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江苏省南通市天星湖中学高二周练2021.4.5
单项选择题：
1.设复false（其中false为虚数单位），则复数false在复平面内对应的点
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知全集false，集合false，集合false，则false
A.false B.false C.false D.false
3.已知直线false平面false，则直线false平面false是直线false的
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
4.已知false，false，则false的值为
A.false B.false C.false D.false
5.如图，在梯形false中，已知false，false，false为false的中点，false，false，则false
374586586995A.false B.false
C.false D.false
6.埃及金字塔之谜是人类史上最大的谜，它的神奇远远超过了人类的想象.在埃及金字塔内有一组神秘的数字false，因为false，false，false，…，所以这组数字又叫“走马灯数”.该组数字还有如下发现：false，false，false，…，若从这组神秘数字中任选false个数字构成一个三位数false，剩下的三个数字构成另一个三位数false，若false，则所有可能的有序实数组false的个数为
A.false B.false C.false D.false
7.在平面直角坐标系false中，已知圆false：false，若直线false：false上有且只有一个点false满足：过点false作圆false的两条切线false，false，切点分别为false，false，且使得四边形false为正方形，则正实数false的值为
A.false B.false C.false D.false
8.已知false是定义在false上的奇函数，对任意两个不相等的正数false，false，都有false，记false，false，false，则false，false，false的大小关系为
A.false B.false C.false D.false
多项选择题：
9.已知false的二项展开式中二项式系数之和为false，则下列结论正确的是
A.二项展开式中各项系数之和为false
B.二项展开式中二项式系数最大的项为false
C.二项展开式中无常数项
D.二项展开式中系数最大的项为false
10.如图，已知函数false的图象与false轴交于点false，false，若false，图象的一个最高点false，则下列说法正确的是
328866537465A.false
B.false的最小正周期为false
C.false一个单调增区间为false
D.false图象的一个对称中心为false
11.下列说法正确的是? ? ? ?
A. 设随机变量X等可能取1，2，3，，n，如果，则
B. 若随机变量的概率分布规律为2，3，，其中a是常数，则
C. 设离散型随机变量服从两点分布，若，则
D. 超几何分布的实质是古典概型问题
12.如图，在边长为false的正方形false中，点false是边false的中点，将false沿false翻折到false，连结false，false，在false翻折到false的过程中，下列说法正确的是
A.四棱锥false的体积的最大值为false
B.当面false平面false时，二面角false的正切值为false
C.存在某一翻折位置，使得false
D.棱false的中点为false，则false的长为定值
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知数列false的前false项和为false，且满足false，false．false的通项公式为
14.袋中有4个红球3个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得1分，取到1个黑球得3分，设得分为随机变量X，则________．
right015.如图，正方形OABC的边长为a，（a＞1），函数y=3x2与AB交于点Q，函数与BC交于点P，当|AQ|+|CP|最小时，a的值为______ .
16..经过原点的直线交椭圆于P，Q两点（点P在第一象限），若点P关于x轴的对称点称为M，且，直线QA与椭圆交于点B，且满足BP⊥PQ，则直线BP和BQ的斜率之积为______ ，椭圆的离心率为______ .
二、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
17.设{an}是公比为q的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）当q＞1时，令bn=1+log2an，求数列{an+bn}的前n项和Tn．
18.已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间;
(2)求函数在上的最大值和最小值.
19.一个袋中有3个白球，2个红球
现从中任取3个球，试求：取到的红球数X的概率分布列；
现从袋中往外取球，每次取一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现3次停止，设停止时取球次数为随机变量Y，求；
20.在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，侧面PAD为等边三角形，M、N分别为AD、PD的中点，PM⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥AB，PD=CD=2，AB=1.
（1）求证：PA∥平面MNC；
（2）求AN与平面MNC所成角的正弦值.
center0
right021.如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆E的方程．
（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
22.已知函数．
（1）若m＝1，求证：f(x)≥0．
（2）讨论函数f(x)的极值；
（3）是否存在实数m，使得不等式在(1，+∞)上恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．
江苏省南通市天星湖中学高二周练答案2021.4.5
单项选择题：
1-8：ACBDBACD,9-12:AB,BCD,ACD,ABD
false三填空题（本大题共3小题，共15.0分）
13.14.，15.．16.-?
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
解：（1）S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，
可得a1+a1q+a1q2=7，6a2=a1+3+a3+4，即6a1q=a1+a1q2+7，
解得a1=1，q=2或a1=4，q=，
则an=2n-1或an=23-n；
（2）当q＞1时，bn=1+log2an=1+log22n-1=1+n-1=n，
an+bn=2n-1+n，
则前n项和Tn=（1+2+4+…+2n-1）+（1+2+3+…+n）
=+n（n+1）=2n-1+．
18.解：（1）
，
?，
令，
即单减区间为；
（2）由，
当时，的最小值为：2；
当时，的最大值为：5.
19.解：的可能取值为0，1，2，
，
，
，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
P
根据题意，取一次取到白球的概率为，取到红球的概率为，
则直到红球出现3次停止为：前3次取得球为2红1白，第4次取得为红球，
所以；
答：．
20.解：（1）证明：∵M、N分别为AD、PD的中点，∴MN∥PA，right0
∵PA?平面MNC，MN?平面MNC，
∴PA∥平面MNC．
（2）∵在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，侧面PAD为等边三角形，
M、N分别为AD、PD的中点，PM⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥AB，PD=CD=2，AB=1．
∴以M为原点，MA为x轴，过M作AB的平行线为y轴，MP为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），N（-，0，），M（0，0，0），C（-1，2，0），
=（-，0，），=（-），=（-1，2，0），
设平面MNC的法向量=（x，y，z），
则，取y=1，得=（2，1，），
设AN与平面MNC所成角为θ，
则sinθ===．
∴AN与平面MNC所成角的正弦值为．
21.【答案】解：（Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．
∴4a=8，∴a=2
∵e=，∴c=1
∴b2=a2-c2=3
∴椭圆E的方程为．
（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0
∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0）
∴m≠0，△=0，∴（8km）2-4×（4k2+3）×（4m2-12）=0
∴4k2-m2+3=0①
此时x0==，y0=，即P（，）
由得Q（4，4k+m）
取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x-2）2+（y-）2=4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）
取k=，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x-）2+（y-）2=，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）
故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下
∵
∴
故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）
22.解：（1）m＝1，，
即，当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，
当x∈(1，+∞)时，f′(x)＞0，∴f(x)min＝f(1)＝0，故f(x)≥0．
（2）由题知，x＞0，，
①当m≤0时，，所以f(x)在(0，+∞)上单调递减，没有极值；
②当m＞0时，，得，当时，f′(x)＜0；
当时，f′(x)＞0，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增．
故f(x)在处取得极小值，无极大值．
（3）不妨令，不难证明ex-1-x≥0，
当且仅当x＝1时取等号，所以，当x∈(1，+∞)时，h(x)＞0，
由（2）知，当m≤0，x＞1时，f(x)在(1，+∞)上单调递减，f(x)＜f(1)＝0恒成立；
所以不等式在(1，+∞)上恒成立，只能m＞0．
当0＜m＜1时，，由（1）知f(x)在上单调递减，
所以，不满足题意．当m≥1时，设，
因为m≥1，x＞1，所以mx≥x，ex-1＞1，，，
，
即，所以F(x)在(1，+∞)上单调递增，
又F(1)＝0，所以x∈(1，+∞)时，F(x)＞0恒成立，即f(x)-h(x)＞0恒成立，
故存在m≥1，使得不等式在(1，+∞)上恒成立．此时m的最小值是1．

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