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2020-2021学年浙江省精诚联盟高一（下）联考数学试卷（3月份）
一、单选题（共8小题）.
1．若向量，，则＝（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
2．设i是虚数单位，则复数z＝2i（﹣2+3i）对应的点在复平面内位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．在四边形ABCD中，，设M为线段BC的中点，N为线段AB上靠近A的三等分点，，，则向量＝（　　）
A． B． C． D．
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝30°，B＝45°，，则b＝（　　）
A． B． C． D．
5．在△ABC所在的平面内，点O满足||＝||＝||，若AB＝2，AC＝6，则?＝（　　）
A．16 B．﹣16 C．32 D．﹣32
6．在锐角△ABC中，已知a＝3，，C＝60°，则△ABC的面积为（　　）
A． B．或 C． D．
7．在△OAB中，OA＝OB＝2，，动点P位于直线OA上，当取得最小值时，向量与的夹角余弦值为（　　）
A． B． C． D．
8．已如平面向量，满足，，，，则的最大值为（　　）
A． B．192 C．48 D．
二、多选题（共4小题）.
9．已知复数z＝2+i，则下列结论正确的是（　　）
A． B．复数z的共轭复数为2﹣i
C．zi2021＝1+2i D．z2＝3+4i
10．下列命题中正确的是（　　）
A．若，则
B．
C．若向量是非零向量，则与方向相同
D．若，则存在唯一实数λ使得
11．已知向量，，则（　　）
A．
B．向量在向量上的投影向量为
C．与的夹角余弦值为
D．若，则
12．已知点O为△ABC所在平面内一点，，则下列选项正确的是（　　）
A．
B．直线AO必过BC边的中点
C．S△ABC：S△AOC＝3：1
D．若，则
三、填空题（共4小题）.
13．已知向量，且，则x＝　 　．
14．复数的虚部为　 　．
15．已知向量，，则的最小值为　 　．
16．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式S＝（其中a，b，c，S为三角形的三边和面积）表示．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝3，且bcosC﹣ccosB＝，则△ABC面积的最大值为　 　．
四、解答题（本题共4题，17题10分，18题15分，19题12分，20题15分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知向量＝（1，﹣1），||＝，且（2+）?＝4．
（1）求向量与的夹角；
（2）求|+|的值．
18．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且c＝1．
在①acosC+ccosA＝2；②；③asinB＝2csinA这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．
（1）求角A；
（2）若_______，角B的平分线交AC于点D，求BD的长．
19．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量得，，∠B为钝角．
（1）求缆车线路AB的长：
（2）问乙出发多少min后，乙在缆车上与甲的距离最短．
20．在△AOB中，已知，，，，，设点P为边AB上一点，点Q为线段BO延长线上的一点．
（1）求的值：
（2）若，求的取值范围．
参考答案
一、单选题（共8小题）.
1．若向量，，则＝（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
解：向量，，
则＝﹣2+6＝4．
故选：D．
2．设i是虚数单位，则复数z＝2i（﹣2+3i）对应的点在复平面内位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：复数z＝2i（﹣2+3i）＝﹣4i﹣6对应的点（﹣6，﹣4）在复平面内位于第三象限，
故选：C．
3．在四边形ABCD中，，设M为线段BC的中点，N为线段AB上靠近A的三等分点，，，则向量＝（　　）
A． B． C． D．
解：∵，
∴＝﹣＝，
∴四边形ABCD为平行四边形，
＝+，
∵M为线段BC的中点，N为线段AB上靠近A的三等分点，
∴＝＝＝，＝＝，
则＝+＝+，
故选：B．
