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七年级数学下册第五章
《平行线与相交线》
压轴培优（一）
1．如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OG⊥OC．
（1）求证：∠COF＝∠EOG；
（2）若∠BOD＝32°，求∠EOG的度数．
2．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．
3．如图，AC∥FE，∠1+∠3＝180°．
（1）判定∠FAB与∠4的大小关系，并说明理由；
（2）若AC平分∠FAB，EF⊥BE于点E，∠4＝78°，求∠BCD的度数．
4．如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点．
（1）若∠1与∠2都是锐角，如图甲，写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系并说明原因；
（2）若把一块三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数；
（3）将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求的值．
5．如图，已知AM∥BN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）∠ABN的度数是　
　，∠CBD的度数是　
　；
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律；
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是多少？
6．如图，BD平分∠ABC，F在AB上，G在AC上，FC与BD相交于点H，∠3+∠4＝180°，试说明∠1＝∠2．（请通过填空完善下列推理过程）
解：∵∠3+∠4＝180°（已知），∠FHD＝∠4（　
　）．
∴∠3+　
　＝180°（等量代换）．
∴FG∥BD（　
　）．
∴∠1＝　
　（　
　）．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝　
　（　
　）．
∴∠1＝∠2（　
　）．
7．【问题】如图①．线段AB＝10cm，点C是线段AB上一动点，点M、N分别是线段AC、BC的中点，求线段MN的长（请写出说理步骤）．
【拓展】如图①，线段AB＝acm．点C是线段AB上一动点，点从N分别是线段AC、BC的中点，则线段MN的长为　
　cm．（用含字母a的代数式表示）
【应用】（1）如图②，∠AOB＝α，射线OC是∠AOB内部任一射线，射线OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC，则∠MON的大小为　
　（用含字母α的代数式表示）；
（2）如图③，AM∥BN，∠A＝68°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP、∠PBN，分别交射线AM于点C，D．求∠ACB与∠ADB的差．
8．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．
如图2：当角∠CAE＝60°时，BC∥DE．
求其它所有可能符合条件的角∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）的度数，画出对应的图形并证明．
9．已知∠DCB＝∠DBC，BC平分∠ABE，AC平分∠BAF，AF∥BE．
（1）求证：CD∥BE；
（2）求∠ACB的度数．
10．直线EF、GH之间有一个Rt△ABC，其中∠BAC＝90°，∠ABC＝α．
（1）如图①，点A在直线EF上，点B、点C在直线GH上，若∠α＝60°，∠FAC＝30°．求证：EF∥GH；
（2）将三角形ABC如图②放置，点C、B分别在直线EF、GH上，直线EF∥GH，试探索∠FCA、∠A、∠ABH三者之间的数量关系；
（3）如图③，在图②的基础上，若BC平分∠ABH，CD平分∠FCA交直线GH于点D．试探索在α取不同数值时，∠BCD的大小是否发生变化？若不变求其值，若变化指出其变化范围．
11．如图，CD⊥AB于D，点E为AC上一动点，过点E作EF⊥AB于F，连接DE
（1）若∠1＝∠2，求证：DE∥BC；
（2）在点E运动过程中，直线DE与直线BC交于点M，若∠DCB＝α，∠M＝β，则∠FED的度为　
　（用含α，β的式子表示）．
12．在下列解题过程的空白处填上适当的内容（推理的理由或数学表达式）
如图，已知AB∥CD，BE，CF分别平分∠ABC和∠DCB，求证：BE∥CF．
证明：∵AB∥CD（已知）
∴∠EBC＝∠ABC（角的平分线定义）
同理，∠FCB＝∠BCD
∴∠EBC＝∠FCB（等式性质）
∴BE∥CF（　
　）
13．（1）如图1，AC平分∠DAB，AB∥CD，求证：∠1＝∠2；
（2）如图2，在（1）的条件下，AB的下方两点E、F满足：BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠DFB＝25°，∠CDE＝80°，求∠ABE的度数；
（3）在前面的条件下，若P是BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，如图3，则∠MGN＝　
　．
14．点D在∠ABC内，点E为边BC上一点，连接DE、CD．
（1）如图1，连接AE，若∠AED＝∠A+∠D，求证：AB∥CD；
（2）在（1）的结论下，若过点A的直线MA∥ED，如图2，当点E在线段BC上时，猜想并验证∠MAB与∠CDE的数量关系．
15．如图1，将线段AB平移至DC，使点A与点D对应，点B与点C对应，连接AD、BC．
（1）填空：AB与CD的位置关系为　
