过年．为保障市民节日消费需求，某商家宣布“今年春节不打烊”，该商家以每件80元的价格购进一批商品，规定每件商品的售价不低于进价且不高于100元，经市场调查发现，该批商品的日销售量y（件）与每件售价x（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：
每件售价x（元） … 85 90 95 …
日销售量y（件） … 230 180 130 …
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件商品的售价定为多少元时，该批商品的日销售利润最大？日销售最大利润是多少？
解：（1）设y＝kx+b，
将（85，230）、（90，180）代入，得：，
解得：，
∴y＝﹣10x+1080（80≤x≤100）；
（2）设该批商品的日销售利润为w元，
w＝（x﹣80）（﹣10x+1080）
＝﹣10x2+1880x﹣86400
＝﹣10（x﹣94）2+1960，
∵﹣10＜0，
∴当x＝94时，w取得最大值为1960，
答：当每件商品的售价定为94元时，该批商品的日销售利润最大，日销售最大利润是1960元．
27．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D，E分别为边BC，AC上的点，连接DE，过D作DF⊥DE交AC边于点F（F不与点C重合），点G为射线DF上一点，连接EG，使∠BAC＝∠DEG＝α．
（1）连接CG，求证：△DEF∽△CGF；
（2）当α＝45°时，请探究AE，BD与CG三者满足的数量关系，并证明；
（3）如图2，点M，N分别为EG和AC的中点，连接MN．若tanα＝2，BD＝CD，AC＝10，请直接写出MN的最小值．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵DE⊥DF，
∴∠EDG＝∠B＝90°，
∵∠A+∠ACB＝90°，∠DEG+∠DGE＝90°，∠BAC＝∠DEG＝α，
∴∠DCF＝∠EGF，
∵∠DFC＝∠EFC，
∴△DFC∽△EFG，
∴＝，
∴＝，
∵∠EFD＝∠CFG，
∴△DEF∽△CGF．
（2）解：结论：BD﹣CG＝AE．
理由：如图1﹣1中，过点E作EJ⊥BD于J，EK⊥AB于K，过点G作GT⊥BC交BC的延长线于T．
∵∠A＝∠EDG＝45°，∠B＝∠EDG＝90°，
∴△ABC，△EDG都是等腰直角三角形，
∵∠A＝45°，∠EKA＝90°，
∴EK＝AE，
∵∠B＝∠EKB＝∠EJB＝90°，
∴四边形BKEJ是矩形，
∴BJ＝EK＝AE，
∵∠EJD＝∠EDG＝∠T＝90°，
∴∠EDJ+∠GDJ＝90°，∠GDJ+∠DGJ＝90°，
∴∠EDJ＝∠DGT，
∵DE＝DG，
∴△EJD≌△DTG（AAS），
∴DJ＝GT，
∵△EDF∽△GCF，
∴∠EDF＝∠GCF＝90°，
∴∠ACB＝∠GCF＝45°，
∴GT＝CG，
∴BD﹣DJ＝BJ，
∴BD﹣CG＝AE．
（3）解：如图2中，连接MD，MC，过点M作MT⊥CD于T，交AC于O，过点N作NJ⊥MT于J．
∵∠B＝90°，tan∠A＝＝2，AC＝10，
∴AB＝2，BC＝4，
∵BD＝CD，
∴CD＝BC＝3，
∵∠EDG＝∠ECG＝90°，EM＝MG，
∴DM＝EG．MC＝EG，
∴MD＝MC，
∵MT⊥CD，
∴DT＝TC＝，
∴点M在CD的垂直平分线上运动，当点M与J重合时，NM的值最小，最小值为线段NJ的长，
∴OT∥AB，
∴CT：CB＝OC：AC，
∴OC＝，
∵NA＝NC＝5，
∴ON＝5﹣＝，
∵NJ∥CT，
∴＝，
∴＝，
∴NJ＝，
∴NM的最小值为．
28．抛物线y＝﹣x2+mx+2n（m，n为常数，且n＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点 C．
（1）若点B的横坐标为4，抛物线的对称轴为x＝．
ⅰ）求该抛物线的函数表达式；
ⅱ）如图1，在直线BC上方的抛物线上取点D，连接AD，交BC于点E，若＝7，求点D的坐标．
（2）如图2，当m＝n﹣2时，过点A作BC的平行线，与y轴交于点F，将抛物线在直线BC上方的图象沿BC折叠，若折叠后的图象（图中虚线部分）与直线AF有且只有一个公共点，求n的值．
解：（1）i）∵抛物线的对称轴为x＝，
∴﹣＝，
∴m＝1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2n，
∵点B的横坐标为4，
∴B（4，0），
∴﹣16+4+2n＝0，
∴n＝6，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+12；
ii）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+12，
令x＝0，则y＝12，
∴C（0，12），
令y＝0，则﹣x2+x+12＝0，
∴x＝﹣3或x＝4，
∴B（4，0），A（﹣3，0），
∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+12，
设点E（a，﹣3a+12），点D（b，﹣b2+b+12），
如图1，过点E作EH⊥x轴于H，过点D作DG⊥x轴于G，
∴EH∥DG，
∴△AEH∽△ADG，
∴，
∵＝7，
∴＝，
∴＝＝，
∵AH＝a+3，AG＝b+3，EH＝﹣3a+12，DG＝﹣b2+b+12，
∴，
∴b＝1或b＝3，
∴D（1，12）或（3，6）；
（2）如图2，
∵m＝n﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+（n﹣2）x+2n①，
令y＝0，则﹣x2+（n﹣2）x+2n＝0，
∴x＝﹣2或x＝n，
∴A（﹣2，0），B（n，0），
令x＝0，则y＝2n，
∴C（0，2n），
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+2n，
作直线AF关于直线BC的对称直线，交x轴于M，
∵A（﹣2，0），B（n，0），
∴M（2n+2，0），
∴直线MN的解析式为y＝﹣2x+4n+4②，
联立①②化简得，x2﹣nx+2n+4＝0，
∵折叠后的图象（图中虚线部分）与直线AF有且只有一个公共点，
∴MN与抛物线在直线BC上方的图象只有一个公共点，
∴△＝n2﹣4（2n+4）＝0，
∴n＝4﹣4（舍）或n＝4+4．
即满足条件的n的值为4+4．

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