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6.4生活中的圆周运运动
一、单选题
下列有关生活中的圆周运动实例分析，其中说法正确的是(????)
A. 公路在通过小型水库泄洪闸的下游时，常常用修建凹形桥，也叫“过水路面”，汽车通过凹形桥的最低点时，车对桥的压力小于汽车的重力
B. 在铁路的转弯处，通常要求外轨比内轨高，目的是减轻轮缘与外轨的挤压
C. 杂技演员表演“水流星”，当“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D. 洗衣机脱水桶的脱水原理是：水滴受到的离心力大于它受到的向心力，从而沿切线方向甩出
杂技演员表演“水流星”，在长为1.6m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m=0.5kg的大小不计的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如下图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4m/s，则下列说法正确的是(g取10m/s2)
A. “水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B. “水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零
C. “水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D. “水流是”通过最高点时，绳子的拉力大小为5N
甲图是质量为m的小球，在竖直平面内绕O点做半径为R的圆周运动(OA为细绳).乙图是质量为m的小球，在竖直平面内绕O点做半径为R的圆周运动(OB为轻质杆).丙图是质量为m的小球，在半径为R的竖直光滑圆轨道内侧做圆周运动．丁图是质量为m的小球在竖直放置的半径为R的光滑圆形管道内做圆周运动．则下列说法正确的是(????)
A. 四个图中，小球通过最高点的最小速度都是ν=gR
B. 四个图中，小球通过最高点的最小速度都是0
C. 在丁图中，小球在水平线ab以下管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
D. 在丁图中，小球在水平线ab以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力
如图所示，汽车车厢顶部悬挂一个轻质弹簧，弹簧下端拴一个质量为m的小球．当汽车以某一速率在水平地面上匀速行驶时，弹簧长度为L1，当汽车以大小相同的速度匀速通过一个桥面为圆弧形的凸形桥的最高点时，弹簧长度为L2，下列选项中正确的是(???)
A. L1=L2 B. L1>L2
C. L1汽车正在圆环形赛道上水平转弯，图示为赛道的剖面图。赛道路面倾角为θ，汽车质量为m，转弯时恰好没有受到侧向摩擦力。若汽车再次通过该位置时速度变为原来的二倍，则以下说法正确的是(????)
A. 汽车受到沿路面向下的侧向摩擦力，大小为3mgsinθ
B. 汽车受到沿路面向上的侧向摩擦力，大小为mgsinθ
C. 无侧向摩擦力时，路面对汽车的支持力大小为mgcosθ
D. 速度变为原来的二倍后，路面对汽车的支持力大小为mg/cosθ
如图所示，OO'为竖直转动轴，MN为固定在OO'上的水平光滑杆，有两个质量相同的有孔金属球甲、乙套在水平杆上，AC、BC为抗拉能力相同的两根细线，A、B端分别连接甲、乙两球，C端固定在转动轴OO'上，当线拉直时，甲、乙两球到转动轴距离之比为2:1，当转动角速度逐渐增大时(????)
