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嘉定区2020学年高三年级第二次质量调研测试
数 学 试 卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．已知集合，，则____________．
2．已知复数满足（为虚数单位），则____________．
3．已知等差数列满足，则____________．
4．若实数、满足，则的最大值为_____________．
5．已知函数 （，且）．若的反函数的图像经过点，则_____________．
6．《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”．
已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该“鳖臑”的体积为
_____________．
7．已知正数、满足，则的最小值为___________．
8．设数列的前项和为，且满足，
则___________．
9．将的二项展开式的各项重新随机排列，则有理项互不相邻的概率为_______．
10．已知点、是双曲线 （，）的左、右顶点，点是该双曲线上异于、的另外一点，若是顶角为的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是_____________．
11．已知函数若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是______________．
12．在平面直角坐标系中，起点为坐标原点的向量满足，且， （）．若存在向量、，对于任意实数，不等式成立，则实数的最大值为___________．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在
答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．“函数 （、，且）的最小正周期为”是“”的（ ）．
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件
14．已知一组数据、、、、的平均数是，则这组数据的方差是 （ ）．
（A） （B） （C） （D）
15．设直线与椭圆交于、两点，点在直线上．
若，则实数的取值范围是 （ ）．
（A） （B） （C） （D）
16．已知函数，则不等式
的解集为 （ ）．
（A） （B） （C） （D）
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在矩形中，，，矩形绕旋转形成一个圆柱．
如图，矩形绕顺时针旋转至，线段的中点为．
（1）求证：；
（2）求异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
设常数，函数．
（1）若函数是奇函数，求实数的值；
（2）若函数在时有零点，求实数的取值范围．
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改造．如图所示，平行四边形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点和点分别在道路和道路上，且米，，设．
（1）当时，求停车场的面积（精确到平方米）；
（2）写出停车场面积关于的函数关系式，并求当为何值时，停车场面积取得最大值．
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
已知抛物线的焦点为，点在抛物线上．
（1）求抛物线的方程；
（2）若，求点的坐标；
（3）过点 （）作两条互相垂直的直线分别交抛物线于、、、四点，且点、分别为线段、的中点，求的面积的最小值．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知数列满足：，，，为数列的前项和．
（1）若是递增数列，且成等差数列，求的值；
（2）已知，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式；
（3）已知，对于给定正整数，试探究是否存在一个满足条件的数列，使得．若存在，写出一个满足条件的数列；若不存在，请说明理由．
嘉定区2020学年高三年级第二次质量调研测试
数 学 试 卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．已知集合，，则____________．
【答案】
【解析】因为，所以.
2．已知复数满足（为虚数单位），则____________．
【答案】
【解析】因为，所以，所以
3．已知等差数列满足，则____________．
【答案】
【解析】设等差数列的首项为，公差为，因为，
所以，整理得，即.
4．若实数、满足，则的最大值为_____________．
【答案】
【解析】画出可行性区域，由图可知直线在过点时最大，即
5．已知函数 （，且）．若的反函数的图像经过点，则_____________．
【答案】
【解析】由题意得的图像经过点，所以，
所以，所以.
6．《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”．
已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该“鳖臑”的体积为
_____________．
【答案】
【解析】由三视图得该几何体是底面为直角边为3和4的直角三角形，
高为4的三棱锥，故体积.
7．已知正数、满足，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】因为，所以，
当且仅当且，即时取等号，
所以的最小值为.
8．设数列的前项和为，且满足，则___________．
【答案】
【解析】（*），当时，，即；
当时，（**），
（*）和（**）相减得，所以数列是的等比数列，
所以.
9．将的二项展开式的各项重新随机排列，则有理项互不相邻的概率为_______．
【答案】
【解析】的展开式的通项为，
当时，为有理项，一共4项，
当时，为无理项，一共4项，
要使得有理项互不相邻，采用插空法，先把无理项排好，再把有理项插到无理项的
5个空档中，共有种情况，全部的情况有种，
故所求概率.
