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微元法在高中物理教学中的应用
关键词：微元法 位移 弹性势能 向心加速度 磁感应强度 感应电动势
过程微元 质量微元 微电流 角度微元、线度微元
高中物理难学的困惑紧紧困扰着一届又一届的学生，这种现象是由学生身心发展不够完善、物理学科要求学生应有严密的逻辑思维、深厚的数学功底等特点、学习方法的变化等多方面原因造成的。我觉得高中物理的学习应在深刻理解物理基本概念、基本规律、原理的基础上更应该重视对物理方法、物理思想的归纳和整理。在运用物理知识解决实际问题的过程中，人们逐步积累和形成了物理学中处理问题的方法，在物理教学中，我们一定要使学生逐步领会和掌握这些方法。在具体问题中我们常用的处理方法有理想模型法、等效替代法、微元法、图像法、近似处理法、逆向思维法、极限法、比例法、赋值法、类比法等等。其中微元法在实际问题中如能巧妙运用就能在解决问题中找到突破口。下面在实际情境中看一下微元法的妙用。
微元法，就是将研究对象（物体或物理过程）进行无限细分，从其中选取某一微小单元进行分析和讨论，从而找出研究对象（物体或物理过程）变化规律的一种解题方法。微元法是解决物理问题的基本思想方法，它贯穿于高中阶段的物理知识体系，渗透于一些物理概念、公式中。取微元作为研究对象，可准确地描述变化的物理过程中瞬间状态，微元再求和更是解决物理过程中变量积累问题的重要方法。严格说，微元法是利用微积分来处理物理问题的一种解题思维方法，对中学生来说显得有一定的难度（属于较高要求）。但在教学中恰当地选择一些物理问题，有针对性地进行分析，对培养中学生的思维能力和综合分析能力是有益的。下面举几例来说明微元法在中学物理学中的应用，希望起“抛砖引玉”之作用。　　
一）、 物理概念中渗透微元法的基本思想
平均速度只是粗略地描述物体运动快慢，要准确的描述物体运动快慢，应该用瞬时速度。课本中瞬时速度定义是：运动物体在某时刻(某一位置)的速度，可进一步理解为：平均速度=△x/△t中，当时间非常短接近于零表示某一瞬时速度，或位移非常小，表示某一点的瞬时速度。这里时间非常短，或位移非常小，已渗入了取时间微元或位移微元的思想。匀速直线运动指：任何相等的时间内位移相等。这里“任何相等的时间”也包含了很短的时间微元，当然也可取较长的时间段。
大家在学习匀速圆周运动的向心加速度时同样接触到微元方法，匀速圆周运动中线速度的大小虽不改变但方向不断改变。为了准确描述向心加速度的方向，我们取一以极小的△θ使其趋于零，弦长趋于弧长。再利用三角形相似知识可得向心加速度的表达式a=v2/r=ω2r。学习磁感应强度时
我们同样取一微电流元去探测空间某点的磁感应强度，
学习通电圆环在磁场中的受力情况时，我们把圆环分
解为无数段微电流元从而来了解安培力。在对导体中的
电流进行微观解释时，我们取一小段导体认为这段导体中的所有电荷从一端移动到另一端时这些电荷全穿过某一横截面。可见微元法在物理概念的学习中应用非常广泛。
二）、物理公式中的微元思想
1、匀变速直线运动位移公式的推导
微元法指的是我们把研究对象或过程分隔成小块的（微元）来加以研究。利用微元法处理问题时往往起到化变为恒，化曲为直的效果。例如在研究匀变速直线运动的位移与时间关系时，如右图1将v-t图象中整个运动过程划分的非常非常细，很多很多小矩形。虽然整个过程是变速的运动，
但在极短的时间内可以近似认为该过程为匀速
运动过程。某一时间间隔内的位移即为该时间
对应小矩形的面积，若△t→0这时“很多很多”
小矩形顶端的“锯齿形”就看不出来了，小矩形合在
一起成了一个梯形，位移即为该矩形所围的面积，从而推导出位移时间公式：