A. AC线先断 B. BC线先断
C. 两线同时断 D. 不能确定哪段线先断
火车以半径r=900m转弯，火车质量为8×105kg，轨道宽为l=1.4m，外轨比内轨高?=14cm，则下列说法中正确的是(??? )(当角度很小时，可以认为其正弦值近似等于正切值，重力加速度g取10m/s2)
A. 若火车在该弯道实际运行速度为40m/s，外轨对车轮有向内的侧压力
B. 若火车在该弯道实际运行速度为30m/s，内轨对车轮有向外的侧压力
C. 若火车在该弯道实际运行速度为30m/s，外轨对车轮有向内的侧压力
D. 若火车在该弯道实际运行速度为25m/s，外轨对车轮有向内的侧压力
如图，一硬币(可视为质点)置于水平圆盘上，硬币与竖直转轴OO'的距离为r，已知硬币与圆盘之间的动摩擦因数为μ(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，重力加速度大小为g。若硬币与圆盘一起绕OO'轴匀速转动，则圆盘转动的最大角速度为(??? )
A. 12μgr B. μgr C. 2μgr D. 2μgr
如图，半径为R的光滑圆形管道竖直放置，管的内径很小，直径略小于管道内径的小球在管道内运动时，它经过最高点时速度为v1则下列说法中正确的有(?? )
A. 当小球以3gR的速度经过与圆心等高的点时，圆管外壁对小球的作用力为10mg
B. 若v1=2gR，则小球经过最高点时对圆管的内壁有向下的作用力
C. 若v1=12gR，则小球经过最高点时，圆管的内壁对球有作用力
D. 若v1=2gR，则小球经过最低点时，圆管的外壁对球的作用力为5mg
二、多选题
如图所示，两个可视为质点的相同物体a和b放在水平圆转盘上，且物体a、b与转盘中心在同一条水平直线上，物体a、b用细线连接，它们与转盘间的动摩擦因数相同．当圆盘转动到两物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，两物体的运动情况是
A. 物体b仍随圆盘一起做匀速圆周运动
B. 物体a发生滑动，离圆盘圆心越来越远
C. 两物体仍随圆盘一起做圆周运动，不发生滑动
D. 两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远
如图所示，一轻杆一端固定一质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做圆周运动。以下说法正确的是 (????)
A. 小球过最高点时，杆受力可以是零
B. 小球过最高点时的最小速率为gr
C. 小球过最高点时，杆对球的作用力一定竖直向下
D. 小球过最高点时，杆对球的作用力可以竖直向上，此时球受到的重力一定大于杆对球的作用力
如图，一段光滑的水平玻璃管中有个质量m=1kg的小球(可视为质点)，玻璃管连接一段竖直平面内的半圆形光滑内轨道，其半径为R=16.9m，重力加速度g=10m/s?，玻璃管内径很小，某时刻开始，给小球一个向右的初速度v0，不计空气阻力，下列说法正确的是(????? )
A. 要使小球能够沿着半圆内轨道运动，则v0不小于13m/s
B. 只要v0大于0，小球就可以沿着半圆轨道运动
C. 若v0=26m/s，则小球经过半圆轨道最高点时，受到轨道压力大小为30N
D. 若v0=5m/s，则小球从玻璃管右侧飞出后，经过2.4s撞到半圆轨道上
如图甲，一轻质绳拴着质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动不计一切阻力，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T，小球在最高点的速度大小为v，关系如图乙所示，则(????)
A. 轻质绳长为mba
B. 当地的重力加速度为ma
C. 当v2=c时，绳的拉力大小为acb+a
D. 只要v2≥b，小球就能做完整的圆周运动
如图所示，m为在水平传送带上被传送的小物体(可视为质点)，A为终端皮带轮，已知皮带轮的半径为r，传送带与皮带轮间不打滑，已知重力加速度为g，当小物体m可以被水平抛出时
A. 传送带的最小速度为gr
B. 传送带的最小速度为gr
C. A轮每秒的转数最小为12πgr
D. A轮每秒的转数最小为12πgr
质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，当轻杆绕轴以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，a绳与水平方向成θ角，b绳在水平方向伸直且长为l，则下列说法正确的有(????)