　，BC与AD的位置关系为　
　．
（2）如图2，若G、E为射线DC上的点，∠AGE＝∠GAE，AF平分∠DAE交直线CD于F，且∠FAG＝30°，求∠B的度数．
参考答案
1．（1）证明：∵OF⊥OE，OG⊥OC，
∴∠FOE＝∠COF+∠COE＝90°，∠COG＝∠EOG+∠COE＝90°，
∴∠COF＝∠EOG；
（2）解：∵∠BOD＝32°，
∴∠BOC＝180°﹣32°＝148°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC＝74°，
∵∠COG＝90°，
∴∠EOG＝∠COG﹣∠COE＝16°．
2．解：
（1）如图1，
∵AM∥CN，
∴∠C＝∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠A+∠AOB＝90°，
∠A+∠C＝90°，
故答案为：∠A+∠C＝90°；
（2）如图2，过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，
∴∠DBG＝90°，
∴∠ABD+∠ABG＝90°，
∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG＝90°，
∴∠ABD＝∠CBG，
∵AM∥CN，
∴∠C＝∠CBG，
∠ABD＝∠C；
（3）如图3，过点B作BG∥DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，
由（2）知∠ABD＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠GBF，
设∠DBE＝α，∠ABF＝β，
则∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，
∠GBF＝∠AFB＝β，
∠BFC＝3∠DBE＝3α，
∴∠AFC＝3α+β，
∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°，
∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°得：
2α+β+3α+3α+β＝180°，
∵AB⊥BC，
∴β+β+2α＝90°，
∴α＝15°，
∴∠ABE＝15°，
∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．
3．解：（1）∠FAB＝∠4，
理由如下：
∵AC∥EF，
∴∠1+∠2＝180°，
又∵∠1+∠3＝180°，
∴∠2＝∠3，
∴FA∥CD，
∴∠FAB＝∠4；
（2）∵AC平分∠FAB，
∴∠2＝∠CAD，
∵∠2＝∠3，
∴∠CAD＝∠3，
∵∠4＝∠3+∠CAD，
∴，
∵EF⊥BE，AC∥EF，
∴AC⊥BE，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠3＝51°．
4．解：（1）∠C＝∠1+∠2．
理由：如图，过C作CD∥PQ，
∵PQ∥MN，
∴PQ∥CD∥MN，
∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠1+∠2；
（2）∵∠AEN＝∠A＝30°，
∴∠MEC＝30°，
由（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°，
∴∠PDC＝90°﹣∠MEC＝60°，
∴∠BDF＝∠PDC＝60°；
（3）设∠CEG＝∠CEM＝x，则∠GEN＝180°﹣2x，
由（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP，
∴∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x，
∴∠BDF＝90°﹣x，
∴＝2．
5．解：（1）∵AM∥BN，∠A＝64°，
∴∠A+∠ABN＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣∠A＝116°；
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝116°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°，
故答案为：116°，58°；
（2）不变，
∠APB：∠ADB＝2：1，
∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB：∠ADB＝2：1；
（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，
则有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN
∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）∠ABN＝116°，∠CBD＝58°，
∴∠ABC+∠DBN＝58°，
∴∠ABC＝29°，
故答案为：29°．
6．解：∵∠3+∠4＝180°（已知），∠FHD＝∠4（对顶角相等），
∴∠3+∠FHD＝180°（等量代换），
∴FG∥BD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠1＝∠ABD（两直线平行，同位角相等），
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠2（角平分线的定义），
∴∠1＝∠2（等量代换），
故答案为：对顶角相等，∠FHD，同旁内角互补，两直线平行，∠ABD，两直线平行，同位角相等，∠2，角平分线的定义，等量代换．
7．解：【问题】∵M、N分别是线段AC、BC的中点，
∴MC＝，NC＝，