微元法实际上是一种微分的思想，在中学物理问题中是一种常用的处理方法。在上述公式的推导中如果我们已深刻理解其中的思想，我们即能得出结论变速直线运动中位移即为v-t图像所谓的面积这更广泛适用的结论。而学生却没能掌握这种方法往往死记硬背公式。在计算匀变速直线运动中我们首次接触到了微元的思想，此后微元法在力学、电学、电磁学中我们会屡屡碰到这种思想。但教材中往往没明确说明要我们师生自己归纳总结。
2、弹性势能公式的推导
弹性势能究竟跟哪些因素有关？从理论上来讲它跟弹簧的形变量、弹簧本身的劲度系数有关，那么弹簧的弹性势能究竟如何
表达呢？要推出弹性势能的表达公式同样要用到
微元法，大家知道功和能密切相关 ，能量即为某物体做功能力的大小。我们先把弹簧拉长使其伸长量为△x,放手后弹簧将把物块拉动对物块做功，那么如何得知该过程弹力所做的功就需用到微元法。整个过程中弹力是一个变力，但在极小的一段位移内我们可以把弹力看作是恒力，此时我们就可以运用恒力做功公式W=FS来求弹力所做的功了。如下图：弹力随形变的逐渐恢复而逐渐减小F=k△x , 而W=FS 在极小的一段小位移范围内即为小矩形的面积。
故形变量为△x在恢复原状的整个过程中弹力所做
的功为三角形所围的面积 。
3、转动物体的感应电动势公式
如图所示的一段导体在纸面内绕端点O以角速度ω匀
速转动，磁场垂直纸面向里且磁感应强度为B,棒的长度
为l，则这根棒两端产生的感应电动势为多大呢？许多
同学会认为E=Bl2ω，因为他们在这里生搬硬套公
式E=Blv而没有理解该公式的确切含义。要解决这个问题
就得把导体棒看做无数段微元，每一小段绕O点转动的线
速度v=ωr各不相同 ,整根导体棒的感应电动势可看成无数个电源串联而成，跟前述的方法一样感应电动势之和即为E=Bl( v1+ v2+ v3+…+vn ),而速度之和为v-r图像所围的面积，故E=1/2Bl2ω .这里微元思想的灵活运用会使我们更深刻地理解概念和公式的含义。
三）、习题中微元法的巧妙运用
微元法在具体习题中应用非常广泛，在解运动学问题时通常取时间微元△t、角度微元△θ、位移微元△x等。。我们时常会遇到弹力、安培力、万有引力等随形变量、速度、相距距离而变化的变力问题。在计算变力做功时可以将整个做功过程划分为许多的微小过程，在每个微小过程中将力视为一个恒力，解变力做功问题就可以转化为求恒力做功。另一种情形下我们时常把物体本身分割成无数个小单元，如质量随长度呈线性分布分布的物体平衡问题、电荷连续分布的带电体其周围的电场分布问题、电阻率随x的关系呈线性变化求导体电阻的问题我们往往采用微元方法来解决，因此就出现了质量微元、电荷微元、电流微元等处理方法。
一）、物体分割的微元思想
例1、假想把一物体放在地球的球心，已知地球的质量为M，该物体的质量为m,万有引力常数为G,那么该物体受到的万有引力多大？
解析：这是一个比较简单的物理问题，但根据公式此时两物体间相距的距离为零由此得出物体所受的万有引力无穷大，粗略一看该结论好像没任何问题。这是因为学生没有深入理解该公式的含义和适用条件。而把地球看成无数个质量微元，它们又关于球心对称分布对该物体的万有引力大小相等、方向相反。故该物体所受的万有引力为无数个质量微元对其万有引力的合力为零。
例2、均匀带电圆环,中轴线上一点的电场强度带电量是Q库仑,半径是R,场点P到圆心O的间距是a。
用库仑定律的微分形式,将带电环分割
为无限多份,进行积分,可得带电圆环中轴线
上任一点的电场强度,与电量成正比,与距离与正
比,与半径、距离平方和的二分之三次方成反比。
