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冲刺中考数学压轴题真题专项训练
（二）填空题
1.【2020年浙江省衢州15．（4分）】如图，将一把矩形直尺和一块含角的三角板摆放在平面直角坐标系中，在轴上，点与点重合，点在上，三角板的直角边交于点，反比例函数的图象恰好经过点，．若直尺的宽，三角板的斜边，则　　．
【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，求出，，进而求出、，表示出点、点的坐标，利用反比例函数的意义，确定点的坐标，进而确定的值即可．
【解答】解：过点作，垂足为，则，
在中，，
，
，
设，则，
，，，，
，
解得，，
，，
．
故答案为：．
【点评】考查反比例函数的图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法．
2.【2020年浙江省衢州16．（4分）】图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图．已知，两点固定，连杆，，，，两点间距与长度相等．当绕点转动时，点，，的位置随之改变，点恰好在线段上来回运动．当点运动至点或时，点，重合，点，，，在同一直线上（如图．
（1）点到的距离为　
　．
（2）当点，，在同一直线上时，点到的距离为　　．
【分析】（1）如图3中，延长交于，过点作于．解直角三角形求出即可．
（2）如图4中，当，，共线时，过作于．设．解直角三角形求出即可．
【解答】解：（1）如图3中，延长交于，过点作于．
由题意：，，，，
，
，
，
，
，
点到的距离为，
故答案为160．
（2）如图4中，当，，共线时，过作于．设．
由题意，，，，
，
，
，
解得，
，
点到的距离为．
故答案为．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
3.
【2020年浙江省宁波市16．（5分）】如图，经过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点（点在第一象限），点，，在反比例函数的图象上，轴，轴，五边形的面积为56，四边形的面积为32，则的值为　
　，的值为　　．
【分析】如图，连接，，，，延长交的延长线于，设交轴于．求出证明四边形是平行四边形，推出，推出，可得，推出．再证明，证明，推出，再证明即可解决问题．
【解答】解：如图，连接，，，，延长交的延长线于，设交轴于．
由题意，关于原点对称，
，的纵坐标的绝对值相等，
，
，的纵坐标的绝对值相等，
，在反比例函数的图象上，
，关于原点对称，
，，共线，
，，四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，设，则，，，
，
，
．
故答案为24，．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
4．【2020年浙江省杭州市16．（4分）】如图是一张矩形纸片，点在边上，把沿直线对折，使点落在对角线上的点处，连接．若点，，在同一条直线上，，则　
　，　　．
【分析】根据矩形的性质得到，，根据折叠的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到；根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：四边形是矩形，
，，
把沿直线对折，使点落在对角线上的点处，
，，，
，，
，
，
，
；
，
，
，
，
，
，
（负值舍去），
，
故答案为：2，．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
5.
【2020年四川省遂宁市15．（4分）】如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，，以此类推，若．为正整数），则的值为　
　．
【解答】解：由图形知，，，
，
，
，
，
，
，
解得，
经检验：是分式方程的解，
故答案为：4039．
6.
【2020年四川省成都市25．（4分）】如图，在矩形中，，，，分别为，边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接．若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，线段长度的最大值为　　，线段长度的最小值为　　．
【解答】解：连接交于，连接，取的中点，连接，，过点作于．
四边形是矩形，，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，，
当点与重合时，的值最大，此时，，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为，．
7.
【2020年黑龙江省大兴安岭地区17．（3分）】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，4），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10+12，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是　
．
【解答】解：∵点A1（0，2），
∴第1个等腰直角三角形的面积2，
∵A2（6，0），
∴第2个等腰直角三角形的边长为2，
∴第2个等腰直角三角形的面积4＝22，
∵A4（10，4），
∴第3个等腰直角三角形的边长为10﹣6＝4，
∴第3个等腰直角三角形的面积8＝23，
…
则第2020个等腰直角三角形的面积是22020；
故答案为：22020（形式可以不同，正确即得分）．
8.【2020年黑龙江省鸡西市20．（3分）】如图，直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点，以为边作正方形，点坐标为．过点作交于点，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，以为边作正方形，点的坐标为．过点作交于，交轴于点，过点作轴的垂线交于点．以为边作正方形．．则点的坐标　
　．
【解答】解：点坐标为，
，
，
，
，
，
，
，
同理可得，
，
由上可知，，
当时，．
故答案为：，．
9.【2020年山东省滨州市20．（5分）】如图，点是正方形内一点，且点到点、、的距离分别为、、4，则正方形的面积为　　．
【解答】解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于．
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，，共线，
，
，
，
，
，
正方形的面积为．
故答案为．
10.【2020年浙江省舟山市16．（4分）】如图，有一张矩形纸条，，，点，分别在边，上，．现将四边形沿折叠，使点，分别落在点，上．当点恰好落在边上时，线段的长为　　；在点从点运动到点的过程中，若边与边交于点，则点相应运动的路径长为　　．
【分析】第一个问题证明，求出即可解决问题．第二个问题，探究点的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可．
【解答】解：如图1中，
四边形是矩形，
，
，
由翻折的性质可知：，，
，
，
，
．
如图2中，当点与重合时，，设，
在中，则有，解得，
，
如图3中，当点运动到时，的值最大，，
如图4中，当点运动到点落在时，（即，
点的运动轨迹，运动路径．
故答案为，．
【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
11.【2020年贵州省遵义市16．（4分）】如图，是的外接圆，，于点，延长交于点，若，，则的长是　　．
【分析】连结，，，过点作于，作于，根据圆周角定理可得，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得，，可求，再根据相交弦定理可求．
【解答】解：连结，，，过点作于，作于，
是的外接圆，，
，
，，
，
，
，，
，
，，
在中，，
，
，
．
故答案为：．
【点评】考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，解题的难点是求出的长．
12.【2020年黑龙江省绥化市21．（3分）】如图各图形是由大小相同的黑点组成，图1中有2个点，图2中有7个点，图3中有14个点，，按此规律，第10个图中黑点的个数是　　．
【解答】解：图1中黑点的个数，
图2中黑点的个数，
图3中黑点的个数，
第个图形中黑点的个数为，
第10个图形中黑点的个数为．
故答案为：119．
13.