∵MN＝MC+NC＝＝＝5；
【拓展】∵M、N分别是线段AC、BC的中点，
∴MC＝，NC＝，
∵MN＝MC+NC＝＝．
故答案为：；
（1）∵射线OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC，
∴∠MOC＝，，
∵∠MON＝∠MOC+∠CON＝＝＝＝．
故答案为：；
（2）∵AM∥BN，∠A＝68°，
∴∠ABN＝180°﹣68°＝112°，
又∵BC、BD分别平分∠ABP、∠PBN，
∴由（1）结论可知，
∠CBD＝＝，
∵∠ACB＝∠ADB+∠CBD，
∴∠ACB﹣∠ADB＝∠CBD＝56°，
∠ACB与∠ADB的差为56°．
8．解：当AC∥DE时，如图所示：
则∠CAE＝∠E＝90°；
当BC∥AD时，如图所示：
则∠CAE＝180°﹣∠C﹣∠DAE＝180°﹣30°﹣45°＝105°；
当BC∥AE时，
∵∠EAB＝∠B＝60°，
∴∠CAE＝∠CAB+∠EAB＝90°+60°＝150°；
综上所述：∠CAE的度数为90°或105°或150°．
9．证明：（1）∵BC平分∠ABE，
∴∠DBC＝∠CBE，
∵∠DCB＝∠DBC，
∴∠CBE＝∠DCB，
∴DC∥BE，
（2）∵DC∥BE，
∵AF∥BE，
∴DC∥AF，
∴∠ACD＝∠CAF，
∵AC平分∠BAF，
∴∠DAC＝∠CAF，
∴∠DAC＝∠ACD，
∵∠DAC+∠ACD+∠DCB+∠DBC＝180°，
∴∠DCB+∠DCA＝90°，
∴∠ACB＝90°．
10．解：（1）∵∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∵∠FAC＝30°，
∴∠FAC＝∠ACB，
∴EF∥GH；
（2）如图2，过点A作AP∥EF，
则∠FCA+∠CAP＝180°，
∴∠CAP＝180°﹣∠FCA，
∵EF∥GH，
∴AP∥GH，
∴∠PAB+∠ABH＝180°，
∴∠PAB＝180°﹣∠ABH，
∴∠BAC＝∠CAP+∠PAB
＝180°﹣∠FCA+180°﹣∠ABH
＝360°﹣∠FCA﹣∠ABH，
即∠BAC+∠FCA+∠ABH＝360°；
（3）不发生变化，
理由是：如图3，过点A作AM∥GH，
又∵EF∥GH，
∴AM∥EF∥GH，
∴∠FCA+∠CAM＝180°，∠MAB+∠ABH＝180°，∠CBH＝∠ECB，
又∵∠CAM+∠MAB＝∠BAC＝90°，
∴∠FCA+∠ABH＝270°，
又∵BC平分∠ABH，CD平分∠FCA，
∴∠FCD+∠CBH＝135°，
又∵∠CBH＝∠ECB，即∠FCD+∠ECB＝135°，
∴∠BCD＝180°﹣（∠FCD+∠ECB）＝45°．
11．（1）证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠1＝∠3，
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴DE∥BC；
（2）如图2所示，
∵∠DCB＝α，∠M＝β，
∴∠EDC＝∠DCB+∠M＝α+β；
如图3所示，
∵∠DCB＝α，∠M＝β，
∴∠DCB＝∠EDC+∠M
∴∠EDC＝α﹣β；
由上可得，
故答案为：α+β或α﹣β．
12．证明：∵AB∥CD（已知）
∴∠EBC＝∠ABC（角的平分线定义）
同理，∠FCB＝∠BCD
∴∠EBC＝∠FCB（等式性质）
∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行．）
故答案为内错角相等，两直线平行．
13．解：（1）∵AC平分∠DAB，
∴∠1＝∠3，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2；
（2）过F作作FQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴CD∥FQ，
∵DF平分∠CDE，
∴∠CDF＝∠EDF＝CDE＝＝40°，
∵CD∥FQ，
∴∠DFQ＝∠CDF＝40°，
∵∠DFB＝25°，
∴∠BFQ＝15°，
∵AB∥FQ，
∴∠ABF＝∠QFB＝15°，
∵BF平分∠ABE，
∴∠ABE＝2∠ABF＝30°；
（3）过P作PK∥AB，则PK∥DG，
∴∠BPK＝∠ABP＝30°，
∵PQ平分∠BPG，
∴∠GPQ＝∠BPQ，
设∠GPQ＝∠BPQ＝x，
∴∠GPK＝2x+30°，
∵DG∥PK，
∴∠DGP＝∠GPK＝30°+2x，
∵GM平分∠DGP，
∴∠DGM＝∠PGM＝DGP＝15°+x，
∵PQ∥GN，
∴∠PGN＝∠GPQ＝x，
∴∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝15°，
故答案为：15°．
14．（1）证明：如图1，过点E作EF∥AB．
∵EF∥AB，
∴∠AEF＝∠A．
∵∠AED＝∠AEF+∠DEF，∠AED＝∠A+∠D，
∴∠D＝∠DEF，
∴CD∥EF，
∴AB∥CD．
（2）解：∠MAB＝∠CDE．
证明：如图2，延长AB、DE交于点F．
∵MA∥ED，
∴∠MAB＝∠F．
∵AB∥CD，
∴∠CDE＝∠F，
∴∠MAB＝∠CDE．
15．解：（1）如图1中，
∵AB＝CD，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
故答案为：AB∥CD，AD∥BC；
（2）∵AB∥CD，
∴∠BAG＝∠G，
∵∠G＝∠EAG，
∴∠EAG＝∠BAG，
∵AF平分∠DAE，
∴∠FAE＝∠FAD，
∴∠BAD＝2∠FAG，
∵∠FAG＝30°，
∴∠BAD＝60°，
∵BC∥AD，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∴∠B＝120°．

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