A. a绳的拉力一定大于b绳的拉力
B. a绳的拉力随角速度的增大而增大
C. 若角速度ω>gltanθ，b绳将出现拉力
D. 若b绳突然被剪断，a绳的弹力大小可能不变
三、计算题
如下图所示，水平转盘的中心有一个光滑的竖直小四孔，质量为m的物体A放在转盘上，物体A到圆孔的距离为r，物体A通过轻绳与物体B相连，物体B的质量也为m，若物体A与转盘间的动摩擦因数为μ(μ<1)，则转盘转动的角速度ω在什么范围内，才能使物体A随转盘转动而不滑动?(已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g)
如图所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，细线与轴线之间的夹角为30°，小球以速率v绕圆锥体轴线做水平圆周运动：
(1)当v1=gL6时，求线对小球的拉力大小；
(2)当v2=3gL2时，求线对小球的拉力大小。
如图所示，水平转盘可绕竖直中心轴转动，盘上放着质量均为1kg的A、B两个物块，物块之间用长为1m的细线相连，细线刚好伸直且通过转轴中心O，A物块与O点的距离为0.4m，物块可视为质点。A、B与转盘间的动摩擦因数均为0.1，且认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2。
(1)当转盘至少以多大的角速度匀速转动时，细线上出现拉力?
(2)当转盘以ω1=1rad/s的角速度匀速转动时，A、B受到的摩擦力分别是多大?
(3)当转盘至少以多大的角速度匀速转动时，A、B两个物块均会在转盘上滑动?
答案解析
1.B
【解析】A、汽车通过凹形桥最低点时，具有向上的加速度(向心加速度)，超重，故对桥的压力大于重力，故A错误；
B、当火车按规定速度转弯时，由重力和支持力的合力完全提供向心力，从而减轻轮缘对外轨的挤压，故B正确；
C、演员表演“水流星”，当“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，仍然受重力的作用，故C错误；
D、衣机脱水桶的脱水原理是：是水滴需要的向心力大于可以提供向心力，所以做离心运动，从而沿切线方向甩出，故D错误。故选：B。
2.B
【解析】ABD.当水对桶底压力为零时有：mg=mv2r，解得：v=gr=4m/s，“水流星”通过最高点的速度为4m/s，知水对桶底压力为零，不会从容器中流出；对水和桶分析，有：T+Mg=mv2r，解得：T=0N，知此时绳子的拉力为零，故B正确，AD错误；
C.“水流星”通过最高点时，仅受重力，处于完全失重状态，故C错误。故选B。
3.C
【解析】AB.甲、丙图中当小球的重力恰好提供向心力时，小球的速度最小，有mg=mv2R，所以小球通过最高点的最小速度为v=Rg；乙、丁图中由于杆或者内侧管壁可以对小球提供支持力，所以小球通过最高点的速度可以为零，故A、B错误；
C.在丁图中，小球在水平线ab以下管道中运动时，小球的向心力由管壁的支持力和小球重力沿半径方向的分力的合力来提供，所以外侧管壁对小球一定有作用力，故C正确；
D.小球在水平线ab以上管道中运动时，沿半径方向的合力提供向心力，由于小球速度大小未知，可能外侧管壁对小球有作用力，也可能内侧管壁对小球有作用力，故D错误．
4.B
【解析】
当汽车在水平面上做匀速直线运动时，设弹簧原长为L0，劲度系数为k，根据平衡得：mg=k(L1?L0)?
解得：L1=mgk+L0?