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝30°，B＝45°，，则b＝（　　）
A． B． C． D．
解：因为A＝30°，B＝45°，，
由正弦定理得，，
所以b＝＝＝2．
故选：D．
5．在△ABC所在的平面内，点O满足||＝||＝||，若AB＝2，AC＝6，则?＝（　　）
A．16 B．﹣16 C．32 D．﹣32
解：点O满足||＝||＝||，所以O是三角形的外心，
过O作OS⊥AB，OT⊥AC垂足分别为S，T 则S，T分别是AB，AC的中点，
AB＝2，AC＝6，
?＝＝
＝﹣||||+||||
＝﹣1×2+3×6
＝16．
故选：A．
6．在锐角△ABC中，已知a＝3，，C＝60°，则△ABC的面积为（　　）
A． B．或 C． D．
解：由余弦定理得cosC＝，
所以，
解得b＝1或b＝2，
当b＝1时，b2+c2﹣a2＜0，此时A为钝角，不合题意，
当b＝2时，△ABC的面积S＝＝＝．
故选：C．
7．在△OAB中，OA＝OB＝2，，动点P位于直线OA上，当取得最小值时，向量与的夹角余弦值为（　　）
A． B． C． D．
解：如图所示，取AB的中点C，则＝2﹣＝2﹣3，
则要使得最小，只需||最小，
而此时，CP⊥OA，此时可根据已知条件OA＝OB＝2，AB＝2，
解得PA＝，PB＝，PC＝，
∴＝2﹣3＝﹣，
∴cos＜＞＝＝＝﹣．
故选：C．
8．已如平面向量，满足，，，，则的最大值为（　　）
A． B．192 C．48 D．
解：如图所示，作＝，＝，＝，取BC的中点D，连接OD，
以点O为圆心，||为半径作圆O，
cos∠BOC＝cos＜，＞＝＝，因为0≤∠BOC≤π，所以∠BOC＝，
所以△BOC为等边三角形，
因为D为BC的中点，OD⊥BC，所以△BOC的底边BC上的高为||＝2sin＝，
﹣＝﹣＝，﹣＝﹣＝，
所以（﹣）?（﹣）＝?＝?＝||||cos∠BAC，
所以＝||2||2﹣（||||cos∠BAC）2
＝（||||sin∠BAC）2＝（2S△ABC）2，
由圆的几何性质可知，当A，O，D三点共线且O为线段AD上的点时，
△ABC的面积取得最大值，此时△ABC的底边BC上的高h取最大值，
即hmax＝||+||＝4，（S△ABC）max＝×2×4＝4，
因此的最大值为4×（4）2＝192．
故选：B．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）
9．已知复数z＝2+i，则下列结论正确的是（　　）
A． B．复数z的共轭复数为2﹣i
C．zi2021＝1+2i D．z2＝3+4i
解：∵z＝2+i，∴|z|＝＝，＝2﹣i，故选项A、B正确；
又z?i2021＝（2+i）i＝﹣1+2i，故选项C错误；
∵z2＝（2+i）2＝3+4i，∴选项D正确，
故选：ABD．
10．下列命题中正确的是（　　）
A．若，则
B．
C．若向量是非零向量，则与方向相同
D．若，则存在唯一实数λ使得
解：用有向线段表示向量，即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，有大小与方向，所以A不正确；
＝＝，所以B正确；
若向量是非零向量，则与方向相同，所以C正确．
若，当时，则存在唯一实数λ使得，所以D不正确；
故选：BC．
11．已知向量，，则（　　）
A．
B．向量在向量上的投影向量为
C．与的夹角余弦值为
D．若，则
解：对于A，向量，，所以+＝（﹣1，2），且﹣1×1﹣2×2＝﹣5≠0，所以+与不平行，A错误；
对于B，向量在向量上的投影向量为||cosθ?＝?＝?＝，所以B正确；
对于C，因为﹣＝（5，0），所以cos＜，﹣＞＝＝＝，所以C正确；
对于C，因为，所以?＝2×+1×（﹣）＝0，所以，选项D正确．
故选：BCD．
12．已知点O为△ABC所在平面内一点，，则下列选项正确的是（　　）
A．
B．直线AO必过BC边的中点
C．S△ABC：S△AOC＝3：1
D．若，则
解：对于A，∵，∴2＝3+3+4+4，
∴，故A正确；
对于B，若直线AO必过BC边的中点D，则＝＝与A矛盾，故B错误；
对于C，由平面向量奔驰定理得：S△BOC×+S△AOC×+S△AOB×＝，
∴S△BOC：S△AOC：S△AOB＝2：3：4，
∴S△ABC：S△AOC＝（2+3+4）：3＝9：3＝3：1，故C正确；
对于D，∵＝，∴，
∴4||2+12+9||2＝16||2，∴，
∴cos＜＞＝＝，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
13．已知向量，且，则x＝　2　．
解：∵，
∴6x﹣3×4＝0，
则x＝2．
故答案为：2．
14．复数的虚部为　1　．
解：复数＝＝1+i，