10．已知点、是双曲线 （，）的左、右顶点，点是该双曲线上异于、的另外一点，若是顶角为的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是_____________．
【答案】
【解析】根据对称性，不妨设在第一象限，因为是顶角为的等腰三角形，
所以，所以点的坐标为，
即代入双曲线方程，解得，
故双曲线的渐近线方程为.
11．已知函数若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是______________．
【答案】
【解析】【法1】当时，．因为，
而，当且仅当，即时，等号成立，所以的取值范围是．
由题意及函数
的图像与性质可得

或 ，如右上图所示．解得 或 ，所以所求实数的取值范围是 ．
【法2】当时，，即，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以的取值范围是；
当时，
（1）若，则 （），它是增函数，此时的取值范围是．由题意可得 ，解得 ，又，所以 ；
（2）若，则．函数在上是增函数，此时的取值范围是；而函数在上是减函数，此时的取值范围是．由题意可得 ，解得，又 ，所以 ．
综上，所求实数的取值范围是 ．
12．在平面直角坐标系中，起点为坐标原点的向量满足，且， （）．若存在向量、，对于任意实数，不等式成立，则实数的最大值为___________．
【答案】
【解析】由题意可得的夹角为．可设，，则点、在单位圆上，点、在直线上，如图所示．根据、的任意性，即求点、到直线距离之和的最小值，即 （点、分别是点、在直线上的射影点）；同时根据的存在性，问题转化为求的最大值．设的中点为，设点、在直线上射影点分别为、，则
，
当且仅当点、、依次在一条直线上时，等号成立．
所以，即所求实数的最大值是．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．“函数 （、，且）的最小正周期为”是“”的（ ）．
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】最小正周期，故，故为必要非充分条件，选B.
14．已知一组数据、、、、的平均数是，则这组数据的方差是 （ ）．
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】由题意得，
所以方差，故选A.
15．设直线与椭圆交于、两点，点在直线上．
若，则实数的取值范围是 （ ）．
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】椭圆方程为，易得关于原点对称，所以，
所以，故原点到直线的距离，
解得或，故选A.
16．已知函数，则不等式
的解集为 （ ）．
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】设函数，则函数是定义域为，且单调递增的奇函数，
所以是定义域为的增函数，
且其图像关于点对称，即有，即 ．
由得 ，
即，
即，所以 ，解得 ．所以选A．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在矩形中，，，矩形绕旋转形成一个圆柱．
如图，矩形绕顺时针旋转至，线段的中点为．
（1）求证：；
（2）求异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．
【解析】解：（1）由题意知，…………2分
因为是圆柱的一条母线，所以垂直于圆柱的底面，
则得 ，即…………………………………4分
又因为 ，且 、平面，
所以 平面，因为 平面，
所以 ． ………………………………………………6分
（2）联结．由题意知，∥，
所以异面直线与所成的角等于直线与直线
所成的角．…………………………………………2分
在中，，
，,……………………………4分
由余弦定理得 ,
． …………………………………………………………7分
所以异面直线与所成的角的大小为． ……………………8分
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
设常数，函数．
（1）若函数是奇函数，求实数的值；
（2）若函数在时有零点，求实数的取值范围．
【解析】（1）【法1】函数的定义域为．
因为函数是奇函数，所以．
设，则得 ，即 ，即 ，代入，
得，解得 ．…………………………………………………4分
此时．
又因为 ，即 ，
所以是奇函数．
因此所求实数的值为 ．……………………………………6分
【法2】函数的定义域为．
因为函数是奇函数，所以．
即 ，……………2分
即 ，
即 ，即 对任意都成立，
所以 ，解得 ．
因此所求实数的值为………………………………………6分