当汽车以同一匀速率通过一个桥面为圆弧形凸形桥的最高点时，由牛顿第二定律得：mg?k(L2?L0)=mv2R
解得：L2=mgk+L0?mv2kR
两式比较可得：L1>L2，故ACD错误，B正确。故选B。
5.A
【解析】
ABC.汽车转弯时恰好没有受到侧向摩擦力，由重力和支持力的合力提供向心力，若汽车再次通过该位置时速度变为原来的二倍，所需要的向心力增大，重力和支持力的合力不够提供向心力，所以汽车受到沿路面向下的侧向摩擦力，
设汽车转弯时恰好没有受到侧向摩擦力时汽车速度为v，根据牛顿第二定律得：
竖直方向：FNcosθ=mg，解得：FN=mgcosθ；
水平方向：FNsinθ=mv2r
则得v=grtanθ
根据牛顿第二定律得：
竖直方向：FN'cosθ=mg+Ffsinθ；
水平方向：FN'sinθ+Ffcosθ=m(2v)2r
联立解得Ff=3mgsinθ，故A正确，BC错误；
D.路面对汽车的支持力大小为FN'=mgcosθ+3mgsinθtanθ，故D错误。故选A。
6.A
【解析】根据题意有FACcos∠CAB=mω2AC?cos∠CAB，FBCcos∠CBA?=mω2BC?cos∠CBA，由于AC>CB，故FAC>FBC，所以AC线先断，故A正确，BCD错误。故选A。
7.A
【解析】
火车拐弯时不受轮缘的挤压时，靠重力和支持力的合力提供向心力，其受力如图，
根据牛顿第二定律得，mgtanθ=mv2r因θ很小，则有tanθ≈sinθ=?l
联立得v=g?rl=10×0.14×9001.4m/s=30m/s。
A.若火车在该弯道实际运行速度为40m/s，大于规定速度，仅外轨对车轮有侧压力，故A正确；
BC.若火车在该弯道实际运行速度为30m/s，内、外轨对车轮都无侧压力，故BC错误；
D.若火车在该弯道实际运行速度为25m/s，小于规定速度，仅内轨对车轮有侧压力，故D错误。
故选A。
8.B
【解析】硬币在圆盘上受重力、支持力、静摩擦力三个力的作用，静摩擦力提供向心力，当摩擦力达到最大静摩擦力时，角速度最大，由牛顿第二定律有：μmg=mω2r，则可得最大的角速度为ω=μgr，故B正确，ACD错误。故选B。
9.C
【解析】在最高点，由重力提供向心力，解得球刚好过最高点的速度为v=gR：
A.当小球以3gR的速度经过与圆心等高的点时，圆管外壁对小球的作用力为F=mv2R=3mg，故A错误；
B.由于vC.由于v>v1=12gR，故小球经过最高点时，圆管的内壁对球有作用力，故C正确；
D.若v1=2gR，则由机械能守恒：12mv12+2mgR=12mv2，解得小球经过最低点时的速度为v=6gR，由于合力提供向心力，故小球经过最低点时，圆管的外壁对球有作用力，F=mv2R+mg=7mg，故D错误。
故选C。
10.AB
【解析】设两个物体刚好还未发生滑动时细线的弹力为F，则
对b物体列牛顿第二定律可得：fm?F=mrw2
对a物体列牛顿第二定律方程可得：F+fm=mRw2
当烧断细线瞬间，拉力F瞬间变为零，而物体的速度不会突变，故物体b所受的静摩擦力立即由最大静摩擦力减小且为b物体提供向心力，而a所受静摩擦力小于其所受的向心力，故b仍随圆盘做匀速圆周运动，a做离心运动，故AB正确，CD错误。
故选AB。
11.AD
【解析】A.当小球在最高点时恰好只有重力提供向心力，则此时杆与球之间没有作用力，故A正确；
B.杆带着小球做圆周运动，杆可以提供沿杆背向圆心的的支持力，只要物体能够到达最高点就可以做完整的圆周运动，此时最高点临界速度为零，故B错误；
CD.小球在最高点时，如果速度由零增加到gR，则此时重力与杆的支持力提供向心力，则mg?F=mv2R，可知随速度的增加，F会减小且为支持力方向竖直向上，故C错误，D正确。
故选AD。
12.ACD
【解析】AB.要使小球能够沿着半圆内轨道运动小球在最高点的速度v0最小值为：gR=13m/s故A正确，B错误；
C.在最高点受力分析，设受到轨道压力大小为FN根据牛顿第二定律得：mg+FN=mv02R，代入数据解得FN=30N故C正确；