【2020年浙江省温州市16．（5分）】如图，在河对岸有一矩形场地，为了估测场地大小，在笔直的河岸上依次取点，，，使，，点，，在同一直线上．在点观测点后，沿方向走到点，观测点发现．测得米，米，米，，则场地的边为　　米，为　　米．
【分析】根据已知条件得到和是等腰直角三角形，求得（米，（米，于是得到（米；过作于，过作交于，交于，根据矩形的性质得到，，，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：，，
，
和是等腰直角三角形，
，，
米，米，米，
（米，（米，
，，
（米；
过作于，过作交于，交于，
，
四边形和四边形是矩形，
，，，
，，
，
，
设，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
14.
【2020年山东省聊城市17．（3分）】如图，在直角坐标系中，点，是第一象限角平分线上的两点，点的纵坐标为1，且，在轴上取一点，连接，，，，使得四边形的周长最小，这个最小周长的值为　　．
【解答】解：点，点的纵坐标为1，
轴，
，
，
，
，
，
，
作关于轴的对称点，
连接交轴于，
则此时，四边形的周长最小，这个最小周长的值，
过作交的延长线于，
则，，
，
最小周长的值，
故答案为：．
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（二）填空题
1.【2020年浙江省衢州15．（4分）】如图，将一把矩形直尺和一块含角的三角板摆放在平面直角坐标系中，在轴上，点与点重合，点在上，三角板的直角边交于点，反比例函数的图象恰好经过点，．若直尺的宽，三角板的斜边，则　　．
2.【2020年浙江省衢州16．（4分）】图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图．已知，两点固定，连杆，，，，两点间距与长度相等．当绕点转动时，点，，的位置随之改变，点恰好在线段上来回运动．当点运动至点或时，点，重合，点，，，在同一直线上（如图．
（1）点到的距离为　
　．
（2）当点，，在同一直线上时，点到的距离为　　．
3.
【2020年浙江省宁波市16．（5分）】如图，经过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点（点在第一象限），点，，在反比例函数的图象上，轴，轴，五边形的面积为56，四边形的面积为32，则的值为　
　，的值为　　．
4．【2020年浙江省杭州市16．（4分）】如图是一张矩形纸片，点在边上，把沿直线对折，使点落在对角线上的点处，连接．若点，，在同一条直线上，，则　
　，　　．
5.
【2020年四川省遂宁市15．（4分）】如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，，以此类推，若．为正整数），则的值为　
　．
6.
【2020年四川省成都市25．（4分）】如图，在矩形中，，，，分别为，边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接．若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，线段长度的最大值为　　，线段长度的最小值为　　．
7.
【2020年黑龙江省大兴安岭地区17．（3分）】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，4），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10+12，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是　
．
8.【2020年黑龙江省鸡西市20．（3分）】如图，直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点，以为边作正方形，点坐标为．过点作交于点，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，以为边作正方形，点的坐标为．过点作交于，交轴于点，过点作轴的垂线交于点．以为边作正方形．．则点的坐标　
　．
9.【2020年山东省滨州市20．（5分）】如图，点是正方形内一点，且点到点、、的距离分别为、、4，则正方形的面积为　　．
10.【2020年浙江省舟山市16．（4分）】如图，有一张矩形纸条，，，点，分别在边，上，．现将四边形沿折叠，使点，分别落在点，上．当点恰好落在边上时，线段的长为　　；在点从点运动到点的过程中，若边与边交于点，则点相应运动的路径长为　　．
11.【2020年贵州省遵义市16．（4分）】如图，是的外接圆，，于点，延长交于点，若，，则的长是　　．
12.【2020年黑龙江省绥化市21．（3分）】如图各图形是由大小相同的黑点组成，图1中有2个点，图2中有7个点，图3中有14个点，，按此规律，第10个图中黑点的个数是　　．
13.
【2020年浙江省温州市16．（5分）】如图，在河对岸有一矩形场地，为了估测场地大小，在笔直的河岸上依次取点，，，使，，点，，在同一直线上．在点观测点后，沿方向走到点，观测点发现．测得米，米，米，，则场地的边为　　米，为　　米．
14.
【2020年山东省聊城市17．（3分）】如图，在直角坐标系中，点，是第一象限角平分线上的两点，点的纵坐标为1，且，在轴上取一点，连接，，，，使得四边形的周长最小，这个最小周长的值为　　．
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