（2）解：设，
即关于的方程在区间上有实数解．……2分
设，因为 ，所以 ，
于是原问题等价于关于的方程（*）在区间上有实数解．……………………4分
当时，方程（*）不成立，所以，于是方程（*）可化为 （），
即函数与函数 （）的图像有公共点．……………………………………………6分
因为函数 （）为增函数，则得该函数的值域为 ，
所以 ，解得 ，
即所求的实数的取值范围是 …………………………………………………8分
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改造．如图所示，平行四边形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点和点分别在道路和道路上，且米，，设．
（1）当时，求停车场的面积（精确到平方米）；
（2）写出停车场面积关于的函数关系式，并求当为何值时，停车场面积取得最大值．
【解析】解：（1）在中，,
，
由正弦定理得，
即 ，即……2分
则停车场面积
（平方米），
即停车场面积约为平方米．……………………………………6分
（2）在中，,．
由正弦定理得，
即 ，即 ． ……………………………2分
则停车场面积
，
即 ，其中 ．……………………………4分
即 ，
即
．…………………6分
因为，所以 ，
则当，即 时，停车场面积取得最大值．
所以当时，停车场面积取得最大值． …………………………………8分
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
已知抛物线的焦点为，点在抛物线上．
（1）求抛物线的方程；
（2）若，求点的坐标；
（3）过点 （）作两条互相垂直的直线分别交抛物线于、、、四点，且点、分别为线段、的中点，求的面积的最小值．
【解析】（1）解：因为抛物线的焦点为，即 ，解得………2分
所以所求抛物线的方程为 …………………………4分
（2）解：设点．
由抛物线的定义得 ……………………2分
令 ，解得……………………………………3分
因为点在抛物线上，所以，把代入，解得 ，………5分
因此所求点的坐标为或………………6分
（3）【法1】根据题意，直线、的斜率存在，且不为零，
可设直线的斜率为，则直线的斜率为，
则直线的方程为，直线的方程为，
设、．
由消去，并整理得 ， ………………2分
由一元二方程根与系数的关系得 ，
所以，
即 ，因此．…………………………………………3分
同理可得 ……………………………………4分
所以，
，
于是，
当且仅当，即时，等号成立．
所以的面积的最小值等于． …………………………………………6分
【法2】根据题意得、的斜率存在，且不为零．
可设直线的方程为，则直线的方程为
，设、．
由得 ， ……………………………………………2分
由一元二方程根与系数的关系得 ，
则得 ，，
所以． ……………………………………………………………3分
同理可得 ． …………………………………………………4分
所以，，
于是，
当且仅当，即时，等号成立．
所以的面积的最小值等于 ． …………………………………6分
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知数列满足：，，，为数列的前项和．
（1）若是递增数列，且成等差数列，求的值；
（2）已知，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式；
（3）已知，对于给定正整数，试探究是否存在一个满足条件的数列，使得．若存在，写出一个满足条件的数列；若不存在，请说明理由．
【解析】解：（1）因为是递增数列，所以．
因为，所以 ，．…………………………………2分
又因为成等差数列，所以，即
即，解得或．
当时，，这与是递增数列相矛盾，所以．…………………4分
（2）因为是递增数列，则有，
于是 ①
因为，所以 ②
由①、②得，，
因此，即 ③ …………………2分
又因为是递减数列，则有，于是 ④
因为，所以 ⑤
由④、⑤得，，
因此，即 ⑥
由③、⑥可得． …………………………………4分
于是当时，
即 ．………………………………………………………5分
当时，代入上式得，与已知条件相吻合．
所以所求数列的通项公式是 ，．……………6分
（3）当或 （）时，存在数列，使得．…………2分
此时数列满足，
则有，，
即． ……………………………………………………………………4分
当或 （）时，不存在数列，使得．……6分
理由如下：因为，所以 ；
又因为为奇数，则当时，为奇数，为偶数， ……………7分
所以当时，为奇数，为偶数，
因此，均不可能成立．
于是当或 （）时，不存在数列，使得．…8分

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