解:将圆环分割成无限多份,每一份的带电量为dq,圆周长l=2πR,单位长度的电量λ=Q/l,dq=λdl,该点电荷到P点的距离是 (R2 +a2)1/2,在P点产生的电场强度为dE=kλdl/ (R2 +a2),由于电荷分布的对称性,除了沿轴线方向的电场强度分量外,其它方向的分量均相互抵消;在轴线方向的分量是dEx=dEcosθ。
则圆环在P点产生的合电场强度为
∴
二）、过程微元的思想应用
例1、一条粗细均匀的铜制导线弯成如图所示的形状，其质量为m。长为L的一段水平放置，处在匀强磁场中，磁感应强度为B，B与导线垂直，导线的下面两端分别插在浅水银槽里，两水银槽与带开关的电源联接。当K接通的瞬间，导线便从水银槽里跳离。设跳起的高度为h，求在这过程中，通过铜导线截面的电量是多少？
分析：铜导线跳起的过程所需虽然很短（瞬间完成），但是由于跳离时铜导线具有一定的速度，即在跳起的过程中铜导线的速度是随时间变化的，在这过程中由于铜导线的切割磁感线运动，导线中的电流也随时间变化着。显然电量的求解只能用微元法才行，很多参考资料给的答案如下:
错解：根据动量定理：BIL△t=mv ①
由机械能守恒定律： ②
根据电流的定义：I=△Q/△t ③
由①②③得：△Q=
正解：将铜导线跳起的时间过程（瞬间）分为t1、t2、t3……tnn个过程，t1、t2、t3……tn极短（趋进于零），每个过程铜导线中的电流I1、I2、I3……In可当作为恒定的，设每个过程中铜导线运动的末速度分别为v1、v2、v3……v。对每个过程应用动量定理：
BI1Lt1=mv1-0 BI2Lt2=mv2- mv1
BI3Lt3=mv3- mv2 ……
BInLtn=mvn- mvn-1
考虑：△Q= I1t1+I2t2 +I3t3 +……+Intn
机械能守恒：
由以上式子联立得：△Q=
顺便说明一下：错解与正解的结论相同纯属巧合（物理学中象这样的巧合还不少），如果安培力的规律不是BIL，而是BI2L，结论就不会巧合（相同）了。
例2、如图所示，将质量为m的物体沿地球半径的延长线向远离地球的方向移动，初始位置为r0，终态位置为r,与r均从地心算起。。地球质量为M。求万有引力做的功。
解：将r0至r分割为n段，
当n足够大时，每一小段
中F可视为恒力，其大小可按中
间位置上的引力计算，则在第一段有
上述结果是在将分母的平方项展开后略去（r1-r0）的高次小量后得到的。
∴
同理：
∴
例3、质量为m的跨接 杆可以无摩擦地沿水平的平行导轨滑行，两轨间宽为ι，导轨与电阻R连接，放在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B，跨接杆的初速度为ν0 ,如图所示，试求跨接杆到停下来所滑行的距离。
解：设某时刻跨接杆速度减小到υ，则此时刻回路中的
电流
跨接杆所受的安培力
在该时刻杆的加速度数值
从该时刻经起足够短的时间 ，设杆的速度变化 （<0），杆移动的距离（>0）.则上式可写成
即:
杆滑行的距离
微元法作为一种重要的物理思想贯穿在高中物理的每一知识模块内，不能不引起大家的足够重视。以上例子只是微元法应用的一小部分，大家是否已能感受到掌握物理思想是一件多么美妙的事情。在平时教学过程中，教师应有意点拨和训练学生的思维，同时引导学生思考和总结一些常见的处理物理问题的方法。这样可使学生对物理的兴趣更加浓厚，形成学习的良性循环。
2011年3月24日星期四
兰溪游埠中学 ：陶群仙
v1
v2
v
1
F
△x
A
O
K
× × × × × ×
× × × × × ×
L
B
M
r0
m
r1
r
R
υ0
B

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