D.v0=5m/s，小球将做平抛运动，设经过ts撞到半圆轨道上，则水平距离x=vot，竖直距离y=12gt2，根据几何关系有R2=x2+(y?R)2，代入数据解得：t=2.4s，故D正确；故选：ACD。
13.AD
【解析】解：AB、在最高点，根据牛顿第二定律得：T+mg=mv2L，则有：T=mv2L?mg，由图线知，图线的斜率k=mL=ab，解得绳长为：L=bma，纵轴截距绝对值为：a=mg，解得：g=am，故A正确，B错误。
C、当v2=c时，T=mv2L?mg=acb?a，故C错误。
D、小球在竖直平面内做完整的圆周运动，临界情况是：mg=v2L，v2=gL=b，即只要v2≥b，小球就能在竖直平面内做完整的圆周运动，故D正确。故选：AD。
14.AC
【解析】
A、当物块恰好被水平抛出时，在皮带上最高点时由重力提供向心力，则由牛顿第二定律得：mg=mv2r，解得：v=gr.故A正确，B错误；
C、设此时皮带转速为n，则有2πnr=v，得到：n=v2πr=12πgr.故C正确，D错误。
故选：AC。
15.CD
【解析】A.小球做匀速圆周运动，在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，所以a绳在竖直方向上的分力与重力相等，有：Fasinθ=mg，水平方向上有：Facosθ+Fb=mlω2，可知a绳的拉力不一定大于b绳的拉力，故A错误；
B.根据竖直方向上平衡得，Fasinθ=mg，解得Fa=mgsinθ，知a绳的拉力不变，故B错误；
C.当b绳拉力为零时，有：mgcotθ=mlω2，解得，可知当角速度ω>gltanθ，b绳将出现拉力，故C正确；
D.由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的弹力可能不变，故D正确。
故选CD。
16.解：由于A在圆盘上随盘做匀速圆周运动，所以它受的合外力必然指向圆心，而其中重力与支持力平衡，绳的拉力指向圆心，
所以A所受的摩擦力的方向一定沿着半径，或指向圆心，或背离圆心。
当A将要沿盘向外滑时，A所受的最大静摩擦力指向圆心，A受力分析如图(甲)所示，
A的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力，即：
F+Fm'=mω12r? ?①
由于B静止，故：F=mg；②
由于最大静摩擦力是压力的μ倍，即：
Fm'=μFN=μmg? ? ? ? ③
由①、②、③解得：ω1=g(1+μ)r
当A将要沿盘向圆心滑时，A所受的最大静摩擦力沿半径向外，A受力分析如图(乙)所示，这时向心力为：
F?Fm'=mω22r④
由②③④解得ω2=g(1?μ)r转盘转动的角速度ω在g(1?μ)r≤ω≤g(1+μ)r范围内，物体A才能随盘转动
答：转盘转动的角速度ω在g(1?μ)r≤ω≤g(1+μ)r范围内，物体A才能随盘转动
17.解：小球离开圆锥面的临界条件为圆锥体对小球的支持力FN=0，如图1所示，设此时小球的线速度为v0，则F=ma=mv02r=mv02Lsin?30°=mgtan?30°
解得v0=?3gL6
(1)因v1Tcos?30°+FNsin?30°=mg
解得T=(1+33)mg6；
(2)因v2>v0，小球离开斜面，对小球受力分析，如图3所示，有T'sinα=mv22Lsinα?
T'cosα=mg?
解得：T'=2mg?
答：(1)当v1=gL6时，绳对物体的拉力为(1+33)mg6；
(2)当v2=3gL2时，绳对物体的拉力为2mg。
18.解：(1)对B物块，当B所受摩擦力恰好达到最大静摩擦力时，细线上刚好出现拉力，有：μmg=mω02r2
ω0=μgr2=53rad/s。
(2)ω1<ω0，可以知道A、B所受摩擦力均未达到最大静摩擦力，
则：fA=mω12r1=0.4N，fB=mω12r2=0.6N。
(3)设当A、B所受摩擦力均达到最大静摩擦力时，细线拉力为T，
对A物块：T?μmg=mω22r1
对B物块：T+μmg=mω22r2
联立计算得出：ω2=2μgr2?r1=2×0.1×100.6?0.4=10rad/s。

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