∴复数的虚部为1．
故答案为：1．
15．已知向量，，则的最小值为　0　．
解：＝＝＝，
∴时，取最小值0．
故答案为：0．
16．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式S＝（其中a，b，c，S为三角形的三边和面积）表示．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝3，且bcosC﹣ccosB＝，则△ABC面积的最大值为　　．
解：因为bcosC﹣ccosB＝，
由余弦定理可得b?﹣c?＝，整理可得b＝c，
因为a＝3，
所以S＝＝＝＝，可得当c2＝27，即c＝3时，S取得最大值．
故答案为：．
四、解答题（本题共4题，17题10分，18题15分，19题12分，20题15分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知向量＝（1，﹣1），||＝，且（2+）?＝4．
（1）求向量与的夹角；
（2）求|+|的值．
解：（Ⅰ）由得，
因，
∵，
∴，向量与的夹角为60°．
（Ⅱ）．
18．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且c＝1．
在①acosC+ccosA＝2；②；③asinB＝2csinA这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．
（1）求角A；
（2）若_______，角B的平分线交AC于点D，求BD的长．
解：（1）因为，且c＝1，
所以bccosA＝b，可得cosA＝，
因为A∈（0，π），
所以A＝．
（2）若选条件①，由于c＝1，
又acosC+ccosA＝a?+c?＝2，整理可得b＝2，
由A＝，利用余弦定理可得a＝＝＝，
此时a2+c2＝b2，即B＝，A＝，
因为BD为角B的平分线，
△BDC中，由正弦定理得，，
所以BD＝；
若选条件②，，
由正弦定理得sinBsinC﹣sinCcosB＝sinC，
因为sinC＞0，
所以sinB﹣cosB＝1，即2sin（B﹣）＝1，
由B为三角形内角得B＝，A＝，
因为BD为角B的平分线，
△BDC中，由正弦定理得，，
所以BD＝；
若选条件③，asinB＝2csinA，
由正弦定理得sinAsinB＝2sinCsinA，
所以sinB＝2sinC＝2sin（）＝sinB+cosB，
所以cosB＝0，即B＝，A＝，
因为BD为角B的平分线，
△BDC中，由正弦定理得，，
所以BD＝．
19．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量得，，∠B为钝角．
（1）求缆车线路AB的长：
（2）问乙出发多少min后，乙在缆车上与甲的距离最短．
解：（1）因为，，AC＝1260m
由正弦定理＝，得AB＝＝＝1040m．
可得AB的长为1040m．
（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，
此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130tm，
所以由余弦定理得：d2＝（100+50t）2+（130t）2﹣2×130t×（100+50t）×
＝200（37t2﹣70t+50）
＝200[37（t﹣）2+]，
因0≤t≤，即0≤t≤8，
所以当t＝min时，甲、乙两游客距离最短．
20．在△AOB中，已知，，，，，设点P为边AB上一点，点Q为线段BO延长线上的一点．
（1）求的值：
（2）若，求的取值范围．
解：（1）＝?（﹣）＝?（﹣）＝2﹣?＝（）2+1＝4．
（2）如图所示，设＝λ，其中0≤λ≤1，
＝+＝+λ＝+λ（﹣）＝（1﹣λ）+λ＝（1﹣λ）+λ，
设＝t，其中t＜0，
?＝[（1﹣λ）+λ]?＝（1﹣λ）2+λ?＝2（1﹣λ）﹣λ＝2﹣3λ，
＝﹣＝t﹣[（1﹣λ）+λ]＝（λ﹣1）+（t﹣λ），
所以?＝[（1﹣λ）+λ]?[（λ﹣1）+（t﹣λ）]
＝（λ﹣1）22+[（λ﹣1）（t﹣λ）﹣λ（λ﹣1）]?+λ（λ﹣t）2
＝2（λ﹣1）2﹣[（λ﹣1）（t﹣λ）﹣λ（λ﹣1）]+3λ（λ﹣t）＝7λ2﹣6λ+2﹣t（4λ﹣1），
因为，所以7λ2﹣6λ+2﹣t（4λ﹣1）＝2﹣3λ，
所以t＝，
因为t＜0且0≤λ≤1，可得出＜λ＜，
||2＝[（1﹣λ）+λ]2＝（1﹣λ）22+2λ（1﹣λ）?+λ22
＝2（1﹣λ）2+2λ（λ﹣1）+3λ2＝7λ2﹣6λ+2＝7（λ﹣）2+∈（，），
因此的取值范围是（，）．

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